第三章 圆锥曲线
3.1.1椭圆的标准方程(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点椭圆上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．若椭圆的右焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ）
A． B．
C．6 D．8
4．已知的周长是20，且顶点B的坐标为，C的坐标为，则顶点A的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
5.设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知椭圆的中心在坐标原点，焦距为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为12 B．
C．点P到x轴的距离为 D．
8．已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知方程表示椭圆，则的取值范围为__________
10．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标成一体，，为旋杆上的一点且在，两点之间，且，当滑标在滑槽内作往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.则椭圆的普通方程为______.
11．设点是椭圆：上的动点，为的右焦点，定点，则的取值范围是____．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点(2,－3)，且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点；
（2）经过两点.
13．已知圆和圆，作动圆P与圆内切与圆外切求动点P的轨迹方程。
14．某海域有两个岛屿，岛在岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发出过鱼群．以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.
（1）求曲线的标准方程；
（2）某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？第三章 圆锥曲线
3.1.1椭圆的标准方程(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点椭圆上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在椭圆中，，由椭圆的定义可得，
所以，．故选：C．
2．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设所求椭圆方程为，
将点代入，可得，解得（舍去），
故所求椭圆的标准方程为．故选：C
3．若椭圆的右焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ）
A． B．
C．6 D．8
【答案】B
【解析】由椭圆方程可知
根据椭圆的定义可知，，
的周长为．故选：B
4．已知的周长是20，且顶点B的坐标为，C的坐标为，则顶点A的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，则点的轨迹是焦点在轴且中心为原点的椭圆，且点不在轴上，，即，故选：C.
5.设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】分焦点在x轴上和y轴上两种情况：
①0＜k＜4时，C上存在点P满足∠APB=120°，
假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，
要使椭圆C上存在点M满足
∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，
tan∠AMO= ≥tan60°，解得：0＜k≤ ．
②当椭圆的焦点在y轴上时，k＞4，
同理可得：k≥12，
∴m的取值范围是（0，]∪[12，+∞）， 故选：A．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知椭圆的中心在坐标原点，焦距为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由椭圆的定义可得，可得，由焦距为得，
所以，.
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的方程为；
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的方程为. 故选：AC.
7．已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为12 B．
C．点P到x轴的距离为 D．
【答案】BCD
【解析】由椭圆方程知，所以，所以，
于是的周长为，故A选项错误；在中，由余弦定理可得
，
所以，解得，
故，故B选项正确；
设点到轴的距离为，则，
所以，故C选项正确；，
故选：BCD．
8．已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】AD
【解析】圆与圆的圆心分别为：；，
则、是椭圆的两个焦点坐标，两个圆的半径为，
所以的最大值为；
的最小值. 故选：AD.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知方程表示椭圆，则的取值范围为__________
【答案】B
【解析】由题意，得，解得且．故选:B.
10．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标成一体，，为旋杆上的一点且在，两点之间，且，当滑标在滑槽内作往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.则椭圆的普通方程为______.
【答案】
【解析】由题意得：，，所以椭圆的长半轴长为3，短半轴长为1，所以椭圆的普通方程为，
故答案为：.
11．设点是椭圆：上的动点，为的右焦点，定点，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】，为的右焦点， ，左焦点
故答案为：
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点(2,－3)，且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点；
（2）经过两点.
【答案】（1）＋＝1.；（2）.
【解析】（1）由9x2＋4y2＝36得＋＝1，所以焦点坐标为(0,－)，(0,)，故可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，且a2＝b2＋5.
又因为点(2,－3)在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝10,a2＝15，
从而所求椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）设经过两点的椭圆方程为，
将坐标代入方程得，解得，
所以所求椭圆方程为.
13．已知圆和圆，作动圆P与圆内切与圆外切求动点P的轨迹方程。
【答案】
【解析】设动圆P与圆切与E点，与圆切与F点，
由题知圆的半径为1，圆的半径为9，由圆与圆相切的性质知
又因为 所以
设其轨迹方程为，
由上分析知
动点P的轨迹方程
14．某海域有两个岛屿，岛在岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发出过鱼群．以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.
（1）求曲线的标准方程；
（2）某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？
【答案】（1）；（2）点的坐标为或．
【解析】（1）由题意知曲线是以、为焦点且长轴长为8的椭圆
又，则，故
所以曲线的方程是
（2）由于、两岛收到鱼群发射信号的时间比为，
因此设此时距、两岛的距离分别比为
即鱼群分别距、两岛的距离为5海里和3海里．
设，，由，
，
点的坐标为或
