第三章 圆锥曲线
3.2.1双曲线的标准方程(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知，则动点的轨迹是（ ）
A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支
2．若双曲线的焦距为8，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且经过点Q(，)．若以点F1，F2，P(0,2b)为顶点的三角形为等边三角形，则此双曲线的标准方程为（ ）
A．x2－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
4．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9.若动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（ ）
A．x2－＝1 B．x2－＝1(x≤－1)
C．＋y2＝1 D．x2－＝1(x≥1)
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知双曲线y2－4x2＝16上一点M到一个焦点的距离为10，则点M到另一个焦点的距离可能为( )
A．2 B．6
C．18 D．12
7．在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中常数为正数满足，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（ ）
A．两个椭圆 B．两个双曲线
C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线
8．已知点是双曲线的右支上一点，双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（ ）
A．点的横坐标为 B．的周长为
C．大于 D．的内切圆半径为
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知方程表示双曲线，则的取值范围是_________．
10．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽. 若水面下降，则水面宽是__________．（结果精确到）
11．若A，B为双曲线的左，右焦点，C为该双曲线上一点，且，则的周长为_________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．（1）焦距为，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上，求双曲线标准方程
（2）已知双曲线与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)，求双曲线标准方程
13．如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
14．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A,B,C)，A在B的正东方向，相距6km；C在B的北偏西30°方向，相距4km；P为航天员的着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B,C两地比A距P远，在此4s后，B,C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1km/s，求在A处发现P的方位角．第三章 圆锥曲线
3.2.1双曲线的标准方程(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知，则动点的轨迹是（ ）
A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支
【答案】A
【解析】因为，故动点的轨迹是一条射线，
其方程为：，故选:A.
2．若双曲线的焦距为8，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，，，，
因为，所以，解得，故选：C．
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且经过点Q(，)．若以点F1，F2，P(0,2b)为顶点的三角形为等边三角形，则此双曲线的标准方程为（ ）
A．x2－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【答案】D
【解析】因为等边三角形F1F2P，P(0,2b)，F2(c,0)，所以2b＝c，即4b2＝3a2＋3b2，所以b2＝3a2.因为双曲线过点Q(，)，所以－＝1，解得a2＝4，所以b2＝12,故选:D.
4．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，故选:D．
5．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9.若动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（ ）
A．x2－＝1 B．x2－＝1(x≤－1)
C．＋y2＝1 D．x2－＝1(x≥1)
【答案】B
【解析】设动圆的圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，则MC1＝r＋1，MC2＝r＋3，所以MC2－MC1＝2＜C1C2，从而点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支．又2a＝2，c＝3，所以b＝2，从而点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)， 故选：B．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知双曲线y2－4x2＝16上一点M到一个焦点的距离为10，则点M到另一个焦点的距离可能为( )
A．2 B．6
C．18 D．12
【答案】AC
【解析】双曲线y2－4x2＝16可化为-，，所以，M到一个焦点的距离为10，则点M到另一个焦点的距离2或者10，故选：AC．
7．在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中常数为正数满足，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（ ）
A．两个椭圆 B．两个双曲线
C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线
【答案】BC
【解析】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，设动圆的半径为．
当时，两圆相离，动圆可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切．
①若均内切，则，
此时，
当时，点的轨迹是以为焦点的双曲线，
当时，点在线段的垂直平分线上．
②若均外切，则，
此时，则点的轨迹与①相同．
③若一个外切，一个内切，不妨设与圆内切，与圆外切，则．同理，当与圆内切，与圆外切时，．
此时点的轨迹是以为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．故选：BC．
8．已知点是双曲线的右支上一点，双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（ ）
A．点的横坐标为 B．的周长为
C．大于 D．的内切圆半径为
【答案】ABD
【解析】因为双曲线，所以
又因为，所以
将其代入得，即，所以选项A正确；
所以P的坐标为，由对称性可知,
由双曲线定义可知
所以，所以选项B正确；
因为，所以，
即，所以，所以选项C不正确；
因为，所以，所以选项D正确.
故选：ABD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知方程表示双曲线，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题意，方程表示双曲线，则满足，解得，
即实数的取值范围是. 故答案为：
10．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽. 若水面下降，则水面宽是__________．（结果精确到）
【答案】
【解析】以双曲线的对称轴为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设双曲线方程为，
顶点为，，
将点的坐标代入双曲线方程得，，解得，
水面下降米后，即，
代入双曲线方程得，解得，
宽度为. 故答案为：.
11．若A，B为双曲线的左，右焦点，C为该双曲线上一点，且，则的周长为_________．
【答案】24
【解析】双曲线中，，
所以，平方可得，①
在中，由余弦定理可得，②
由②和①整理得，，
所以，
所以，所以的周长为.
故答案为：24.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．（1）焦距为，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上，求双曲线标准方程
（2）已知双曲线与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)，求双曲线标准方程
【答案】（1）； （2）－y2＝1.
【解析】（1）因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设双曲线的标准方程为，0＜a2＜6.
又因为过点(－5,2)，所以，
解得a2＝5或a2＝30(舍去).
所以双曲线的标准方程为.
（2）椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．
设双曲线标准方程为 (a＞0，b＞0)，
因为双曲线过点P(2,1)，
所以，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是－y2＝1.
13．如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
【答案】（1）10或22；（2）.
【解析】（1）是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或，
即点到另一个焦点的距离为或；
（2）P是双曲线左支上的点，则，
则，而，
所以，
即，
所以为直角三角形，，
所以.
14．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A,B,C)，A在B的正东方向，相距6km；C在B的北偏西30°方向，相距4km；P为航天员的着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B,C两地比A距P远，在此4s后，B,C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1km/s，求在A处发现P的方位角．
【答案】P在A的北偏东30°方向
【解析】因为B,C同时接收到信号，
所以PC＝PB，则P在BC的中垂线上．
因为B,C比A处晚4s收到信号，
所以有PB－PA＝4×1<6＝AB，
从而P在以A,B为焦点的双曲线的右支上，
所以2a＝4,c＝3，从而b2＝c2－a2＝5.
以线段AB的中点为坐标原点，AB的中垂线为y轴，正东方向为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)，
所以双曲线的方程为－＝1(x>2)，BC的中垂线的方程为y－＝(x＋4)，x－y＋7＝0.
联立解得或(舍去)，即P(8,5)，从而kPA＝＝，
所以PA的倾斜角为60°，则P在A的北偏东30°方向．
