西藏自治区山南三高2021-2022学年高二上学期期中备考数学（理）试卷（B卷）（Word版含答案）

山南三高2021-2022学年上学期高二期中备考卷
理 科 数 学 （B卷）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．经过点且在轴上的截距为的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．两条平行直线与间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
4．若直线：平分圆：，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
5．已知双曲线C：(，)的实轴长为，左焦点到的一条渐近线的距离为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．设，是椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个圆上 B．一个椭圆上 C．双曲线的一支上 D．抛物线上
8．若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线共有（ ）条．
A． B． C． D．
9．直角坐标系中，双曲线的左焦点为，，是右支上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，以为直径的圆过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆相交于点、，则（ ）
A．当时，的面积为 B．不存在使为直角三角形
C．存在使四边形面积最大 D．存在，使的周长最大
12．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________．
14．设双曲线：(，)的左、右焦点分别为、，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是__________．
15．已知圆的方程为，直线：与圆交于，两点，
则当面积最大时，直线的斜率__________．
16．直线与抛物线交于，两点，为抛物线上一点，，，三点的横坐标依次成等差数列．若中，边上的中线的长为3，则的面积为__________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知为实数，设直线的方程为，直线的方程为．
（1）若与平行，求的值；
（2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点一定在某一条定直线上．
18．（12分）已知圆：，直线：．
（1）判断直线与圆位置关系；
（2）求直线被圆截得线段的最短长度及此时的方程．
19．（12分）已知双曲线的焦点，，渐近线方程为，直线过点且与双曲线有且只有一个公共点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求直线的方程．
20．（12分）已知椭圆：的离心率，且椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是椭圆与轴正半轴的交点，斜率不为的直线与椭圆交于不同的两点，，若，问直线是否恒过定点 若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
21．（12分）设抛物线的方程为，其中常数，是抛物线的焦点．
（1）若直线被抛物线所截得的弦长为，求的值；
（2）设是点关于顶点的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值；
（3）设，、是两条互相垂直，且均经过点的直线，与抛物线交于点、，与抛物线交于点、，若点满足，求点的轨迹方程．
22．（12分）已知为抛物线：的焦点，为圆：上任意点，且最大值为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若在抛物线上，过作圆的两条切线交抛物线于、，求中点的纵坐标的取值范围．
理 科 数 学 （B卷）答 案
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】B
10．【答案】A
11．【答案】C
12．【答案】B
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】或
16．【答案】
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2），见解析．
【解】（1）∵与平行，则，解得．
（2）联立，解得，，所以点．
∵，即，
因此，点在直线上．
18．【答案】（1）相交；（2），．
【解】（1）将直线的方程变形为，
可得，解得，
所以，直线恒过定点，
∵，则点在圆内，不论取何值，直线与圆总相交．
（2）设圆心到直线的距离为，设直线截圆所得弦长为，如下图所示：
当直线与直线不垂直时，；当时，，
所以，，即当时，取得最大值，．
直线的斜率为，由于，则直线的斜率为，此时，直线的方程为，即，
直线截圆所得弦长的最小值为．
19．【答案】（1）；（2）或．
【解】（1）双曲线的焦点在轴上，设其方程为，
又，，∴，
故双曲线的标准方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线与双曲线有两个公共点，不满足题意，
所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为．
由得．(※)
当时，即．
若，方程(※)无解；
若，由方程(※)得，此时直线方程为，即．
当时，由，得，此时直线方程为，
综上，所求直线的方程为或．
20．【答案】（1）；（2）定点为，见解析．
【解】（1）设椭圆的焦距为，由，即，∴，有，
又椭圆过点，∴，解得，
∴椭圆的标准方程为．
（2）由题可设直线的方程为，
由，消去，整理可得，
设，，则，，
由题意，可得，有，
∴，且(直线不过点)，即，整理可得，解得，
故直线过定点．
21．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解】（1）由可得，可得，解得．
（2）是点关于顶点的对称点，可得，
设过的直线为，，联立抛物线方程可得，
由直线和抛物线相切可得，解得，可取，可得切线的倾斜角为，
由抛物线的定义可得，而的最小值为，的最大值为．
（3）由，可得，设，，，，，
设：，联立抛物线，可得，
即有，，
由两直线垂直的条件，可将换为，可得，，
点满足，可得，
即为，①，②
联立①②式消元可得，则的轨迹方程为．
22．【答案】（1）；（2）．
【解】（1）抛物线焦点为，圆的圆心为，半径为，所以，，
∵，解得，
因此，抛物线的方程为．
（2）设点、，
设过点的圆的切线方程为，
则，整理得，
设、的斜率分别为、，则、是上述方程的两根，
由韦达定理得，，
将方程代入抛物线的方程得，
整理得，所以，，，
线段中点的纵坐标为，
函数在区间上为增函数，当时，，
∵，则，所以，
因此，线段的中点的纵坐标的取值范围是．