5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第二课时（教案）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册（Word含答案案解析）
文档属性
| 名称 | 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第二课时（教案）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册（Word含答案案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 714.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-13 12:59:51 | ||
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文档简介
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
第二课时
教学设计
一、教学目标
1.了解函数的最大（小）值的概念，能够区分极值与最值.
2.能利用导数求某些函数给定闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值.
2.体会导数与最大（小）值的关系，掌握其应用.
二、教学重难点
1、教学重点
在给定闭区间上求函数的最值.
2、教学难点
函数最大（小）值的应用.
三、教学过程
1、新课导入
在上节课的学习中，我们了解到极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在附近找不到比更大（小）的值，但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小. 如果是某个区间上函数的最大（小）值点，那么不小（大）于函数在此区间上的所有函数值.
2、探索新知
下图是函数，的图象.由图象可知，，，是函数的极小值，，，是函数的极大值.
由图可以看出，函数在区间上的最小值是，最大值是.
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
1.函数最值与极值的关系
只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
例1 求函数在区间上的最大值与最小值.
解：因为，所以.
令，解得或.
当x变化时，，的变化情况如表所示.
x 2
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 单调递减 单调递增
因此，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为.
故在区间上，当时，函数有极小值，且极小值为.
又由于，，
所以函数在区间上的最大值是4，最小值是.
2.求函数最值的方法步骤
一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.利用导数解决与函数相关的问题
例2 给定函数.
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）画出函数的大致图象；
（3）求出方程的解的个数.
解：（1）函数的定义域为.
.
令，解得.
，的变化情况如表所示.
x
－ 0 ＋
单调递减 单调递增
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当时，有极小值.
（2）令，解得.
当时，；当时，.
所以的图象经过特殊点，，.
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，
从而；
当时，，.
根据以上信息，画出的大致图象如图所示.
（3）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数.
由（1）及上图可得，当时，有最小值.
所以关于方程的解的个数有如下结论：
当时，解为0个；
当或时，解为1个；
当时，解为2个.
4.画函数的大致图象的步骤：
（1）求出函数的定义域；
（2）求导数及函数的零点；
（3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；
（4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出的大致图象.
5.导数在解决实际问题中的应用
例3 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：由题意可知，每瓶饮料的利润是，.
所以，
令，解得.
当时，；当时，.
因此，当半径时，，单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，，单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半经为6 cm时，利润最大.
（2）半经为2 cm时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值.
3.课堂练习
1.函数的最小值是( )
A. B. C.0 D.
答案：A
解析：由，得.当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数有最小值.故选A.
2.已知函数在区间上的最大值、最小值分别为M，N，则的值为( )
A.2 B.4 C.20 D.18
答案：C
解析：由题意，得，令，解得，，当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增.因为，，，所以最大值，最小值，故.故选C.
3.已知不等式恒成立，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：令，则，，故当时，，当时，，在区间上，
，又不等式恒成立，，即，解得.故选B.
4.已知函数在处取得极值，若，则的最小值为_____________.
答案：-4
解析：，由在处取得极值，知，即，故.所以，，令，得或，若，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，也是最小值，所以当时，.
4、小结作业
小结：本节课学习了利用导数求函数在闭区间上的最大值、最小值.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
第二课时
1.函数的最值：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
2.求函数最值的方法步骤：
一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.画函数的大致图象的步骤：
（1）求出函数的定义域；
（2）求导数及函数的零点；
（3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；
（4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出的大致图象.
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5.3.2 函数的极值与最大（小）值
第二课时
教学设计
一、教学目标
1.了解函数的最大（小）值的概念，能够区分极值与最值.
2.能利用导数求某些函数给定闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值.
2.体会导数与最大（小）值的关系，掌握其应用.
二、教学重难点
1、教学重点
在给定闭区间上求函数的最值.
2、教学难点
函数最大（小）值的应用.
三、教学过程
1、新课导入
在上节课的学习中，我们了解到极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在附近找不到比更大（小）的值，但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小. 如果是某个区间上函数的最大（小）值点，那么不小（大）于函数在此区间上的所有函数值.
2、探索新知
下图是函数，的图象.由图象可知，，，是函数的极小值，，，是函数的极大值.
由图可以看出，函数在区间上的最小值是，最大值是.
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
1.函数最值与极值的关系
只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
例1 求函数在区间上的最大值与最小值.
解：因为，所以.
令，解得或.
当x变化时，，的变化情况如表所示.
x 2
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 单调递减 单调递增
因此，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为.
故在区间上，当时，函数有极小值，且极小值为.
又由于，，
所以函数在区间上的最大值是4，最小值是.
2.求函数最值的方法步骤
一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.利用导数解决与函数相关的问题
例2 给定函数.
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）画出函数的大致图象；
（3）求出方程的解的个数.
解：（1）函数的定义域为.
.
令，解得.
，的变化情况如表所示.
x
－ 0 ＋
单调递减 单调递增
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当时，有极小值.
（2）令，解得.
当时，；当时，.
所以的图象经过特殊点，，.
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，
从而；
当时，，.
根据以上信息，画出的大致图象如图所示.
（3）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数.
由（1）及上图可得，当时，有最小值.
所以关于方程的解的个数有如下结论：
当时，解为0个；
当或时，解为1个；
当时，解为2个.
4.画函数的大致图象的步骤：
（1）求出函数的定义域；
（2）求导数及函数的零点；
（3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；
（4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出的大致图象.
5.导数在解决实际问题中的应用
例3 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：由题意可知，每瓶饮料的利润是，.
所以，
令，解得.
当时，；当时，.
因此，当半径时，，单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，，单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半经为6 cm时，利润最大.
（2）半经为2 cm时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值.
3.课堂练习
1.函数的最小值是( )
A. B. C.0 D.
答案：A
解析：由，得.当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数有最小值.故选A.
2.已知函数在区间上的最大值、最小值分别为M，N，则的值为( )
A.2 B.4 C.20 D.18
答案：C
解析：由题意，得，令，解得，，当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增.因为，，，所以最大值，最小值，故.故选C.
3.已知不等式恒成立，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：令，则，，故当时，，当时，，在区间上，
，又不等式恒成立，，即，解得.故选B.
4.已知函数在处取得极值，若，则的最小值为_____________.
答案：-4
解析：，由在处取得极值，知，即，故.所以，，令，得或，若，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，也是最小值，所以当时，.
4、小结作业
小结：本节课学习了利用导数求函数在闭区间上的最大值、最小值.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
第二课时
1.函数的最值：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
2.求函数最值的方法步骤：
一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.画函数的大致图象的步骤：
（1）求出函数的定义域；
（2）求导数及函数的零点；
（3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；
（4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出的大致图象.
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