《28.3 圆心角和圆周角》同步练习 2021-2022学年冀教版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《28.3圆心角和圆周角》同步练习题（附答案）
1．⊙O中的一段劣弧的度数为100°，则∠AOB＝（　　）
A．360° B．180° C．50° D．100°
2．如图，已知⊙O上的两条弦AC和BC互相垂直于点C，点D在弦BC上，点E在弦AC上，且BD＝AE，连接AD和BE，点P为BE中点，点Q为AD中点，射线QP与线段BC交于点N，若∠A＝30°，NQ＝，则DQ的长为（　　）
A． B． C． D．4
3．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝120°，则∠AGB的度数为（　　）
A．96° B．105° C．107° D．114°
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且D为中点，若∠D＝30°，BC＝2，则BD的值为（　　）
A． B． C． D．3
5．如图，在⊙O中，点D为的中点，CD为⊙O的直径，AE∥BC交⊙O于点E．连接CE．若∠ECD＝50°，则∠DCB＝（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（　　）
A．34° B．36° C．46° D．54°
7．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，若∠AEC＝64°，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）
A．19° B．21° C．23° D．26°
8．如图，C是⊙O上一点，若∠C＝40°，则∠AOB的度数为（　　）
A．20° B．40° C．80° D．140°
9．如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝76°，则∠C的度数为（　　）
A．76° B．38° C．24° D．33°
10．以下说法正确的是（　　）
A．平行四边形的对边相等 B．圆周角等于圆心角的一半
C．同位角相等 D．三角形的一个外角等于两个内角的和
11．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（　　）
A．AD＝AB B．∠D＝∠B
C．∠D+∠BOC＝90° D．∠BOC＝2∠D
12．如图⊙O中，弦AB＝AC，∠BAC＝80°，D为的中点，则∠ACD的度数是（　　）
A．25° B．20° C．15° D．10°
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝35°，连接BD，则∠ABD的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．55°
14．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是AC的中点，则∠D的度数是（　　）
A．45° B．70° C．50° D．35°
15．已知A、B、C、D在⊙O上，AB、CD交于⊙O外点E，∠BCD＝25°，∠E＝39°，则∠ADC的度数为（　　）
A．64° B．65° C．51° D．54°
16．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC　 　BD（填“＞”“＜”或“＝”）．
17．如图，在⊙O中，，∠AOB＝50°，则∠COD＝　 　．
18．如图，在⊙O中，点M，N在⊙O上，＝，MC⊥AB，ND⊥AB，C为OA的中点．下列结论：①MC＝ND；②四边形MCDN是正方形；③MN＝AB．其中，正确的是 　 　（填序号）．
19．如图，＝，若AB＝3cm，则CD＝　 　．
20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 　 　．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是 　 　．
22．已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为7，则弦AB所对的圆周角的度数为 　 　．
23．已知⊙O的半径为1，弦AB＝AC＝1，求∠BAC的度数 　 　．
24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连结OC，BD，OC⊥BD，若∠A等于69°，则∠ADB的度数为 　 　°．
25．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝110°，则∠BOD的度数为 　 　°．
26．如图，AB，DF是⊙O的两条直径，C是⊙O的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为40°，求的度数．
27．如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且OE＝OF．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：＝．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
29．在△ABC中，a、b、c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，我们称关于x的一元二次方程ax2+bx﹣c＝0为“△ABC的☆方程”．根据规定解答下列问题：
（1）“△ABC的☆方程”ax2+bx﹣c＝0的根的情况是 　 　（填序号）；
①有两个相等的实数根；
②有两个不相等的实数根；
③没有实数根；
（2）如图，AD为⊙O的直径，BC为弦，BC⊥AD于E，为60度，求“△ABC的☆方程”ax2+bx﹣c＝0的解；
（3）若是“△ABC的☆方程”ax2+bx﹣c＝0的一个根，其中a、b、c均为整数，且ac﹣4b＜0，则方程的另一个根为 　 　．
30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，⊙O经过点A、C、D，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF，且DE＝DF．
（1）求证：AB∥CD；
（2）连接AF，求证：AB＝AF．
参考答案
1．解：∵⊙O中的一段劣弧的度数为100°，
∴∠AOB＝100°，
故选：D．
2．解：连接AB，OP，OQ，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴AB为直径，
∵P为BE的中点，Q为AD的中点，
∴OP∥AC，OP＝AE，OQ∥BD，OQ＝BD，
∴OP⊥OQ，
∴∠POQ＝90°，
∵BD＝AE，
∴OP＝OQ，
∴∠OPQ＝∠OQP＝45°，
∵∠A＝30°，
∴∠CDA＝60°，
∴∠NDQ＝120°，
∴∠OQA＝120°，
∴∠NQD＝15°，
∴∠DNQ＝45°，
过点Q作QM⊥BC交BC于M，
则△NQM为等腰直角三角形，
∵NQ＝2，
∴MQ＝2，
在Rt△DMQ中，∠MDQ＝60°，
∴DQ＝＝4，
故选：D．
3．解：∵BD是⊙O的直径，∠COD＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣∠COD＝60°，
∴∠BAC＝∠BOC＝30°，
∵BD是⊙O的直径，＝，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∴∠AGB＝180°﹣∠B﹣∠BAG＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
故选：B．
4．解：如图，连接AD，OC．
∵∠BOC＝2∠BDC，∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
∴AB＝2OB＝4，
∵D是的中点，
∴＝，
∴AD＝DB，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝AB＝2，
故选：A．
5．解：连接AD，如图，
∵四边形ADCE为圆的内接四边形，
∴∠EAD+∠ECD＝180°，
∴∠EAD＝180°﹣50°＝130°，即∠EAB+∠BAD＝130°，
∵AE∥BC，
∴∠EAB+∠B＝180°，
∴∠EAB＝180°﹣∠B，
∴180°﹣∠B+∠BAD＝130°，即∠B﹣∠BAD＝50°，
∵点D为的中点，CD为直径，
∴∠BAD＝∠BCD，CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，即∠B＝90°﹣∠BCD，
∴90°﹣∠BCD﹣∠BCD＝50°，解得∠BCD＝20°．
故选：C．
6．解：连接AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣54°＝36°，
∴∠C＝∠A＝36°．
故选：B．
7．解：∵OC⊥AB，
∴∠COA＝90°，
∴∠D＝∠COA＝45°，
∵∠AEC＝∠D+∠BAD，∠AEC＝64°，
∴∠BAD＝64°﹣45°＝19°，
故选：A．
8．解：由题意，∠AOB＝2∠ACB，
∵∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°，
故选：C．
9．解：∵＝，∠AOB＝76°，
∴∠C＝∠AOB＝38°，
故选：B．
10．解：平行四边形的对边相等，故A说法正确，符合题意；
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，故B说法错误，不符合题意；
两直线平行，同位角相等，故C说法错误，不符合题意；
三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，故D说法错误，不符合题意；
故选：A．
11．解：∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠BOC＝∠AOC＝2∠D．
故选：D．
12．解：连接BC，如图，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣80°）＝50°，
∵∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝180°﹣50°＝130°，
∵D为的中点，即＝，
∴∠ACD＝∠CAD＝（180°﹣∠D）＝×（180°﹣130°）＝25°．
故选：A．
13．解：如图，设AB交CD于点F，
∵＝，∠CAB＝35°，
∴∠CAB＝∠CDB＝35°．
又∵CD⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠CDB＝55°．
故选：D．
14．解：连接OB，如图所示，
∵点B是的中点，∠AOC＝140°，
∴∠AOB＝∠AOC＝70°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝35°，
故选：D．
15．解：由圆周角定理得：∠BAD＝∠BCD＝25°，
∵∠ADC是△ADE的外角，∠E＝39°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠E＝25°+39°＝64°，
故选：A．
16．解：∵＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AC＝BD，
故答案为：＝．
17．解：∵＝，
∴∠COD＝∠AOB，
∵∠AOB＝50°，
∴∠COD＝50°，
故答案是：50°．
18．解：连接OM、ON，如图，
∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB，
∴OC＝OD＝OM＝ON，
∴∠OMC＝∠OND＝30°，
∴∠COM＝∠DON＝60°，
∴∠MON＝60°，
∴＝＝，
∴△OMN为等边三角形，
∴MN＝CD，∠OMN＝60°
∴MN∥CD，
∴四边形CDNM为矩形，
∴MC＝ND，所以①正确；②错误；
∵MN＝CD＝OA+OB＝AB，故③正确，
故答案为：①③．
19．解：∵＝，
∴+＝+，
∴＝，
∴CD＝AB＝3cm．
故答案为3cm．
20．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故答案为：35°．
21．解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO+∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，
∴OB＝AB＝2，
∴OA＝OB＝2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∴D点坐标为（﹣，1）．
故答案为（﹣，1）．
22．解：∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，连接OA、OB，如图，
过O点作OH⊥AB于H，则AH＝BH＝AB＝，
在Rt△OAH中，∵cos∠OAH＝＝＝，
∴∠OAH＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBH＝∠OAH＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
∵∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．
故答案为60°或120°．
23．解：作直径AD，连接BD、OC，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AD＝2，AB＝，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝45°，
∵OA＝OC＝AC＝1，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠CAO＝60°，
当C点与B点在直径AD的同旁，如图1，∠BAC＝∠CAO﹣∠BAD＝60°﹣45°＝15°；
当C点与B点在直径AD的两旁，如图2，∠BAC＝∠CAO+∠BAD＝60°+45°＝105°，
综上所述，∠BAC的度数为15°或105°．
故答案为15°或105°．
24．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝69°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝111°，
∵OC⊥BD，
∴＝，
∴∠CDB＝∠CBD＝×（180°﹣11°）＝34.5°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝34.5°，
故答案为：34.5．
25．解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝70°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD＝140°，
故答案为：140．
26．解：连接OD、OE，
∵的度数为40°，
∴∠AOD＝40°，
∵CD＝CO，
∴∠ODC＝∠AOD＝40°，
∵OD＝OE，
∴∠ODC＝∠E＝40°，
∴∠DOE＝100°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∴的度数是120°．
27．证明：（1）过O作OM⊥AB于M，连接OA、OB，
∵OA＝OB，OE＝OF，
∴AM＝BM，EM＝FM，
∴AM﹣EM＝BM﹣FM，
∴AE＝BF；
（2）∵OM⊥AB，OA＝OB，OE＝OF，
∴∠AOM＝∠BOM，∠EOM＝∠FOM，
∴∠AOM﹣∠EOM＝∠BOM﹣∠FOM，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴＝．
28．（1）证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E为BC的中点；
（2）解：∵∠BOD＝75°，
∴∠DAB＝∠BOD＝37.5°，
∵∠DAB+∠DEB＝180°，∠CED+∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠DAB＝37.5°．
29．解：（1）∵在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，关于x的一元二次方程ax2+bx﹣c＝0为“△ABC的☆方程”，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴Δ＝b2+4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：②；
（2）∵AD为⊙O的直径，BC⊥AD，且为60度，
∴为60度，
∴为120度，
∵为180度，
∴为120度，为120度，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴“△ABC的☆方程”ax2+bx﹣c＝0可以变为：ax2+ax﹣a＝0，
∵Δ＝b2+4ac＞0，
∴，
即 ；
（3）将x＝c代入☆方程中可得：+﹣c＝0，
化简得：ac+4b﹣16＝0，
∵ac﹣4b＜0，
∴ac＜4b，
∴ac+ac﹣16＜0，
则0＜ac＜8，
∵a、b、c均为整数，ac+4b＝16，
∴ac能被4整除，
∵0＜ac＜8，
∴ac＝4，
∴b＝3，
又∵a，c为正整数，
则a＝1，c＝4（不能构成三角形，舍去）或a＝c＝2，
∴☆方程为2x2+3x﹣2＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣2．
即方程的另一个根为x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
30．解：（1）∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵DE＝DF，
∴＝，
∴＝+，
∴＝，
∴∠A＝∠C，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD；
（2）连接AF，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵四边形AFCD是圆内接四边形，
∴∠AFC+∠D＝180°，
∵∠AFC+∠AFB＝180°，
∴∠AFB＝∠D＝∠B，
∴AB＝AF．