第四章图形的相似单元练习　2021—2022学年北师大版数学九年级上册（Word版含答案）

九年级上学期第四章图形的相似单元练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．则△ABC的面积为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和④ B．②和③ C．①和② D．②和④
3．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在原点，边在轴上，在轴上，如果与关于点位似，且的面积等于面积的，则点的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
4．如图，在和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．下列相似图形不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．将以点为位似中心放大为原来的倍，得到，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．下列语句中，不正确的是（ ）
A．位似的图形都是相似的图形
B．相似的图形都是位似的图形
C．位似图形的位似比等于相似比
D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部
8．平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则　　
A．将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
B．将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
C．将各点横，纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似
D．将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似
二、填空题
9．如图，是的角平分线，于， 的面积是，则__________．
10．如图，一张矩形纸片，，，纸片折叠，使、两点重合，折线________．
三、解答题(共56分)
11．若，求的值．
12．如图，在中，，且，求的长．
13．在与中，若，且的周长为，求的周长．
14．如图，已知，，求、的长．
15．如图，已知∥∥，它们依次交直线、于点、、和点、、，，；
（1）求、的长；
（2）如果，，求的长；
16．如图，．
（1）求，，的值；
（2）证明与相似．
17．如图，在和中，，，求的度数．
18．如图，在中，，垂足为D．
（1）请指出图中所有的相似三角形；
（2）你能得出吗？
19．如图，在梯形中，，，E是的中点．
（1）求证：；
（2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．
20．如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．
21．旗杆的影子长，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是，如果此时附近小树的影子长，那么小树有多高？
22．如图，雨后初晴，小明在运动场上玩，当他在E点时发现前面2米处有一处积水C，从积水中看到旗杆顶端的倒影，若旗杆底部B距积水处40米，此时眼睛距地面1.5米.求旗杆的高度.
23．在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度.
24．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=0.4m，EF=0.2m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高．
25．如图，与相似，求x，y的值．
26．如图，在中，对角线与相交于点O，E是延长线上的一点，连接交于点F．已知，求的长．
27．已知，和是它们的对应中线，，求的长．
28．如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
（1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
（2）求古塔的高度．
29．如图，的三条边与的三条边满足，，，且．的面积与的面积之间有什么关系？
30．如图，正方形，都是正方形的位似图形，点P是位似中心．
（l）哪个图形与正方形的相似比为3？
（2）正方形是正方形的位似图形吗？如果是，求相似比．
（3）正方形与正方形的相似比是多少？
31．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，画出五边形的位似图形，使它与的相似比为．比较两个图形对应点的坐标，你能发现什么？
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【分析】
先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD＝2，解Rt△ADC，得出DC＝1，然后根据三角形的面积公式计算即可；
【详解】
在Rt△ABD中，
∵sinB＝＝，
又∵AD＝1，
∴AB＝3，
∵BD2＝AB2﹣AD2，
∴BD．
在Rt△ADC中，
∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝1．
∴BC＝BD+DC＝2+1，
∴S△ABC＝ BC AD＝×（2+1）×1＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的面积问题，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
2．B
【分析】
两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形就是位似图形，根据定义即可解答.
【详解】
A.两个图形相似，且对应点的连线都经过同一个点，对应边互相平行，故是位似图形，
B.两个图形相似，但是对应点的连线不在同一个点，故不是位似图形，
C.两个图形相似，且对应点的连线都经过同一个点，对应边互相平行，故是位似图形，
D.两个图形相似，且对应点的连线都经过同一个点，对应边互相平行，故是位似图形，
故选：B．
【点睛】
此题考查位似图形，确定位似图形时确定对应点和对应边是解题的关键，由对应点连线交于一点，对应边互相平行即可判定图形是位似图形.
3．D
【分析】
由与关于点O位似，且的面积等于面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得与的位似比为1：2，又由点B的坐标为（6，4），即可求得答案．
【详解】
解：∵与关于点O位似，
∴∽，
∵的面积等于面积的，
∴位似比为1：2，
∵点B的坐标为（6，4），
∴点B′的坐标是：（3，2）或（-3，-2）．
故选D．
【点睛】
此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用．
4．B
【分析】
先利用位似图形的性质得出，然后根据位似图形的性质解答即可．
【详解】
为的中点，
和是以点为位似中心的位似三角形，
，
即
．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了位似变换，正确应用位似图形的性质是解答本题关键．
5．D
【分析】
根据位似变换的概念判断即可．
【详解】
解：D中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形，
A、B、C中的图形符合位似变换的定义，是位似图形，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
6．C
【分析】
利用位似图形的性质得出位似比进而得出面积比．
【详解】
∵ 将以点为位似中心放大为原来的倍，得到，
∴ 与的位似比为，
则＝．
故选：C
【点睛】
此题主要考查了位似变换，正确得出位似比和面积比是解题关键．
7．B
【分析】
利用位似图形的性质分别判断得出即可．
【详解】
A、位似的图形都是相似的图形，正确，不合题意；
B、相似的图形不一定是位似的图形，错误，符合题意；
C、位似图形的位似比等于相似比，正确，不合题意；
D、位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部，正确，不合题意．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的相关性质是解题关键．
8．C
【详解】
解：平面直角坐标系中图形的各个顶点，如果横纵坐标同时乘以同一个非0的实数k，得到的图形与原图形关于原点成位似图形，位似比是|k|．若乘的不是同一个数，得到的图形一定不会与原图形关于原点对称．故选C．
9．2cm
【分析】
过点D作，垂足为点F，根据BD是∠ABC的角平分线，得DE=DF，根据等高的三角形的面积之比等于其底边长之比，得△BDC与△BDA的面积之比，再求出△BDA的面积，进而求出DE．
【详解】
如图，过点D作，垂足为点F
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴DE=DF
∵的面积是
∴
即
∴DE=2cm
故答案为：2cm．
【点睛】
本题考查了三角形的问题，掌握角平分线的性质、等高的三角形的面积之比等于其底边长之比是解题的关键．
10．
【分析】
如下图，连接AC交MN于点O，连接CM，由已知易得AC=15，由折叠的性质易得AM=CM，AO=CO=，∠AOM=∠CON=90°，这样设AM=x，在Rt△BCM中建立关于x的方程即可求得CM=，进而在Rt△CMO中可求得OM=，再证△AMO∽△CNO即可得到ON=OM，由此即可得到MN=.
【详解】
解：如下图，连接AC交MN于点O，连接CM，
∵在矩形ABCD中，BC=AD=9cm，AB=12cm，
∴AC=，
∵将矩形沿MN折叠后，点C与点A重合，
∴AM=CM，AO=CO=，∠AOM=∠CON=90°，
设AM=x，则CM=x，BM=12-x，
∵在Rt△CBM中，∠B=90°，BC=9cm，
∴，解得：，即CM=AM=cm，
∴在Rt△CMO中，OM=cm，
∵在矩形ABCD中，CD∥AB，
∴∠MAO=∠NCO，∠CNO=∠AMO，
∴△AMO∽△CNO
∴.，
∴cm，
∴cm，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
11．0
【分析】
设，则，，，然后计算即可得到答案．
【详解】
解：∵，
设，
∴，，，
∴
=
=；
【点睛】
本题考查了比例的性质，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握比例的性质进行解题．
12．．
【分析】
利用比例线段得到，然后根据比例性质求．
【详解】
解：，即，
，
．
【点睛】
本题考查了比例线段、比例的性质，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
13．
【分析】
根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】
，
，
的周长与的周长之比为，
的周长等于18cm，
的周长为cm，
故答案为：24cm．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
14．,．
【分析】
由可得，可求,可得，设，可得，解方程即可．
【详解】
解：∵
∴，
∴，
∴,
∴，，
设，
∴，
解得．
∴．
【点睛】
本题考查平行线截线段成比例性质，利用比例构建方程，掌握平行线截线段成比例性质，利用比例构建方程是解题关键．
15．（1）AB=4；BC=10；（2）9.
【分析】
（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出AB的长，得出BC的长；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．
【详解】
（1）∵AD∥BE∥CF
∴
∴
∵AC＝14
∴AB=4
∴BC=
（2）
过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G
又∵AD∥BE∥CF，AD=7
∴AD=HE=GF=7
∵CF=14
∴CG=147=7
∵BE∥CF
∴
∴BH=2
∴BE=2+7=9
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．
16．（1）；（2）见解析
【分析】
（1）由图可知、的长度，分别代入，，计算即可得本题答案；
（2）由（1）知和对应边成比例，由可知，，；再根据相似三角形的判定定理，对应边成比例，对应角分别相等的两个三角形相似，即可判定与相似．
【详解】
（1）∵，
∴，，，
即．
（2）由（1）知，，
又∵
∴，，，
∴∽（对应边成比例，对应角分别相等的两个三角形相似）．
【点睛】
本题主要考查了比例线段及相似三角形的判定定理的知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17．
【分析】
由在和中，，可证得，然后由相似三角形的对应角相等．
【详解】
解：在和中，，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明．
18．（1），，；（2），见解析
【分析】
（1）根据相似三角形的判定定理写出所有的相似三角形；
（2）利用两角对应相等的两个三角形相似证明，根据相似三角形的性质证明结论．
【详解】
解：（1），，；
（2）能，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理．
19．（1）见解析；（2）相似，理由见解析
【分析】
（1）过点C作CF⊥AB于F，先证明四边形ADCF是矩形，得到AF=CD=1,AD=CF，BF=AB-AF=1，然后利用勾股定理求出，即可得到，再证明即可；
（2）利用勾股定理求出，,然后证明即可.
【详解】
解：（1）过点C作CF⊥AB于F，
∴∠A=∠CFA=∠CFB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠D=90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∴AF=CD=1,AD=CF，
∴BF=AB-AF=1，
∴，
∵E是AD的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵∠D=∠A=90°，
∴△CDE∽△EAB；
（2）△CDE∽△CEB相似，理由如下：
∵，,
∴，，，
∴ ，
∴△CDE∽△CEB.
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的判定，勾股定理，平行的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20．见解析
【分析】
根据两角对应相等，两三角形相似的判定定理得解．
【详解】
证明：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，∴△ADP∽△BCP．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的各种判定方法是解题关键．
21．
【分析】
根据题意可知旗杆、地面和影子组成的三角形是相似三角形，先根据勾股定理求出影长为的树的高度，然后根据对应边成比例求出树高即可．
【详解】
解：
由题意得，，，
在中，；
△，
，
即，
解得：，
答：树高为．
【点睛】
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题的关键是找出题中的相似三角形，并建立适当的数学模型来解决问题．
22．旗杆的高度为30米
【分析】
根据题意，可得直角△ABE与直角△CDE，根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
【详解】
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴米，
∴旗杆的高度为30米.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．
23．2.3米
【分析】
先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长,再根据此影长列出比例式即可
【详解】
解：如图，过点N作ND⊥PQ于D，则DN=PM，
∴△ABC∽△QDN，
.
∵AB=2米，BC=1.6米，PM=1.2米，NM=0.8米，
=1.5（米），
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）.
答：木杆PQ的长度为2.3米.
【点睛】
此题考查相似三角形的应用和平行投影，解题关键在于掌握运算法则
24．树高为 5.5 米
【解析】
【分析】
根据两角相等的两个三角形相似，可得 △DEF∽△DCB ，利用相似三角形的对边成比例，可得， 代入数据计算即得BC的长，由 AB＝AC+BC ，即可求出树高.
【详解】
∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴ ，
∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，
∴，
∴CB＝4（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）
答：树高为 5.5 米.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
25．，或x= ，y=．
【分析】
由△ABC与△DEF相似，∠B、∠E为钝角，可知当，即时，△ABC∽△DEF；当，即时，△ABC∽△FED，继而求得答案．
【详解】
解：∵△ABC与△DEF相似，∠B、∠E为钝角，
∴∠B=∠E，
∴当，即时，△ABC∽△DEF，
解得：x=6，y= ；
当，即时，△ABC∽△FED，
解得：x= ，y=，
∴x=6，y=或x= ，y=．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
26．．
【分析】
首先过点O作OMAB，交BC于点M，易得，，然后由相似三角形的对应边成比例，即可得出答案．
【详解】
解：过点O作OMAB，交BC于点M，
四边形ABCD是平行四边形
，
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．
27．．
【分析】
相似三角形对应中线的比等于相似比，即对应边的比．因而BD：B′D′＝3：2解得：BD＝6cm．
【详解】
解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴AC：A′C′＝BD：B′D′，
∵，B′D′＝4cm，
∴BD＝6cm．
【点睛】
本题考查对相似三角形性质的理解，熟记相似三角形对应中线的比等于相似比是解题关键．
28．（1）相似，见解析；（2）16m
【分析】
（1）根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；
（2）利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可．
【详解】
解：（1）△ABC∽△ADE．
∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴∠ACB=∠AED=90°.
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE；
（2）由(1)得△ABC∽△ADE,
∴
∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，
∴，
∴DE=16m，
即古塔的高度为16m．
【点睛】
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
29．的面积为的面积的9倍
【分析】
由条件可知△A′B′C′和△ABC是位似图形，且位似比为1：3，利用位似图形的性质可知△A′B′C′∽△ABC，可求得结论．
【详解】
解：的面积为的面积的9倍．
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，且相似比为3，
∴与的面积比为9．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的定义和性质是解题的关键．
30．（1）正方形；（2）是，正方形与正方形的相似比为；（3）正方形与正方形的相似比为2
【分析】
（1）利用位似比等于相似比求解；
（2）根据位似的定义和位似比等于相似比解决问题；
（3）利用位似比等于相似比求解．
【详解】
解：（1）因为PI：PA=6：2=3：1，
所以正方形IJKL与正方形ABCD的相似比为3；
（2）正方形IJKL是正方形EFGH的位似图形，
∴相似比为：；
（3）正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为：．
【点睛】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；
31．作图见解析；所得位似图形顶点的横坐标、纵坐标是五边形对应顶点横坐标、纵坐标的或．
【分析】
连接BO、CO、DO、EO，再分别取它们的中点B1、C1、D1、E1，顺次连接O、B1、C1、D1、E1即可，再分别延长BO、CO、DO、EO，再分别在其延长线上取点B1、C1、D1、E1，关于点O的对称点B2、C2、D2、E2，顺次连接O、B2、C2、D2、E2即可，再利用关于原点对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案．
【详解】
解：如图所示：五边形和五边形即为所求，
由图可知：，，，；
，，，；
，，，；
比较两个图形的对应点的坐标可得：所得位似图形顶点的横坐标、纵坐标是五边形对应顶点横坐标、纵坐标的或．
【点睛】
本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤，先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点，接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．答案第1页，共2页
答案第1页，共2页