第七章 复数
3.2.1双曲线的标准方程(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．双曲线方程为,则它的右焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A B.
C. 或 D.
3．若双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P在双曲线E上，且，则等于（ ）
A. 13 B. 1 C. 1或13 D. 无解
4．若双曲线的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为（ ）
A.7或 B. -7 C. 2 D. 无解
5．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的焦距为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知方程表示的曲线C，则下列判断正确的是（ ）
A. 当时，曲线C表示椭圆；
B. 当或时，曲线C表示双曲线；
C. 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则；
D. 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则；
7．设双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，下列说法正确的是（ ）
A．若为直角三角形，则的周长是
B．若为直角三角形，则的面积是6
C．若为锐角三角形，则的取值范围是
D．若为钝角三角形，则的取值范围是
8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，那么下列说法中正确的有（ ）
A．若点在双曲线上，则
B．双曲线的焦点均在以为直径的圆上
C．双曲线上存在点，使得
D．双曲线上有个点，使得是直角三角形
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．设，分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点．若，则点到轴的距离为________．
10．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为__________
11．设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．（1）已知双曲线的焦点为，且该双曲线过点.求双曲线的标准方程；
（2）已知双曲线与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)，求双曲线标准方程
13．求下列动圆的圆心M的轨迹方程：
(1)与圆C1：x2＋(y－2)2＝1和圆C2：x2＋(y＋2)2＝4都内切；
(2)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9内切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1外切．
14．在一张纸片上，画有一个半径为2的圆（圆心为M）和一个定点N，且MN=6，若在圆上任取一点A，将纸片折叠使得A与N重合，得到折痕BC，直线BC与直线AM交于点P.
（1）若以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线作为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；
（2）在（1）的条件下，点，能否找到点P使得△PNQ的周长最小，若存在求出该最小值及点P坐标，若不存在，请说出理由.第七章 复数
3.2.1双曲线的标准方程(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．双曲线方程为,则它的右焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，则，，
所以，所以，
故双曲线右焦点坐标为. 故选：D
2．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A B.
C. 或 D.
【答案】C
【解析】当双曲线的焦点在x轴上，双曲线方程，则解得：；
当双曲线的焦点在y轴上，双曲线方程，
所以解得：； 故选:C.
3．若双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P在双曲线E上，且，则等于（ ）
A. 13 B. 1 C. 1或13 D. 无解
【答案】A
【解析】由双曲线方程知，则，双曲线右支上的点到左焦点距离最小值为，因此在左支上．
∴，即．故选：A．
4．若双曲线的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为（ ）
A.7或 B. -7 C. 2 D. 无解
【答案】A
【解析】依题意可知，
当双曲线的焦点在x轴上时，，所以；
当双曲线的焦点在y轴上时，，所以
综上，或. 故选：A．
5．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的焦距为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足，
不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知，
所以，，因为，，所以，
所以为最小边，的最小内角，
由余弦定理可得，，
即，，，
所以．故选：D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知方程表示的曲线C，则下列判断正确的是（ ）
A. 当时，曲线C表示椭圆；
B. 当或时，曲线C表示双曲线；
C. 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则；
D. 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则；
【答案】BC
【解析】由，得，此时方程表示圆，故A选项错误.
由双曲线的定义可知时，即或时，方程表示双曲线，故B选项正确.
由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在轴上时，满足，解得，故C选项正确.
当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故D选项不正确.
故选：BC
7．设双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，下列说法正确的是（ ）
A．若为直角三角形，则的周长是
B．若为直角三角形，则的面积是6
C．若为锐角三角形，则的取值范围是
D．若为钝角三角形，则的取值范围是
【答案】C
【解析】因为双曲线，所以，
不妨设点P在第一象限，则，
若为直角三角形，当时，则，
又，即，
所以，，所以，
所以的周长是，的面积是；
当时，设，代入方程解得（负值舍去），所以，
故，所以，所以的周长是，的面积是6，
综上所述，若为直角三角形，则的周长是或8，
的面积是3或6，故A、B错误；
若为锐角三角形，根据上述，则的取值范围是，故C正确；
若为钝角三角形，根据上述，则的取值范围是，故D错误. 故选：C.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，那么下列说法中正确的有（ ）
A．若点在双曲线上，则
B．双曲线的焦点均在以为直径的圆上
C．双曲线上存在点，使得
D．双曲线上有个点，使得是直角三角形
【答案】BD
【解析】对于A选项，设点，则，
所以，，A选项错误；
对于B选项，双曲线的焦点为，易知、，
以为直径的圆的方程为，则点在圆上，B选项正确；
对于C选项，若双曲线上存在点，使得，
由双曲线的定义可得，
不妨设，解得，，C选项错误；
对于D选项，以为直径的圆与双曲线有个交点，
过点且垂直于轴的直线与双曲线有个交点，过点且垂直于轴的直线与双曲线有个交点.
综上所述，双曲线上有个点，使得是直角三角形，D选项正确.
故选：BD.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．设，分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点．若，则点到轴的距离为________．
【答案】
【解析】由题意，双曲线中，，
如图，设，，由双曲线定义知，
两边平方得，
在中，由余弦定理可得，即
两式相减得，即，
利用等面积法可知，即，
解得，故答案为：．
10．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为__________
【答案】9
【解析】双曲线方程为，
焦点为，，由双曲线的定义可得，
由圆可得，半径，，
连接，交双曲线于，交圆于，
此时取得最小值，且为，
则的最小值为. 故答案为：9
11．设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．
【答案】
【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长，
因为，所以的周长，
因为的周长的最小值是，，，所以，，双曲线的方程为，
当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去），
故的坐标为．故答案为：，．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．（1）已知双曲线的焦点为，且该双曲线过点.求双曲线的标准方程；
（2）已知双曲线与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)，求双曲线标准方程
【答案】（1）； （2）－y2＝1.
【解析】（1）设双曲线的方程为，由，，且该双曲线过点，所以
，
，又，，
双曲线的标准方程为；
（2）椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．
设双曲线标准方程为 (a＞0，b＞0)，
因为双曲线过点P(2,1)，
所以，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是－y2＝1.
13．求下列动圆的圆心M的轨迹方程：
(1)与圆C1：x2＋(y－2)2＝1和圆C2：x2＋(y＋2)2＝4都内切；
(2)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9内切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1外切．
【答案】（1）4y2－＝1（y≤-）（2）－＝1(x≤－2)．
【解析】(1)因为圆M与圆C1，圆C2都内切，
所以MC1＝r－1,MC2＝r－2，
因此有MC1－MC2＝1，
所以点M的轨迹是以C2,C1为焦点的双曲线的下支，即点M的轨迹方程
是4y2－＝1（y≤-）
(2)因为圆M与圆C1内切，与圆C2外切，
所以MC1＝r－3,MC2＝r＋1，
因此有MC2－MC1＝4，
所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的左支，即点M的轨迹方程是－＝1(x≤－2)．
14．在一张纸片上，画有一个半径为2的圆（圆心为M）和一个定点N，且MN=6，若在圆上任取一点A，将纸片折叠使得A与N重合，得到折痕BC，直线BC与直线AM交于点P.
（1）若以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线作为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；
（2）在（1）的条件下，点，能否找到点P使得△PNQ的周长最小，若存在求出该最小值及点P坐标，若不存在，请说出理由.
【答案】（1）；（2）存在点使得△PNQ的周长最小，最小值为.
【解析】（1）过点作圆的切线，切点分别为，，
由题意知，是线段的垂直平分线，
因为直线与直线交于点，所以，
当点在劣弧上时，点在射线上，所以；
当点在优弧上时，点在射线上，所以；
所以，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，，
所以，，，所以点的轨迹方程为.
（2）△PNQ的周长，
因为，，所以，
因为，所以，或，
所以要使得△PNQ的周长l最小，则点在双曲线的右支上，即，所以，
当，，三点共线时，△PNQ的周长l最小，，
L的最小值为，此时，直线方程为，
代入双曲线方程得，解得，
注意到点在双曲线的右支上，所以点坐标为，
所以存在点使得△PNQ的周长最小，最小值为.
