第三章 圆锥曲线
3.1.2椭圆的几何性质(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．椭圆的焦距为8，且椭圆的长轴长为10，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】根据题意，椭圆的焦距为8，长轴长为10，则，，
即，，则，
若椭圆的焦点在轴上，则其标准方程为，
若椭圆的焦点在轴上，则其标准方程为，
故要求椭圆的标准方程为或，故选：B．
2．以椭圆：的短轴的一个端点和两焦点为项点的三角形为正三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为1，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为椭圆短轴的一个端点和两焦点为项点的三角形为正三角形，
所以，因为椭圆上的点到焦点的最短距离为1，
所以，所以，所以椭圆的方程为，故选：A
3．已知椭圆，直线：，直线与椭圆的位置关系是（ ）
相离 B．相交 C．相切 D．不确定
【答案】B
【解析】直线：化为，
可得直线恒过点，由可知该点在椭圆内部.所以直线与椭圆相交，
故选：B
4．若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设弦两端点为，则
①-②得 即直线为
化简得， 故选：C
5．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，
则 =2，化简得.
∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，
∴ ，解得，∴椭圆的离心率为．故选：D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知椭圆C：，则下列结论正确的是（ ）
A．长轴长为 B．焦距为
C．焦点坐标为 D．离心率为
【答案】CD
【解析】由椭圆方程化为标准方程可得，所以 ，所以长轴长为，焦距，焦点坐标为，
短轴长为，离心率．故选：CD.
7．已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】AB
【解析】由题意知，
当时，，，，
∴，解得；
当时，，，，
∴，解得； 故选：AB．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．椭圆的短轴长可能为2
C．椭圆的离心率的取值范围为
D．若，则椭圆的长轴长为
【答案】ACD
【解析】A. 因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；
B.若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；
C. 因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；
D. 若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故正确. 故选：ACD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为．若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为_____________
【答案】或
【解析】由题意，解得，
所以椭圆方程为或，故答案为：或．
10．椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则________.
【答案】
【解析】根据题意，椭圆，
其中，，
则，
点在椭圆上，若，则，
在△中，，，，
则，
则有， 故答案为：．
11．已知椭圆C:()的左右焦点分别为,如果C上存在一点Q,使,则椭圆的离心率的取值范围为_____________
【答案】
【解析】当Q是椭圆上下顶点时最大，
∴,∴，
∴，
∵，∴，
∴椭圆离心率取值范围为， 故答案为：
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．（1）长轴是短轴的3倍且经过点；
（2）焦点在轴上的椭圆过点，离心率，求椭圆的标准方程；
【答案】（1）或；（2）.
【解析】(1)若椭圆的焦点在轴上，设方程为，
因为椭圆过点，代入可得，解得，
又由，解得，所以椭圆的方程为；
若椭圆的焦点在 轴上，设方程为，
因为椭圆过点，代入可得，解得，
又由，解得，所以椭圆的方程为,
综上可得，椭圆的方程为或.
(2)设椭圆标准方程为：，过点，则
，又 ，，联立解得，
所以椭圆标准方程为:
13．如图，椭圆（）的离心率，，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，若的最大值是12，求椭圆的方程．
【答案】．
【解析】由题易知，设，
，，
设，则，
，，
∴
，
∴当时，有最大值，且最大值为，
∴，∴，
∴，，
∴椭圆的方程为．
14．如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点.
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）若，则和为等腰直角三角形．所以有，即．所以，．
（2）由题知，，设，
由，得，所以 ，．
代入，得．
即，解得．所以，
所以椭圆方程为．第三章 圆锥曲线
3.1.2椭圆的几何性质(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．椭圆的焦距为8，且椭圆的长轴长为10，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
2．以椭圆：的短轴的一个端点和两焦点为项点的三角形为正三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为1，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆，直线：，直线与椭圆的位置关系是（ ）
相离 B．相交 C．相切 D．不确定
4．若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知椭圆C：，则下列结论正确的是（ ）
A．长轴长为 B．焦距为
C．焦点坐标为 D．离心率为
7．已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
A. 3 B. C. D.
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．椭圆的短轴长可能为2
C．椭圆的离心率的取值范围为
D．若，则椭圆的长轴长为
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为．若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为_____________
10．椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则________.
11．已知椭圆C:()的左右焦点分别为,如果C上存在一点Q,使,则椭圆的离心率的取值范围为_____________
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．（1）长轴是短轴的3倍且经过点；
（2）焦点在轴上的椭圆过点，离心率，求椭圆的标准方程；
13．如图，椭圆（）的离心率，，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，若的最大值是12，求椭圆的方程．
14．如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点.
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程.
