西藏自治区山南三高2021-2022学年高二上学期期中备考数学（理）试卷（A卷）（Word版含答案）

山南三高2021-2022学年上学期高二期中备考卷
理 科 数 学 （A卷）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．设，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，是线段的中点，若(为坐标原点)，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．过原点的直线与双曲线交于，两点，点为双曲线上一点，若直线的斜率为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，
则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线，过抛物线的焦点且斜率为的直线交于，两点，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
11．点为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若，满足约束条件，则的最大值为__________．
14．若双曲线C经过点(2，2)，且与双曲线具有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为__________．
15．倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则的长为__________．
16．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，交圆于，两点，其中，位于第一象限，则的最小值为__________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知动圆过点，且与直线相切．
（1）求圆心的轨迹的方程；
（2）斜率为的直线经过点，且直线与轨迹交于点，，求线段的垂直平分线方程．
18．（12分）已知圆．
（1）若直线过定点，且与圆相切，求直线的方程；
（2）若圆半径是，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程．
19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，平面平面，且，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）如图，正三棱柱中，，点，分别为，的中点．
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值．
21．（12分）已知椭圆的左顶点和下顶点分别为，，，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为椭圆上一动点(不与，重合)，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：为定值．
22．（12分）已知椭圆经过点，且短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，且，求面积的取值范围．
理 科 数 学 （A卷）答 案
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】B
10．【答案】B
11．【答案】C
12．【答案】C
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解】（1）设动点，则，化简得轨迹的方程．
（2）由题意得，直线的方程为，由，得，，
设，，中点，则，，
所以，，
又垂直平分线的斜率为，所以垂直平分线方程为．
18．【答案】（1）；（2）或．
【解】（1）设直线的方程为，即，则圆心到的距离为，所以，直线的方程为．
（2）设圆心，则，或，
所以，圆的方程为或．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解】（1）证明：取中点，因为是中点，∴，且，
∵是的中点，则，且，∴，且，
∴四边形是平行四边形，∴，
又∵平面，平面，∴平面．
（2）∵是正三角形边为的中点，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，
∵四边形为菱形，，∴正三角形中，，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
不妨设菱形的边长为，则，，，，
则点，，，，，
∴，，
设平面的法向量为，则，即，解得，
不妨令，得，
又，设与平面所成角为，
∴，∴与平面所成角的正弦值为．
20．【答案】（1）；（2）．
【解】（1）取的中点，连接，则平面，
又∵是等边三角形，∴，以为原点，分别以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，可得，
∴点到平面的距离为．
（2），，
设平面的法向量为，则，即，
令，可得，
∴，∴二面角的余弦值为．
21．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解】（1）由题意可知，得，所以椭圆的方程为．
（2）由（1）可知，，设，，，
因为在椭圆上，所以，
由，，三点共线得，同理可得，
所以，
所以为定值．
22．【答案】（1）；（2）．
【解】（1）由题意知，，，解得，，
故椭圆方程为．
（2）(i)当，斜率为一个为，一个不存在时，；
(ii)当，斜率都存在且不为时，设，，，
由消得，，，得，
，
∴，，
∴，
又，所以，
综上，面积的取值范围为．