2021-2022学年人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课后培优（word版、含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课后培优（word版、含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 846.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-11 10:08:50 | ||
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文档简介
24.1.2 垂直于弦的直径
一、单选题
1．如图， MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
3．如图，OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于点P．若BC=8，AP=2，则⊙O的半径长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．
4．⊙O的直径是10，两平行弦的长度分别是6和8，那么这两弦的距离是（ ）
A．1 B．7 C．8 D．1或7
5．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（ ）
A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm
6．如图是一个圆弧形门拱，拱高AB=1，跨度CD=6，那么这个门拱的半径为（ ）
A．2m B．2.5m C．3m D．5m
7．如图，P为的弦上的点，，的半径为5，则等于（ ）
A． B． C． D．4
8．如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（ ）
A．8 B．2 C．3 D．4
10．如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）
A．48 B．45 C．42 D．40
11．如图，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD⊥AC交AC于E点．若DE＝1，BC＝6，则AC＝（ ）
A．3 B． C．5 D．
12．如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（ ）
A．m B．m C．5m D．m
13．在中，直径，弦于点，若，则的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
二、填空题
14．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点，，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，测出，的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出cm，cm，则轮子的半径为__________ cm．
15．如图，山西汾河大桥十号线桥可以近似地看作直径为500m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为____ ．
16．如图，⊙O的直径AB＝26，弦CD⊥AB，垂足为E，OE：BE＝5：8，则CD的长为______．
17．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，则直径CD＝__________．
18．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是______．
三、解答题
19．如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10cm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8cm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为多少？
20．如图，为⊙的直径，弦与交于点，，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
21．如图，M为内一点，利用尺规作一条弦，使过点M，并且．
22．如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦与大圆的弦在同一条直线上，你认为与的大小有什么关系？为什么？
23．1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为，拱高（即弧的中点到弦的距离）为，求桥拱所在圆的半径（结果精确到）．
参考答案
1．B
解：作点B关于MN的对称点C，则点C在圆O上，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，
∵∠AMN=40°，
∴∠AON=80°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠AOB=∠BON=40°，
根据垂径定理得，
∴∠CON=∠BON=40°，
∴∠AOC=120°，
∵MN=2，
∴OA=OC=1，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
过点O作OG⊥AC于点G，
∴AG=CG，OG=OA=，
∴AG=CG=，
∴AC=．
故选：B．
2．D
解：连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x，则半径OC=x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，
∴AE=BE=AB=×10=5寸，
∵OA为⊙O的半径，，则OA=x寸，
根据勾股定理得x2=52+（x-1）2，
解得x=13，
CD=2x=2×13=26（寸）．
故选：D．
3．A
解：如图所示，连接OB，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
则的半径长为，
故选A．
4．D
解：①两条线段在圆心的同侧，如图，AB＝8，CD＝6，且ABCD，
先过O作OF⊥CD，垂足是F，交AB于E，连接OA，OC，
∵ABCD，OF⊥CD，
∴OF⊥AB，
∴∠OEA＝90°，AE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，AE＝4，OA＝=5，
∴OE＝＝3，
同理可求OF＝4，
∴EF＝OF OE＝1；
②两条线段在圆心的异侧，如图，AB＝8，CD＝6，且ABCD，
先过O作OF⊥CD，垂足是F，反向延长交AB于E，连接OA，OC，
∵ABCD，OF⊥CD，
∴OF⊥AB，
∴∠OEA＝90°，AE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，AE＝4，OA＝5，
∴OE＝＝3，
同理可求OF＝4，
∴EF＝OE＋OF＝7．
故选D．
5．B
解：取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，
根据垂径定理知球心O在MN上，连接OF，
设OF=x，则OM=16-x，MF=8，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，
即：（16-x）2+82=x2，
解得：x=10．
即球的半径为10cm．
故选：B．
6．B
7．A
解：如图，连接，过点作，垂足为，
，，
，
∵，
，
，
，
由勾股定理得，，
．
故选：A．
8．A
连接OB
∵且过圆心，
∴
设半径为r，则
在中，
解得：
∴
∴
故选A．
9．D
解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED＝4，
∵∠OED＝90°，OD＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝＝＝4，
故选：D．
10．A
解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD75，
∵AH×BDAD×AB，
∴AH36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM，
∴此时HM有最大值，最大值为24，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN的最大值为2×24＝48．
故选：A．
11．D
∵OD⊥AC，OD为圆O的半径，
∴E是AC的中点，
∵O是AB的中点，
∴OE是的中位线，
∴，
∴，
在中，，
∴；
故选D．
12．D
解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2（m），
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：OB＝（m），
即这个轮子的半径长为m，
故选：D．
13．D
解：，
，
又，
，
在中，
，
又为半径且，
，
的周长为：，
故选：D．
14．
垂直平分，
的圆心在上，
设的圆心为，连接，设
，
在中，
解得
故答案为：．
15．50m
解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：
则OA＝OD＝=250，AC＝BC＝AB＝150，
∴OC＝，
∴CD＝OD OC＝250 200＝50（m），
即这些钢索中最长的一根为50m，
故答案为：50m．
16．24
解：连接OC，如图所示：
∵直径AB=26，
∴OC=OB=13，
∵OE：BE=5：8，
∴OE=5，BE=8，
∵弦CD⊥AB，
∴CE=DE，∠OEC=90°，
∴CE==12，
∴CD=2CE=24，
故答案为：24．
17．26
解：连接OA，∵DE⊥AB，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOC中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，
解得：x＝13，
所以CD＝26．
故答案为：26．
18．．
解：如图示，∵点A的坐标为（0，3），
据此建立平面直角坐标系如下图所示，
连接，，作，的中垂线，交点是点
则，该圆弧所在圆的圆心坐标是：．
故答案是：．
19．．
解：过点作于点，并延长交于点，如图，
则由题意得，
又，
，
在中，，
．
20．（1） ；（2）．
（1）解：∵ A，D在⊙ O上， ，
,
，
∴ 在△ ACE中，．
（2）解：连接OC，过O作OH⊥CD于H．
∵ OA=OC，∠A=45°，
∴ ∠ACO=∠A=45°．
∴ ∠AOC=90°．
∵ Rt△AOC中，，AC=12，
∴ ．
∵ ∠ACD=75°，
∴ ．
∴ ．
∴ Rt△OCH中，．
∵ OH⊥CD于H，
∴ ．
21．答案见解析．
如图，作直线OM，以M为圆心，以MO为半径作弧，交直线MO于点N，
分别以点O，点N为圆心，以大于ON为半径画弧，
二弧交于点E，F，作直线EF交圆O于A，B两点，
则弦AB即为所求．
22．，理由见解析．
解：．理由如下：
如图，过点作的垂线，垂足为，
，，
，
．
23．．
解：如图，∵,拱桥的跨度AB＝37.4m，拱高CD＝7.2m，
∴AD＝AB＝18.7m，
∴AD2＝OA2 （OC CD）2，即18.72＝AO2 （AO 7.2）2，
解得AO≈27.9m．即圆弧半径为27.9m．
答：桥拱所在圆的半径为27.9m．
一、单选题
1．如图， MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
3．如图，OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于点P．若BC=8，AP=2，则⊙O的半径长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．
4．⊙O的直径是10，两平行弦的长度分别是6和8，那么这两弦的距离是（ ）
A．1 B．7 C．8 D．1或7
5．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（ ）
A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm
6．如图是一个圆弧形门拱，拱高AB=1，跨度CD=6，那么这个门拱的半径为（ ）
A．2m B．2.5m C．3m D．5m
7．如图，P为的弦上的点，，的半径为5，则等于（ ）
A． B． C． D．4
8．如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（ ）
A．8 B．2 C．3 D．4
10．如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）
A．48 B．45 C．42 D．40
11．如图，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD⊥AC交AC于E点．若DE＝1，BC＝6，则AC＝（ ）
A．3 B． C．5 D．
12．如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（ ）
A．m B．m C．5m D．m
13．在中，直径，弦于点，若，则的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
二、填空题
14．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点，，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，测出，的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出cm，cm，则轮子的半径为__________ cm．
15．如图，山西汾河大桥十号线桥可以近似地看作直径为500m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为____ ．
16．如图，⊙O的直径AB＝26，弦CD⊥AB，垂足为E，OE：BE＝5：8，则CD的长为______．
17．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，则直径CD＝__________．
18．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是______．
三、解答题
19．如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10cm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8cm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为多少？
20．如图，为⊙的直径，弦与交于点，，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
21．如图，M为内一点，利用尺规作一条弦，使过点M，并且．
22．如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦与大圆的弦在同一条直线上，你认为与的大小有什么关系？为什么？
23．1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为，拱高（即弧的中点到弦的距离）为，求桥拱所在圆的半径（结果精确到）．
参考答案
1．B
解：作点B关于MN的对称点C，则点C在圆O上，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，
∵∠AMN=40°，
∴∠AON=80°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠AOB=∠BON=40°，
根据垂径定理得，
∴∠CON=∠BON=40°，
∴∠AOC=120°，
∵MN=2，
∴OA=OC=1，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
过点O作OG⊥AC于点G，
∴AG=CG，OG=OA=，
∴AG=CG=，
∴AC=．
故选：B．
2．D
解：连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x，则半径OC=x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，
∴AE=BE=AB=×10=5寸，
∵OA为⊙O的半径，，则OA=x寸，
根据勾股定理得x2=52+（x-1）2，
解得x=13，
CD=2x=2×13=26（寸）．
故选：D．
3．A
解：如图所示，连接OB，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
则的半径长为，
故选A．
4．D
解：①两条线段在圆心的同侧，如图，AB＝8，CD＝6，且ABCD，
先过O作OF⊥CD，垂足是F，交AB于E，连接OA，OC，
∵ABCD，OF⊥CD，
∴OF⊥AB，
∴∠OEA＝90°，AE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，AE＝4，OA＝=5，
∴OE＝＝3，
同理可求OF＝4，
∴EF＝OF OE＝1；
②两条线段在圆心的异侧，如图，AB＝8，CD＝6，且ABCD，
先过O作OF⊥CD，垂足是F，反向延长交AB于E，连接OA，OC，
∵ABCD，OF⊥CD，
∴OF⊥AB，
∴∠OEA＝90°，AE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，AE＝4，OA＝5，
∴OE＝＝3，
同理可求OF＝4，
∴EF＝OE＋OF＝7．
故选D．
5．B
解：取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，
根据垂径定理知球心O在MN上，连接OF，
设OF=x，则OM=16-x，MF=8，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，
即：（16-x）2+82=x2，
解得：x=10．
即球的半径为10cm．
故选：B．
6．B
7．A
解：如图，连接，过点作，垂足为，
，，
，
∵，
，
，
，
由勾股定理得，，
．
故选：A．
8．A
连接OB
∵且过圆心，
∴
设半径为r，则
在中，
解得：
∴
∴
故选A．
9．D
解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED＝4，
∵∠OED＝90°，OD＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝＝＝4，
故选：D．
10．A
解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD75，
∵AH×BDAD×AB，
∴AH36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM，
∴此时HM有最大值，最大值为24，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN的最大值为2×24＝48．
故选：A．
11．D
∵OD⊥AC，OD为圆O的半径，
∴E是AC的中点，
∵O是AB的中点，
∴OE是的中位线，
∴，
∴，
在中，，
∴；
故选D．
12．D
解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2（m），
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：OB＝（m），
即这个轮子的半径长为m，
故选：D．
13．D
解：，
，
又，
，
在中，
，
又为半径且，
，
的周长为：，
故选：D．
14．
垂直平分，
的圆心在上，
设的圆心为，连接，设
，
在中，
解得
故答案为：．
15．50m
解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：
则OA＝OD＝=250，AC＝BC＝AB＝150，
∴OC＝，
∴CD＝OD OC＝250 200＝50（m），
即这些钢索中最长的一根为50m，
故答案为：50m．
16．24
解：连接OC，如图所示：
∵直径AB=26，
∴OC=OB=13，
∵OE：BE=5：8，
∴OE=5，BE=8，
∵弦CD⊥AB，
∴CE=DE，∠OEC=90°，
∴CE==12，
∴CD=2CE=24，
故答案为：24．
17．26
解：连接OA，∵DE⊥AB，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOC中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，
解得：x＝13，
所以CD＝26．
故答案为：26．
18．．
解：如图示，∵点A的坐标为（0，3），
据此建立平面直角坐标系如下图所示，
连接，，作，的中垂线，交点是点
则，该圆弧所在圆的圆心坐标是：．
故答案是：．
19．．
解：过点作于点，并延长交于点，如图，
则由题意得，
又，
，
在中，，
．
20．（1） ；（2）．
（1）解：∵ A，D在⊙ O上， ，
,
，
∴ 在△ ACE中，．
（2）解：连接OC，过O作OH⊥CD于H．
∵ OA=OC，∠A=45°，
∴ ∠ACO=∠A=45°．
∴ ∠AOC=90°．
∵ Rt△AOC中，，AC=12，
∴ ．
∵ ∠ACD=75°，
∴ ．
∴ ．
∴ Rt△OCH中，．
∵ OH⊥CD于H，
∴ ．
21．答案见解析．
如图，作直线OM，以M为圆心，以MO为半径作弧，交直线MO于点N，
分别以点O，点N为圆心，以大于ON为半径画弧，
二弧交于点E，F，作直线EF交圆O于A，B两点，
则弦AB即为所求．
22．，理由见解析．
解：．理由如下：
如图，过点作的垂线，垂足为，
，，
，
．
23．．
解：如图，∵,拱桥的跨度AB＝37.4m，拱高CD＝7.2m，
∴AD＝AB＝18.7m，
∴AD2＝OA2 （OC CD）2，即18.72＝AO2 （AO 7.2）2，
解得AO≈27.9m．即圆弧半径为27.9m．
答：桥拱所在圆的半径为27.9m．
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