1.4.1用空间向量研究直线、平面位置关系　同步训练——2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案）

用空间向量研究直线、平面位置关系
一、单选题
1．已知，则平面的一个法向量可以是
A． B． C． D．
2．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若直线，的方向向量分别为，，则，的位置关系是（ ）
A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合
4．下列说法不正确的是（ ）
A．若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量
B．若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量均垂直
C．是任意一个平面的一个法向量
D．一个平面的法向量是不唯一的
5．已知平面内的两个向量，且．若为平面的法向量，则的值分别为（ ）
A． B． C．1，2 D．
6．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则（ ）
A．P∈直线AB
B．P 直线AB
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．以上都不对
7．在三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在直线B1P上，则下列结论正确的是（ ）
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在点Q，使DQ与平面A1BD垂直
8．如图已知正方体，点是对角线上的一点且，，则（ ）
A．当时，平面 B．当时，平面
C．当为直角三角形时， D．当的面积最小时，
二、多选题
9．（多选题）在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线 的一个方向向量为(0，0，1) B．直线的一个方向向量为(0，1，1)
C．平面的一个法向量为(0，1，0) D．平面的一个法向量为(1，1，1)
10．已知空间中三点，，，则不正确的有（ ）
A．与是共线向量 B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是
11．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ）
A．直线平面 B．
C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为
12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为
三、填空题
13．已知平面和平面的法向量分别为，，且，则___________．
14．已知，分别是直线，的方向向量，那么“，不平行”是“，异面”的________条件．（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”）
15．如图，已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有________条．
16．如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE=_____.
四、解答题
17．如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系.
（1）求平面ABCD的一个法向量；
（2）求平面SAB的一个法向量；
（3）求平面SCD的一个法向量.
18．如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，.
（1）证明：、、、四点共面；
（2）若，求.
19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD；
20．如图，在三棱柱中，平面，，.
（1）求证：平面；
（2）点M在线段上，且，试问在线段上是否存在一点N，满足平面，若存在求的值，若不存在，请说明理由？
参考答案
1．D
2．B
3．D
4．C
5．A
6．A
7．D
如图，建立空间直角坐标系，则A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，B(1，0，1)，D，P(0，2，0)，所以=(-1，2，0)，==(1，0，1)，=.
设存在点Q，使DQ与平面A1BD垂直，设=λ，则=-=λ-=
由，得无解.
故选：D
8．D
解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，因为，所以，所以，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以
对于A：若平面，则，则，解得，故A错误；
对于B：若平面，则，即，解得，故B错误；
当为直角三角形时，有，即，解得或（舍去），故C错误；
设到的距离为，则，
当的面积最小时，，故正确．
故选：．
9．ABC
10．ABC
对于A，由题意，，，则，
所以与不共线，所以A错误；
对于B，向量的模等于，所以B错误；
对于C，，所以，
所以C错误
对于D，设平面ABC的一个法向量是，
则，即
取，得，，
则平面ABC的一个法向量是，所以D正确．
故选：ABC．
11．ABD
解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，
，，，
所以，即，所以，故B正确；
，，，
设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；
设平面的法向量为，则，即，取，
则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；
，故C错误；
故选：ABD
12．AB
以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1,则
而
， 所以A正确.
=0,所以B正确.
向量,
显然 为等边三角形，则.
所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确
又，
则，
所以，所以D不正确.
故选：AB
13．4
14．必要不充分
15．1
解析假设存在满足条件的直线MN，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长为2，则D1(2，0，2)，E(1，2，0)，
设,，
所以，则，
即.
同理，若设，可得，
所以，
由于平面，,
所以，解得.
即存在满足条件的直线MN，有且只有一条．
故答案为：
16．或
建立如图所示的坐标系,则B1(0,0,3a),D,C(0,a,0).
设点E的坐标为(a,0,z),则=(a,-a,z),=(a,0,z-3a),,故=0.
故要使CE⊥平面B1DE,则需,即=0,故2a2+z2-3az=0,解得z=a或2a.
17．（1）(0，0，1)；（2），0，0 ；（3）(2，-1，1).
解：
以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，0，0，S(0，0，1).
（1）∵SA⊥平面ABCD，
∴=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.
（2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，
∴=，0，0是平面SAB的一个法向量.
（3）在平面SCD中，=，1，0，=(1，1，-1).
设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，则⊥，⊥，∴
得方程组
令，则，，∴=(2，-1，1).
所以=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量.
18．（1）证明见解析；（2）.
（1）因为
＝
，
所以共面，又过同一点A，
所以A，E，C1，F四点共面．
（2）
又
∴，，，
.
19．证明见解析
∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP两两互相垂直，
如图所示，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，
可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
M（1，0，0），N（1，1，1），
∴（0，1，1），（﹣1，1，﹣1），（0，2，﹣2）
设（x，y，z）是平面MND的一个法向量，
可得，取y＝﹣1，得x＝﹣2，z＝1，
∴（﹣2，﹣1，1）是平面MND的一个法向量，
同理可得（0，1，1）是平面PCD的一个法向量，
∵ 2×0+（﹣1）×1+1×1＝0，∴，
即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直，
可得平面MND⊥平面PCD.
20．（1）证明见解析；（2）存在，的值为.
（1）在三棱柱中，平面ABC，，.
∴，，，
∵，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵，
∴平面.
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
，，，，
所以，，
设平面的法向量，则，
取，得，
点M在线段上，且，点N在线段上，设，，
设，则，，，
即，
解得，，
，
∵，
∴，解得.
∴的值为.