2021-2022学年湖南省岳阳市岳阳县六校联考九年级（上）第一次月考数学试卷（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年湖南省岳阳市岳阳县六校联考九年级（上）第一次月考数学试卷（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 385.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-11 09:47:13 | ||
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文档简介
2021-2022学年湖南省岳阳市岳阳县六校联考九年级（上）第一次月考数学试卷
一、单选题（本大道题共8小题，每题3分，满分24分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2xy+1＝0 B．x﹣＝1 C．x2＝2 D．ax2+bx+c＝0
2．（3分）对于反比例函数y＝，下列说法中不正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．它的图象在第一、三象限
C．点（﹣3，﹣1）在它的图象上
D．函数图象关于原点中心对称
3．（3分）一元二次方程4x2﹣4x+1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
4．（3分）方程x2﹣6x﹣10＝0变形时，下列变形正确的是（ ）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝1 C．（x+3）2＝19 D．（x﹣3）2＝19
5．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2的大小关系（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b＞的解集为（ ）
A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜0或x＞2
C．x＞2 D．x＜﹣6或0＜x＜2
7．（3分）函数y＝与y＝kx+k在同一坐标系的图象大致是图中的（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣6 C．﹣20 D．20
二、填空题（本大道题共8小题，每题4分，满分32分）
9．（4分）已知点A（﹣3，2）在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 ．
10．（4分）方程2x2﹣5＝﹣6x化一般式为 ．
11．（4分）若反比例函数y＝的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
12．（4分）某果园2019年水果产量为100吨，2021年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为 ．
13．（4分）若方程3x2﹣5x﹣2＝0有一根是a，则6a2﹣10a＝ ．
14．（4分）如图，反比例函数y＝（x＞0）经过A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，过点B作轴BE⊥x于点E，连接AD，已知AC＝2，BE＝2，S矩形BEOD＝16，则S△ACD＝ ．
15．（4分）中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：
牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．
如果设羊的只数为x，则根据民歌的大意，你能列出的方程是 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，
下列结论：
①BE+DF＝EF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④S正方形ABCD＝2+，
其中正确的序号是 ．
三、解答题（本大道题共8小题，满分64分）
17．（6分）当m为何值时，函数y＝（m+3）x2﹣|m|是反比例函数？
18．（6分）先化简，再求值，其中x2+x﹣6＝0．
19．（8分）解方程：
（1）8﹣2x2＝0；
（2）x（2﹣x）＝x﹣2．
20．（8分）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0．
（1）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一根为3，求m的值及另一个根．
22．（8分）为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，口罩成了生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩．
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，14包普通口罩和6包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；
（2）已知普通口罩每包进价8元，按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天普通口罩的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
23．（10分）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？
（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？
24．（10分）如图1，点A（0，8）、点B（m，4）在直线y＝﹣2x+n上，反比例函数（x＞0）的图象经过点B．
（1）求m和k的值；
（2）将线段AB向右平移a个单位长度（a＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当a＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，则＝ ．
②连接BC，在线段AB运动过程中，△ABC能否是等腰三角形，若能，求所有满足条件a的值，若不能，请说明理由．
2021-2022学年湖南省岳阳市岳阳县六校联考九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大道题共8小题，每题3分，满分24分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2xy+1＝0 B．x﹣＝1 C．x2＝2 D．ax2+bx+c＝0
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是分式方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）对于反比例函数y＝，下列说法中不正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．它的图象在第一、三象限
C．点（﹣3，﹣1）在它的图象上
D．函数图象关于原点中心对称
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：∵反比例函数y＝，
∴该函数图象在第一、三象限，故选项B正确；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项A错误；
当x＝﹣3时，y＝﹣1，即点（﹣3，﹣1）在它的图象上，故选项C正确；
函数图象关于原点中心对称，故选项D正确；
故选：A．
3．（3分）一元二次方程4x2﹣4x+1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝0，进而可得出一元二次方程4x2﹣4x+1＝0有两个相等的实数根．
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0，
∴一元二次方程4x2﹣4x+1＝0有两个相等的实数根．
故选：C．
4．（3分）方程x2﹣6x﹣10＝0变形时，下列变形正确的是（ ）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝1 C．（x+3）2＝19 D．（x﹣3）2＝19
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣10＝0，
∴x2﹣6x＝10，
∴x2﹣6x+9＝19，
∴（x﹣3）2＝19，
故选：D．
5．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2的大小关系（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0）中，k＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，且﹣2＞﹣4
∴y1＜y2，
故选：B．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b＞的解集为（ ）
A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜0或x＞2
C．x＞2 D．x＜﹣6或0＜x＜2
【分析】根据函数的图象和交点坐标即可求得结果．
【解答】解：不等式kx+b＞的解集为：﹣6＜x＜0或x＞2，
故选：B．
7．（3分）函数y＝与y＝kx+k在同一坐标系的图象大致是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
【解答】解：∵y＝kx+k＝k（x+1），
∴直线经过点（﹣1，0），故A、C选项错误；
当k＜0时，反比例函数y＝的图象在二，四象限，一次函数y＝kx+k的图象过二、三、四象限，选项B、D不符合；
当k＞0时，反比例函数y＝的图象在一、三象限，一次函数y＝kx+k的图象过一、二、三象限，选项B符合．
故选：B．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣6 C．﹣20 D．20
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝×0+3＝3，
∴A（0，3），
∴OA＝3；
∵当y＝0时，0＝x+3，
∴x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∴OB＝2；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝2，
∴OE＝3+2＝5，
∴C点坐标为（﹣5，2），
∵点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣5×2＝﹣10．
故选：A．
二、填空题（本大道题共8小题，每题4分，满分32分）
9．（4分）已知点A（﹣3，2）在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 ﹣6 ．
【分析】根据点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值，此题得解．
【解答】解：∵点A（﹣3，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝（﹣3）×2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
10．（4分）方程2x2﹣5＝﹣6x化一般式为 2x2+6x﹣5＝0 ．
【分析】移项后即可得出一元二次方程的一般形式．
【解答】解：2x2﹣5＝﹣6x，
移项，得2x2+6x﹣5＝0，
故答案为：2x2+6x﹣5＝0．
11．（4分）若反比例函数y＝的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m＜﹣2 ．
【分析】根据反比例函数的性质得到m+2＜0，然后解一元一次不等式即可．
【解答】解：根据题意得m+2＜0，
解得m＜﹣2．
故答案为m＜﹣2．
12．（4分）某果园2019年水果产量为100吨，2021年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为 20% ．
【分析】可根据二次增长公式a（1+x）2＝b，列出以增长率为未知数的方程，求出增长率．
【解答】解：设该果园水果产量的年平均增长率为x，根据题意，得
100（1+x）2＝144，
解方程得x1＝0.2，x2＝﹣2.2．x2＝﹣2.2不符合题意，舍去．
故答案为20%．
13．（4分）若方程3x2﹣5x﹣2＝0有一根是a，则6a2﹣10a＝ 4 ．
【分析】将a代入方程3x2﹣5x﹣2＝0，得到3a2﹣5a＝2，等式的两边都扩大为原来的2倍，问题可求．
【解答】解：由题意，把是a的根代入3x2﹣5x﹣2＝0，
得：3a2﹣5a＝2，
∴2×（3a2﹣5a）＝2×2，
∴6a2﹣10a＝4．
14．（4分）如图，反比例函数y＝（x＞0）经过A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，过点B作轴BE⊥x于点E，连接AD，已知AC＝2，BE＝2，S矩形BEOD＝16，则S△ACD＝ 6 ．
【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S矩形BEOD＝|k|＝16，则求出k得到反比例函数的解析式为y＝，再利用A点的横坐标为2可计算出A点的纵坐标为8，从而得到CD＝6，然后根据三角形面积公式计算S△ACD．
【解答】解：∵BE⊥x轴于E，BD⊥y轴于D，
∴S矩形BEOD＝|k|＝16，
而k＜0，
∴k＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵AC⊥y轴，AC＝2，
∴A点的横坐标为2，
当x＝2时，y＝＝8，
∴CD＝OC﹣OD＝8﹣2＝6，
∴S△ACD＝×2×6＝6．
故答案为6．
15．（4分）中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：
牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．
如果设羊的只数为x，则根据民歌的大意，你能列出的方程是 x2+2x+1＝100 ．
【分析】等量关系为：头数加只数+只数减头数+只数乘头数+只数除头数＝100，把相关数值代入化简即可．
【解答】解：∵羊的只数为x，
∴头数加只数为2x，只数减头数为0．只数乘头数为x2，只数除头数为1，
∴可列方程为：x2+2x+1＝100，
故答案为：x2+2x+1＝100．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，
下列结论：
①BE+DF＝EF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④S正方形ABCD＝2+，
其中正确的序号是 ②③④ ．
【分析】由正方形的性质得AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，由等边三角形的性质得AE＝AF，则可判断Rt△ABE≌△ADF，得到BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，加上∠EAF＝60°，易得∠BAE＝∠DAF＝15°，利用互余得∠AEB＝75°，则可对③进行判断；由于CB＝CD，BE＝DF，则CE＝CF，于是可对②进行判断；先判断△CEF为等腰直角三角形得到CE＝CF＝EF＝，设正方形的边长为x，则AB＝x，BE＝x﹣，在Rt△ABE中利用勾股定理得x2+（x﹣）2＝22，解得x1＝，x2＝（舍去），则可计算出BE+DF＝﹣，于是可判断①错误；然后利用正方形面积公式可对④进行判断．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，
而∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝15°，
∴∠AEB＝75°，所以③正确，
∵CB＝CD，
∴CB﹣BE＝CD﹣DF，
即CE＝CF，所以②正确；
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE＝CF＝EF＝，
设正方形的边长为x，则AB＝x，BE＝x﹣，
在Rt△ABE中，∵AB2+BE2＝AE2，
∴x2+（x﹣）2＝22，
整理得x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝，x2＝（舍去），
∴BE+DF＝2（x﹣）＝2（﹣）＝﹣≠2，所以①错误；
∴S正方形ABCD＝x2＝（）2＝2+，所以④正确．
对于①的判断可用下面的方法：
连接AC交EF于G，如图，
∵AE＝AF，CE＝CF，
∴AC垂直平分EF，
∴EG＝FG，
∵∠BAE＝15°，∠GAE＝30°，
∴BE＝AE sin15°，EG＝AE sin30°，
∴BE≠EG，
∴BE+DF≠EF，所以①错误．
故答案为②③④．
三、解答题（本大道题共8小题，满分64分）
17．（6分）当m为何值时，函数y＝（m+3）x2﹣|m|是反比例函数？
【分析】根据反比例函数的定义得出2﹣|m|＝﹣1且m+3≠0，再求出m即可．
【解答】解：∵函数y＝（m+3）x2﹣|m|是反比例函数，
∴2﹣|m|＝﹣1且m+3≠0，
解得：m＝3，
即当m＝3时，函数y＝（m+3）x2﹣|m|是反比例函数．
18．（6分）先化简，再求值，其中x2+x﹣6＝0．
【分析】先按照分式乘除法法则化简计算，再解一元二次方程求解x值，后代入计算可求解．
【解答】解：原式＝
＝x+1，
∵x2+x﹣6＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∵x（x+1）＝0，x﹣2≠0，
∴x≠0，﹣1，2，
∴x＝﹣3，
∴原式＝x+1
＝﹣3+1
＝﹣2．
19．（8分）解方程：
（1）8﹣2x2＝0；
（2）x（2﹣x）＝x﹣2．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）原方程化简为x2＝4，
∴x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2；
（2）原方程可化为（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1．
20．（8分）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，再把B点坐标代入可求得b，再利用待定系数法可求得一次函数解析式；
（2）可先求得D点坐标，再利用三角形的面积计算即可．
【解答】解：
（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过A（﹣1，2），
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
当x＝2时，y＝﹣1，
即B点坐标为（2，﹣1），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）过A、B两点，
∴把A、B两点坐标代入可得，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；
（2）在y＝﹣x+1中，当x＝0时，y＝1，
∴C点坐标为（0，1），
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D点坐标为（0，﹣1），
∴CD＝2，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD＝×2×1+×2×2＝3．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0．
（1）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一根为3，求m的值及另一个根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝m2+12≥12，由此即可得出结论．
（2）将x＝3代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程利用十字相乘法即可求出方程的另一根，或者直接利用两根之积等于﹣3可得．
【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣mx﹣3＝0中，Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12≥12，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：方法一：将x＝3代入x2﹣mx﹣3＝0中，得：9﹣3m﹣3＝0，
解得：m＝2，
当m＝2时，原方程为x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴方程的另一根为﹣1．
方法二：设方程的另一个根为a，
则3a＝﹣3，
解得：a＝﹣1，
即方程的另一根为﹣1．
22．（8分）为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，口罩成了生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩．
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，14包普通口罩和6包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；
（2）已知普通口罩每包进价8元，按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天普通口罩的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
【分析】（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，根据“N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，14包普通口罩和6包N95口罩总售价相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，利用每天销售普通口罩的利润＝销售每包普通口罩的利润×日均销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出m的值，再将其代入（12﹣m）中即可求出结论．
【解答】解：（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，
依题意得：（12﹣m﹣8）（120+20m）＝320，
整理得：m2+2m﹣8＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴12﹣m＝10．
答：此时普通口罩每包的售价为10元．
23．（10分）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？
（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？
【分析】（1）由题意可得，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm，根据△PAQ为等腰三角形，建立方程求解即可；
（2）根据S△APD＝AD AP＝12﹣4t＝6，即可求得答案；
（3）根据S五边形PBCDQ＝S矩形ABCD﹣S△APQ，可得t2﹣3t+4＝0，利用根的判别式即可得出答案；
（4）运用勾股定理可得PQ＝＝，由P、Q两点之间的距离为cm，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm，
∵△PAQ为等腰三角形，∠A＝90°，
∴AQ＝AP，即t＝6﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，△PAQ为等腰三角形．
（2）∵S△APD＝AD AP＝×4×（6﹣2t）＝（12﹣4t）（cm2），
∴12﹣4t＝6，
解得：t＝，
∴当t＝时，△APD的面积为6cm2．
（3）∵S五边形PBCDQ＝S矩形ABCD﹣S△APQ＝6×4﹣t（6﹣2t）＝（24﹣3t+t2）（cm2），
∴24﹣3t+t2＝20，
整理得：t2﹣3t+4＝0，
∵△＝（﹣3）2﹣4×1×4＝﹣7＜0，
∴该方程没有实数根，
∴五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2．
（4）在Rt△APQ中，PQ＝＝，
根据题意得：＝2，
∴5t2﹣24t+16＝0，
解得：t1＝4，t2＝，
∵6÷2＝3，4÷1＝4，
∴0≤t≤3，
∴t＝．
24．（10分）如图1，点A（0，8）、点B（m，4）在直线y＝﹣2x+n上，反比例函数（x＞0）的图象经过点B．
（1）求m和k的值；
（2）将线段AB向右平移a个单位长度（a＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当a＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，则＝ ．
②连接BC，在线段AB运动过程中，△ABC能否是等腰三角形，若能，求所有满足条件a的值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求出m和k的值；
（2）①根据线段AB向右平移3个单位得到CD，可以求出D的坐标，再根据反比例函数求出E的坐标，从而求出DE和DF；
②分BC＝AB，BC＝AC，AB＝AC三种种情况讨论，分别列出对应的方程即可求解．
【解答】解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+n上，
∴﹣2×0+n＝8，
∴n＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
将点B（m，4）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8上，得﹣2 m+8＝4，
∴m＝2，
∴B（2，4），
将B（2，4）代入反比例函数解析式中，得k＝xy＝2×4＝8．
（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，
∴反比例函数解析式为，
当a＝3时，
∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D（2+3，4），
即：D（5，4），
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：．
②如图，
∵将线段AB向右平移a个单位长度（a＞0），得到对应线段CD，
∴CD＝AB，AC＝BD＝a，
∵A（0，8），B（2，4），
∴C（a，8），
∵△ABC是等腰三角形，
∴Ⅰ、当BC＝AB时，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴a＝2×2＝4．
Ⅱ、当BC＝AC时，
∵B（2，4），C（a，8），
∴，
∴，
∴a＝5，
Ⅲ、当AB＝AC时，
∴，
即：△ABC是等腰三角形时，满足条件a的值为4或5或．
一、单选题（本大道题共8小题，每题3分，满分24分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2xy+1＝0 B．x﹣＝1 C．x2＝2 D．ax2+bx+c＝0
2．（3分）对于反比例函数y＝，下列说法中不正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．它的图象在第一、三象限
C．点（﹣3，﹣1）在它的图象上
D．函数图象关于原点中心对称
3．（3分）一元二次方程4x2﹣4x+1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
4．（3分）方程x2﹣6x﹣10＝0变形时，下列变形正确的是（ ）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝1 C．（x+3）2＝19 D．（x﹣3）2＝19
5．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2的大小关系（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b＞的解集为（ ）
A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜0或x＞2
C．x＞2 D．x＜﹣6或0＜x＜2
7．（3分）函数y＝与y＝kx+k在同一坐标系的图象大致是图中的（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣6 C．﹣20 D．20
二、填空题（本大道题共8小题，每题4分，满分32分）
9．（4分）已知点A（﹣3，2）在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 ．
10．（4分）方程2x2﹣5＝﹣6x化一般式为 ．
11．（4分）若反比例函数y＝的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
12．（4分）某果园2019年水果产量为100吨，2021年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为 ．
13．（4分）若方程3x2﹣5x﹣2＝0有一根是a，则6a2﹣10a＝ ．
14．（4分）如图，反比例函数y＝（x＞0）经过A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，过点B作轴BE⊥x于点E，连接AD，已知AC＝2，BE＝2，S矩形BEOD＝16，则S△ACD＝ ．
15．（4分）中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：
牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．
如果设羊的只数为x，则根据民歌的大意，你能列出的方程是 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，
下列结论：
①BE+DF＝EF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④S正方形ABCD＝2+，
其中正确的序号是 ．
三、解答题（本大道题共8小题，满分64分）
17．（6分）当m为何值时，函数y＝（m+3）x2﹣|m|是反比例函数？
18．（6分）先化简，再求值，其中x2+x﹣6＝0．
19．（8分）解方程：
（1）8﹣2x2＝0；
（2）x（2﹣x）＝x﹣2．
20．（8分）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0．
（1）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一根为3，求m的值及另一个根．
22．（8分）为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，口罩成了生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩．
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，14包普通口罩和6包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；
（2）已知普通口罩每包进价8元，按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天普通口罩的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
23．（10分）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？
（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？
24．（10分）如图1，点A（0，8）、点B（m，4）在直线y＝﹣2x+n上，反比例函数（x＞0）的图象经过点B．
（1）求m和k的值；
（2）将线段AB向右平移a个单位长度（a＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当a＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，则＝ ．
②连接BC，在线段AB运动过程中，△ABC能否是等腰三角形，若能，求所有满足条件a的值，若不能，请说明理由．
2021-2022学年湖南省岳阳市岳阳县六校联考九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大道题共8小题，每题3分，满分24分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2xy+1＝0 B．x﹣＝1 C．x2＝2 D．ax2+bx+c＝0
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是分式方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）对于反比例函数y＝，下列说法中不正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．它的图象在第一、三象限
C．点（﹣3，﹣1）在它的图象上
D．函数图象关于原点中心对称
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：∵反比例函数y＝，
∴该函数图象在第一、三象限，故选项B正确；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项A错误；
当x＝﹣3时，y＝﹣1，即点（﹣3，﹣1）在它的图象上，故选项C正确；
函数图象关于原点中心对称，故选项D正确；
故选：A．
3．（3分）一元二次方程4x2﹣4x+1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝0，进而可得出一元二次方程4x2﹣4x+1＝0有两个相等的实数根．
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0，
∴一元二次方程4x2﹣4x+1＝0有两个相等的实数根．
故选：C．
4．（3分）方程x2﹣6x﹣10＝0变形时，下列变形正确的是（ ）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝1 C．（x+3）2＝19 D．（x﹣3）2＝19
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣10＝0，
∴x2﹣6x＝10，
∴x2﹣6x+9＝19，
∴（x﹣3）2＝19，
故选：D．
5．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2的大小关系（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0）中，k＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，且﹣2＞﹣4
∴y1＜y2，
故选：B．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b＞的解集为（ ）
A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜0或x＞2
C．x＞2 D．x＜﹣6或0＜x＜2
【分析】根据函数的图象和交点坐标即可求得结果．
【解答】解：不等式kx+b＞的解集为：﹣6＜x＜0或x＞2，
故选：B．
7．（3分）函数y＝与y＝kx+k在同一坐标系的图象大致是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
【解答】解：∵y＝kx+k＝k（x+1），
∴直线经过点（﹣1，0），故A、C选项错误；
当k＜0时，反比例函数y＝的图象在二，四象限，一次函数y＝kx+k的图象过二、三、四象限，选项B、D不符合；
当k＞0时，反比例函数y＝的图象在一、三象限，一次函数y＝kx+k的图象过一、二、三象限，选项B符合．
故选：B．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣6 C．﹣20 D．20
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝×0+3＝3，
∴A（0，3），
∴OA＝3；
∵当y＝0时，0＝x+3，
∴x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∴OB＝2；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝2，
∴OE＝3+2＝5，
∴C点坐标为（﹣5，2），
∵点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣5×2＝﹣10．
故选：A．
二、填空题（本大道题共8小题，每题4分，满分32分）
9．（4分）已知点A（﹣3，2）在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 ﹣6 ．
【分析】根据点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值，此题得解．
【解答】解：∵点A（﹣3，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝（﹣3）×2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
10．（4分）方程2x2﹣5＝﹣6x化一般式为 2x2+6x﹣5＝0 ．
【分析】移项后即可得出一元二次方程的一般形式．
【解答】解：2x2﹣5＝﹣6x，
移项，得2x2+6x﹣5＝0，
故答案为：2x2+6x﹣5＝0．
11．（4分）若反比例函数y＝的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m＜﹣2 ．
【分析】根据反比例函数的性质得到m+2＜0，然后解一元一次不等式即可．
【解答】解：根据题意得m+2＜0，
解得m＜﹣2．
故答案为m＜﹣2．
12．（4分）某果园2019年水果产量为100吨，2021年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为 20% ．
【分析】可根据二次增长公式a（1+x）2＝b，列出以增长率为未知数的方程，求出增长率．
【解答】解：设该果园水果产量的年平均增长率为x，根据题意，得
100（1+x）2＝144，
解方程得x1＝0.2，x2＝﹣2.2．x2＝﹣2.2不符合题意，舍去．
故答案为20%．
13．（4分）若方程3x2﹣5x﹣2＝0有一根是a，则6a2﹣10a＝ 4 ．
【分析】将a代入方程3x2﹣5x﹣2＝0，得到3a2﹣5a＝2，等式的两边都扩大为原来的2倍，问题可求．
【解答】解：由题意，把是a的根代入3x2﹣5x﹣2＝0，
得：3a2﹣5a＝2，
∴2×（3a2﹣5a）＝2×2，
∴6a2﹣10a＝4．
14．（4分）如图，反比例函数y＝（x＞0）经过A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，过点B作轴BE⊥x于点E，连接AD，已知AC＝2，BE＝2，S矩形BEOD＝16，则S△ACD＝ 6 ．
【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S矩形BEOD＝|k|＝16，则求出k得到反比例函数的解析式为y＝，再利用A点的横坐标为2可计算出A点的纵坐标为8，从而得到CD＝6，然后根据三角形面积公式计算S△ACD．
【解答】解：∵BE⊥x轴于E，BD⊥y轴于D，
∴S矩形BEOD＝|k|＝16，
而k＜0，
∴k＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵AC⊥y轴，AC＝2，
∴A点的横坐标为2，
当x＝2时，y＝＝8，
∴CD＝OC﹣OD＝8﹣2＝6，
∴S△ACD＝×2×6＝6．
故答案为6．
15．（4分）中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：
牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．
如果设羊的只数为x，则根据民歌的大意，你能列出的方程是 x2+2x+1＝100 ．
【分析】等量关系为：头数加只数+只数减头数+只数乘头数+只数除头数＝100，把相关数值代入化简即可．
【解答】解：∵羊的只数为x，
∴头数加只数为2x，只数减头数为0．只数乘头数为x2，只数除头数为1，
∴可列方程为：x2+2x+1＝100，
故答案为：x2+2x+1＝100．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，
下列结论：
①BE+DF＝EF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④S正方形ABCD＝2+，
其中正确的序号是 ②③④ ．
【分析】由正方形的性质得AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，由等边三角形的性质得AE＝AF，则可判断Rt△ABE≌△ADF，得到BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，加上∠EAF＝60°，易得∠BAE＝∠DAF＝15°，利用互余得∠AEB＝75°，则可对③进行判断；由于CB＝CD，BE＝DF，则CE＝CF，于是可对②进行判断；先判断△CEF为等腰直角三角形得到CE＝CF＝EF＝，设正方形的边长为x，则AB＝x，BE＝x﹣，在Rt△ABE中利用勾股定理得x2+（x﹣）2＝22，解得x1＝，x2＝（舍去），则可计算出BE+DF＝﹣，于是可判断①错误；然后利用正方形面积公式可对④进行判断．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，
而∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝15°，
∴∠AEB＝75°，所以③正确，
∵CB＝CD，
∴CB﹣BE＝CD﹣DF，
即CE＝CF，所以②正确；
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE＝CF＝EF＝，
设正方形的边长为x，则AB＝x，BE＝x﹣，
在Rt△ABE中，∵AB2+BE2＝AE2，
∴x2+（x﹣）2＝22，
整理得x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝，x2＝（舍去），
∴BE+DF＝2（x﹣）＝2（﹣）＝﹣≠2，所以①错误；
∴S正方形ABCD＝x2＝（）2＝2+，所以④正确．
对于①的判断可用下面的方法：
连接AC交EF于G，如图，
∵AE＝AF，CE＝CF，
∴AC垂直平分EF，
∴EG＝FG，
∵∠BAE＝15°，∠GAE＝30°，
∴BE＝AE sin15°，EG＝AE sin30°，
∴BE≠EG，
∴BE+DF≠EF，所以①错误．
故答案为②③④．
三、解答题（本大道题共8小题，满分64分）
17．（6分）当m为何值时，函数y＝（m+3）x2﹣|m|是反比例函数？
【分析】根据反比例函数的定义得出2﹣|m|＝﹣1且m+3≠0，再求出m即可．
【解答】解：∵函数y＝（m+3）x2﹣|m|是反比例函数，
∴2﹣|m|＝﹣1且m+3≠0，
解得：m＝3，
即当m＝3时，函数y＝（m+3）x2﹣|m|是反比例函数．
18．（6分）先化简，再求值，其中x2+x﹣6＝0．
【分析】先按照分式乘除法法则化简计算，再解一元二次方程求解x值，后代入计算可求解．
【解答】解：原式＝
＝x+1，
∵x2+x﹣6＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∵x（x+1）＝0，x﹣2≠0，
∴x≠0，﹣1，2，
∴x＝﹣3，
∴原式＝x+1
＝﹣3+1
＝﹣2．
19．（8分）解方程：
（1）8﹣2x2＝0；
（2）x（2﹣x）＝x﹣2．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）原方程化简为x2＝4，
∴x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2；
（2）原方程可化为（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1．
20．（8分）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，再把B点坐标代入可求得b，再利用待定系数法可求得一次函数解析式；
（2）可先求得D点坐标，再利用三角形的面积计算即可．
【解答】解：
（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过A（﹣1，2），
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
当x＝2时，y＝﹣1，
即B点坐标为（2，﹣1），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）过A、B两点，
∴把A、B两点坐标代入可得，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；
（2）在y＝﹣x+1中，当x＝0时，y＝1，
∴C点坐标为（0，1），
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D点坐标为（0，﹣1），
∴CD＝2，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD＝×2×1+×2×2＝3．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0．
（1）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一根为3，求m的值及另一个根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝m2+12≥12，由此即可得出结论．
（2）将x＝3代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程利用十字相乘法即可求出方程的另一根，或者直接利用两根之积等于﹣3可得．
【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣mx﹣3＝0中，Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12≥12，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：方法一：将x＝3代入x2﹣mx﹣3＝0中，得：9﹣3m﹣3＝0，
解得：m＝2，
当m＝2时，原方程为x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴方程的另一根为﹣1．
方法二：设方程的另一个根为a，
则3a＝﹣3，
解得：a＝﹣1，
即方程的另一根为﹣1．
22．（8分）为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，口罩成了生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩．
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，14包普通口罩和6包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；
（2）已知普通口罩每包进价8元，按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天普通口罩的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
【分析】（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，根据“N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，14包普通口罩和6包N95口罩总售价相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，利用每天销售普通口罩的利润＝销售每包普通口罩的利润×日均销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出m的值，再将其代入（12﹣m）中即可求出结论．
【解答】解：（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，
依题意得：（12﹣m﹣8）（120+20m）＝320，
整理得：m2+2m﹣8＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴12﹣m＝10．
答：此时普通口罩每包的售价为10元．
23．（10分）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？
（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？
【分析】（1）由题意可得，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm，根据△PAQ为等腰三角形，建立方程求解即可；
（2）根据S△APD＝AD AP＝12﹣4t＝6，即可求得答案；
（3）根据S五边形PBCDQ＝S矩形ABCD﹣S△APQ，可得t2﹣3t+4＝0，利用根的判别式即可得出答案；
（4）运用勾股定理可得PQ＝＝，由P、Q两点之间的距离为cm，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm，
∵△PAQ为等腰三角形，∠A＝90°，
∴AQ＝AP，即t＝6﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，△PAQ为等腰三角形．
（2）∵S△APD＝AD AP＝×4×（6﹣2t）＝（12﹣4t）（cm2），
∴12﹣4t＝6，
解得：t＝，
∴当t＝时，△APD的面积为6cm2．
（3）∵S五边形PBCDQ＝S矩形ABCD﹣S△APQ＝6×4﹣t（6﹣2t）＝（24﹣3t+t2）（cm2），
∴24﹣3t+t2＝20，
整理得：t2﹣3t+4＝0，
∵△＝（﹣3）2﹣4×1×4＝﹣7＜0，
∴该方程没有实数根，
∴五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2．
（4）在Rt△APQ中，PQ＝＝，
根据题意得：＝2，
∴5t2﹣24t+16＝0，
解得：t1＝4，t2＝，
∵6÷2＝3，4÷1＝4，
∴0≤t≤3，
∴t＝．
24．（10分）如图1，点A（0，8）、点B（m，4）在直线y＝﹣2x+n上，反比例函数（x＞0）的图象经过点B．
（1）求m和k的值；
（2）将线段AB向右平移a个单位长度（a＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当a＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，则＝ ．
②连接BC，在线段AB运动过程中，△ABC能否是等腰三角形，若能，求所有满足条件a的值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求出m和k的值；
（2）①根据线段AB向右平移3个单位得到CD，可以求出D的坐标，再根据反比例函数求出E的坐标，从而求出DE和DF；
②分BC＝AB，BC＝AC，AB＝AC三种种情况讨论，分别列出对应的方程即可求解．
【解答】解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+n上，
∴﹣2×0+n＝8，
∴n＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
将点B（m，4）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8上，得﹣2 m+8＝4，
∴m＝2，
∴B（2，4），
将B（2，4）代入反比例函数解析式中，得k＝xy＝2×4＝8．
（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，
∴反比例函数解析式为，
当a＝3时，
∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D（2+3，4），
即：D（5，4），
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：．
②如图，
∵将线段AB向右平移a个单位长度（a＞0），得到对应线段CD，
∴CD＝AB，AC＝BD＝a，
∵A（0，8），B（2，4），
∴C（a，8），
∵△ABC是等腰三角形，
∴Ⅰ、当BC＝AB时，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴a＝2×2＝4．
Ⅱ、当BC＝AC时，
∵B（2，4），C（a，8），
∴，
∴，
∴a＝5，
Ⅲ、当AB＝AC时，
∴，
即：△ABC是等腰三角形时，满足条件a的值为4或5或．
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