2.4用因式分解法求解一元二次方程——同步练习2021_2022学年 北师大版 数学九年级上册（Word版含答案）

2.4用因式分解法求解一元二次方程
一、选择题（共13题）
给出一种运算：对于函数 ，规定 ．若函数为 ，则有 ，已知函数 ，则方程 的解是
A． B．
C． ， D． ，
若关于 的方程 的根是整数，则满足条件的整数 的个数为
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
方程 的所有整数解的个数是
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
一元二次方程 的根是
A． B． C． 或 D． 或
如果二次三项式 能分解成 的形成，则方程 的两个根为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
一元二次方程 的解为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
已知方程 的一个根为 ，则方程的另外一根为
A． B． C． D．
方程 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为
A． B． 或 C． D．不能确定
方程 的解是
A． B．
C． ， D． ，
方程 的解是
A． B． C．， D．，
方程 的解为
A． B．
C． ， D． ，
若关于 的方程 的根是整数，则满足条件的整数 的个数为
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
方程 的根是
A． B． C． ， D． ，
二、填空题（共6题）
如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的 倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有 ．（填序号）
①方程 是“倍根方程”；
②若 是“倍根方程”，则 ；
③若 ， 满足 ，则关于 的方程 是“倍根方程”；
④若方程 是“倍根方程”，则必有 ．
如图，在长方形 中，，．，，， 分别是线段 ，，， 上的定点．现分别以 ， 为边作长方形 ，以 为边作正方形 ．若长方形 与正方形 的重合部分恰好是一个正方形，且 ，， 均在长方形 内部．记图中的阴影部分面积分别为 ，，．若 ，则 ．
已知 ，当 时， 的值是 ．
代数式 ，则 的值是 ．
方程 的根为 ．
已知 为实数，若 ，则 ．
三、解答题（共4题）
解方程：
(1) ．
(2) ．
解方程：
(1) ．
(2) ．
已知关于 的一元二次方程：．
(1) 求证：无论 为何值，方程总有实数根．
(2) 若方程的一个根是 ，求另一个根及 的值．
已知抛物线 （， 为常数，）与直线 都经过 ， 两点， 是该抛物线上的一个动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ．
(1) 求此抛物线和直线 的解析式；
(2) 当点 在直线 下方时，求 取得最大值时点 的坐标；
(3) 设该抛物线的顶点为 ，直线 与该抛物线的对称轴交于点 ，当以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 的坐标．
答案解析
一、选择题（共13题）
1. 【答案】C
【解析】因为函数为 ，方程为 ，
所以 ，，，
所以 或 ．
所以 ，．
2. 【答案】C
【解析】①当 时，，方程有整数根．
②当 时，将 因式分解，
，解得 ，，
关于 的方程 的根是整数， 为整数，
，，
，，，满足条件的整数 的个数为 个，所以答案为C．
3. 【答案】B
【解析】（）当 ， 时，解得 ；
（）当 时，解得 或 ；
（）当 ， 为偶数时，；
因而原方程所有整数解是 ，，， 共 个．
4. 【答案】C
【解析】 ，
或 ，
或 ．
5. 【答案】A
【解析】因为二次三项式 能分解成 的形成，
所以 可以变形为 ，
所以 或 ，
所以 ，，
即方程 的两个根为 ，．
6. 【答案】D
【解析】因式分解得 ，
所以 或 ，
所以 ，．
7. 【答案】C
【解析】将 代入 得 ,
解 ，
，
解得 ，．
8. 【答案】C
9. 【答案】C
【解析】 或 ，
所以 ，．
故选：C．
10. 【答案】D
11. 【答案】D
【解析】 ，
，
则 或 ，
解得： 或 ，
故选：D．
12. 【答案】C
13. 【答案】D
二、填空题（共6题）
14. 【答案】②③④
【解析】①解方程 ，得 ，，，
方程 不是“倍根方程”，故①不正确；
②若 是“倍根方程”，
，
或 ，
当 时，；
当 时，，
，故②正确；
③ ，则 ，
，，
是“倍根方程”，故③正确；
④若方程 是“倍根方程”，方程 的根为 ，，
若 ，则 ，即 ，
，
，
，
，
；
若 ，则 ，即 ，
，
，
，
，
．故④正确．
故答案为②③④．
15. 【答案】
16. 【答案】 或
17. 【答案】
18. 【答案】 ，
【解析】 ，
或 ，
解得 ，．
19. 【答案】
【解析】设 ，则 ，
整理，得 ．
所以 或 ．
解得 或 ．
当 时，，
此时该方程无解，故舍去．
综上所述，．
三、解答题（共4题）
20. 【答案】
(1) 方法一：
(2)
【解析】
(1) 方法二：
．
或 ．
，．
21. 【答案】
(1) 所以
(2) 所以
22. 【答案】
(1) 因为 ．
所以
所以无论 取何值，方程总有实数根．
(2) 因为 是方程 的一个根，
所以 ，
解得：，
一元二次方程为 ，
所以
解得 ，，
所以方程的另一个根为 ．
23. 【答案】
(1) 抛物线经过 ， 两点，
解得
抛物线的解析式为 ．
直线经过 ， 两点，
解得
直线 的解析式为 ．
(2) 设 ，则 ．
根据题意，得 ．
．
设直线 与 轴交于点 ，则 ．
，
．
．
．
当 时， 取得最大值．
此时 点坐标为 ．
(3) ，
抛物线的顶点 的坐标为 ．
轴，
．
．
①当点 在直线 下方时，四边形 为平行四边形，则 ，
．
解得 ，（舍去）．
点 的坐标为 ．
②当点 在直线 上方时，四边形 为平行四边形，则 ，
．
解得 ，．
点 的坐标为 ，．
综上，点 点的坐标为 或 或 ．