第三章 圆锥曲线
3.1.2椭圆的几何性质(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．焦点在轴上，过点且离心率为椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由焦点在轴上，过点，可得，由离心率，可得，
所以，所以椭圆的标准方程为，故选：B．
2．已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，若为等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】椭圆的上顶点为，左、右两焦点分别为，，
若为等边三角形，由椭圆的对称性知，即，
又，可得，．故选：A．
3．17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程(k>0，k≠1，a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A，B两点)引垂线，垂足为Q，则为常数.据此推断，此常数的值为（ ）
A. 椭圆的离心率 B. 椭圆离心率的平方
C. 短轴长与长轴长的比 D. 短轴长与长轴长比的平方
【答案】D
【解析】设椭圆方程为，为上顶点，则为原点.
，，则.
故选：D.
4．已知，是椭圆：的左、右焦点，离心率为，点的坐标为，则的平分线所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知：，，
已知，则，得出，
所以椭圆方程为：.
焦点,而，即：轴.,
又因为:得,
设：的角平分线所在直线为，则点关于的对称的点为,
所以：在的延长线上，但，则
所以：
设的中点为，有，得出所在直线的斜率，
即的平分线所在直线的斜率为2. 故选：A.
5．椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点若为钝角，点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，为椭圆的两焦点，则，，
设，则，，
因为为钝角，所以，
又，∴，
∴．故选：B．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为12 B．
C．点P到x轴的距离为 D．
【答案】BCD
【解析】由椭圆方程知，所以，所以，
于是的周长为，故A选项错误；在中，
由余弦定理可得，
所以，解得，
故，故B选项正确；
设点到轴的距离为，则，
所以，故C选项正确；，
故选：BCD．
7．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
【答案】ABC
【解析】对于、由，，所以，所以选项正确；
对于、由，，得到：，所以选项正确；
对于、由，，得，
即，所以选项正确；对于、根据选项知，，
所以，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁些，选项错误．故选：ABC．
8．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，分别为左、右顶点，分别为上、下顶点，分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）
A． B．
C．轴，且 D．四边形的内切圆过焦点
【答案】BD
【解析】∵椭圆
∴
对于A，若，则，∴，∴，不满足条件，故A不符合条件；
对于B，，∴
∴，∴
∴，解得或（舍去），故B符合条件；
对于C，轴，且，∴
∵
∴，解得
∵，∴
∴，不满足题意，故C不符合条件；
对于D，四边形的内切圆过焦点
即四边形的内切圆的半径为c，∴
∴，∴，解得（舍去）或，∴，故D符合条件． 故选：BD．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知椭圆的离心率等于，则实数__________．
【答案】或
【解析】当椭圆的焦点在轴时，，，，
所以，解得，当椭圆的焦点在轴时，，，，
所以，解得．故答案为：或.
10．如图所示，已知椭圆的两个焦点分别为，为椭圆上的一点，且，则该椭圆的离心率为__________；若点在第二象限，，则的面积为__________．
【答案】
【解析】设椭圆方程为，依题意得，，
因为，即，故，，
所以该椭圆的离心率为，所以椭圆的方程为．
设点坐标为，由点在第二象限，则，，
因为，所以所在的直线方程为．
则解方程组，得，解得或（舍）
所以．所以．故答案为：；
11．在平面直角坐标系中，椭圆上存在点P，使得，其中，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是__________.
【答案】
【解析】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，又
可得，
由题意可得
，解得
, 故答案为：
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．
（2）焦点在x轴上，离心率为，点P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设椭圆方程为．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝3所以a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为．
（2）由题意得，
，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的方程：；
13．阿基米德（公元前年—公元前年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与交于不同的两点，求面积的最大值.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)依题意有解得所以椭圆的标准方程是.
(2)由题意直线的斜率不能为，设直线的方程为，
由方程组得，
设，，
所以，，
所以，
所以，
令（），则，，
因为在上单调递增，
所以当，即时，面积取得最大值为.
14．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，左顶点为，下顶点为，连结并延长交椭圆于点，连结，.记椭圆的离心率为.
（1）若，，求椭圆的标准方程；
（2）若直线与的斜率之积为，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意：，，
又，解得，，
所以椭圆的方程为：；
（2）由椭圆的方程可得，，，
由题意可得，且直线的方程为：，
联立直线与椭圆的方程，整理可得：，
所以，代入直线中可得，
即，
所以
所以，
整理可得，
整理可得：，
即，，，
因为，
所以方程整理为：，即，
，解得：（舍去）或， 所以.第三章 圆锥曲线
3.1.2椭圆的几何性质(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．焦点在轴上，过点且离心率为椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，若为等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
3．17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程(k>0，k≠1，a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A，B两点)引垂线，垂足为Q，则为常数.据此推断，此常数的值为（ ）
A. 椭圆的离心率 B. 椭圆离心率的平方
C. 短轴长与长轴长的比 D. 短轴长与长轴长比的平方
4．已知，是椭圆：的左、右焦点，离心率为，点的坐标为，则的平分线所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
5．椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点若为钝角，点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为12 B．
C．点P到x轴的距离为 D．
7．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
8．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，分别为左、右顶点，分别为上、下顶点，分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）
A． B．
C．轴，且 D．四边形的内切圆过焦点
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知椭圆的离心率等于，则实数__________．
10．如图所示，已知椭圆的两个焦点分别为，为椭圆上的一点，且，则该椭圆的离心率为__________；若点在第二象限，，则的面积为__________．
11．在平面直角坐标系中，椭圆上存在点P，使得，其中，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是__________.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．
（2）焦点在x轴上，离心率为，点P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为.
13．阿基米德（公元前年—公元前年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与交于不同的两点，求面积的最大值.
14．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，左顶点为，下顶点为，连结并延长交椭圆于点，连结，.记椭圆的离心率为.
（1）若，，求椭圆的标准方程；
（2）若直线与的斜率之积为，求的值.
