第三章 圆锥曲线
3.1.1椭圆的标准方程(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.已知椭圆的一个焦点为，则这个椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D.
4．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8．则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5.已知定点，，是椭圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．椭圆的焦距为，则的值可能为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
7．已知曲线C的方程为，，点P是C上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N，则的面积可能为（ ）
A．73 B．76 C．68 D．72
8．已知椭圆的左 右焦点为点P在椭圆上，且不与椭圆的左 右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ）
A. 的周长为4+
B. 当时，的边
C. 当时，的面积为
D. 椭圆上有且仅有6个点P，使得为直角三角形
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1，0)，动圆M过点F2，且与圆F1相内切，那么点M的轨迹C的方程为____．
10．已知定点，是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点，使取得最小值时点的坐标______．
11．已知、分别是椭圆C：的下顶点和左焦点，过且倾斜角为的直线分别交轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为，若的周长为6，则的面积为_____.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴上，焦距为4，且椭圆过点；
（2）焦点在坐标轴上，且椭圆过点和
13．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求此椭圆的标准方程；
(2)若点P在这个椭圆上，且PF1－PF2＝1，求∠F1PF2的余弦值．
14．如图，点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1) 求点P的坐标；
(2) 设M是线段AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．第三章 圆锥曲线
3.1.1椭圆的标准方程(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.已知椭圆的一个焦点为，则这个椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】椭圆的一个焦点为，，，，椭圆方程为．故选:C
2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方程化为，因为是焦点在轴上的椭圆，
所以，解得，故选：A．
3．已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D.
【答案】B
【解析】不妨设点M到该椭圆左焦点F的距离为2，如图所示：
设椭圆左焦点为F，右焦点为．，，．
为MF的中点，O为的中点，．故选：B．
4．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8．则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为的周长为8，
所，
由椭圆的定义可知：，所以，
由题意可得：，解得，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为．故选：C
5.已知定点，，是椭圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【解析】由题可知：点，是椭圆的焦点
所以
所以
即
当且仅当，即
所以的最小值为, 故选：C
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．椭圆的焦距为，则的值可能为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】AC
【解析】椭圆化为标准方程： ，
当焦点在轴时，，，那么
；
当焦点在轴时，，，那么，
，或. 故选：AC.
7．已知曲线C的方程为，，点P是C上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N，则的面积可能为（ ）
A．73 B．76 C．68 D．72
【答案】ABD
【解析】设，则．
设，则，直线的方程为，则点M的坐标为，
直线的方程为，则点N的坐标为．所以，
当且仅当，即时等号成立．
从而面积的最小值为. 故选：ABD．
8．已知椭圆的左 右焦点为点P在椭圆上，且不与椭圆的左 右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ）
A. 的周长为4+
B. 当时，的边
C. 当时，的面积为
D. 椭圆上有且仅有6个点P，使得为直角三角形
【答案】AD
【解析】由椭圆方程可得：，，，
对于选项A: 的周长为，故选项A 正确；
对于选项B：当时，轴，令，可得，所以，故选项B不正确；
当时，的面积为，故选项C不正确；
当点位于椭圆的上下顶点时，，而，此时，有2个直角三角形，当时，，此时点位于第二或第三象限，有2个直角三角形，同理可得时，，此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故选项D正确， 故选：AD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1，0)，动圆M过点F2，且与圆F1相内切，那么点M的轨迹C的方程为____．
【答案】＋＝1
【解析】 设圆M的半径为r.∵圆M与圆F1相内切，∴MF1＝4－r.∵圆M过点F2，∴MF2＝r，∴MF1＝4－MF2，即MF1＋MF2＝4>F1F2，∴点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则有2a＝4，c＝1，∴a＝2，b＝，∴轨迹C的方程为＋＝1. 故答案为：＋＝1
10．已知定点，是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点，使取得最小值时点的坐标______．
【答案】
【解析】椭圆的，，，设左焦点为，
由椭圆的定义可知，故，
，
当，，'在同一条直线上且在第二象限时，取得最小值，
令代入椭圆方程得，由于在第二象限，故 故答案为：．
11．已知、分别是椭圆C：的下顶点和左焦点，过且倾斜角为的直线分别交轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为，若的周长为6，则的面积为_____.
【答案】
【解析】如图所示，
由题意得，，，直线的方程为，
把代入椭圆方程解得，∴，
∵在直线上，∴，解得.
又，∴，解得，
令0，则，即，∴为椭圆的右焦点，∴，
由椭圆的定义可知，，
∵的周长为6，∴，
∵，∴，∴，
∴. 故答案为：.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴上，焦距为4，且椭圆过点；
（2）焦点在坐标轴上，且椭圆过点和
【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）由题意，，
椭圆焦点在轴上
可设为
椭圆过点
椭圆的标准方程为；
（2）设椭圆的方程：，
则，解得，
所以椭圆的标准方程为：.
13．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求此椭圆的标准方程；
(2)若点P在这个椭圆上，且PF1－PF2＝1，求∠F1PF2的余弦值．
【答案】（1）＋＝1；（2）.
【解析】（1）依题意知c＝1.又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－a2＝1，解得a2＝4，从而b2＝3.因此，椭圆的标准方程为＋＝1
(2)因为点P在椭圆上，所以PF1＋PF2＝4.又PF1－PF2＝1，所以PF1＝，PF2＝.又F1F2＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝，即∠F1PF2的余弦值等于
14．如图，点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1) 求点P的坐标；
(2) 设M是线段AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
【答案】(1) ；（2）
【解析】 (1) 由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，
设点P(x，y)，则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y).
因为PA⊥PF，所以·＝0，即(x＋6)(x－4)＋y2＝0.
联立消去y得2x2＋9x－18＝0，
所以x＝或x＝－6.因为y>0，所以x＝，y＝，所以点P的坐标是
(2) 由(1)可得直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设M(m，0)(－6≤m≤6)，则点M到直线AP的距离是.
又MB＝6－m，所以＝6－m.因为－6≤m≤6，所以m＝2.
椭圆上的点(x0，y0)到点M的距离为
d＝ eq \r(（x0－2）2＋y) ＝ eq \r(（x0－2）2＋20－\f(5,9)x) ＝.
由于－6≤x0≤6，
所以当x0＝时，d取得最小值.
