5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 正弦函数 余弦函数的单调性和最值（教案）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 正弦函数 余弦函数的单调性和最值
教学设计
一、教学目标
1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.
2.能够利用单调性解决一些问题，比如比较大小，求最值等，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.
二、教学重难点
1.教学重点
正弦函数、余弦函数的单调性、最值，研究函数的思想方法.
2.教学难点
利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性、最值.
三、教学过程
（一）类比引入
教师：前面研究了正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性，它们还有哪些性质呢？
学生：思考.
教师指出要研究正弦函数、余弦函数的单调性、最值.
（二）探究一：正弦函数、余弦函数的单调性
教师：观察正弦函数的图像.
思考：1.函数值的变化有什么特点？
学生：观察函数图像.思考函数图像的变化趋势，总结函数的单调性.
当时，曲线逐渐上升，是增函数，的值由-1增大到1，当时，曲线逐渐下降，是减函数，的值由1减小到-1.
思考2：推广到整个定义域呢？
学生：观察图像，讨论交流.
当时，正弦函数y=是增函数，函数值由-1增大到1.
当时，正弦函数y=是减函数，函数值由1减小到-1.
同理，观察余弦函数的图像.
余弦函数在上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
教师引导学生发现余弦函数的图像特点，并与正弦函数
的图像特点进行比较，学生分组探讨，教师巡视.
当时，曲线逐渐上升，是增函数，的值由-1增大到1.
当时，曲线逐渐下降，是减函数，的值由1减小到-1.
推广到整个定义域：
当时，余弦函数是增函数，的值由-1增大到1.
当时，余弦函数是减函数，函数值由1减小到-1.
探究二：正弦函数、余弦函数的单调区间和最值
教师：1.正弦函数、余弦函数的单调区间分别是什么？
正弦函数的增区间为，减区间为.
余弦函数的增区间为减区间为
2.继续观察图像，当正弦函数、余弦函数取最值时，x的取值有何规律？
对于正弦函数，有
当且仅当时，取得最大值1；当且仅当时，取得最小值-1
对于余弦函数有
当且仅当时，取得最大值1.
当且仅当时，取得最小值-1.
（二）课堂练习
1.函数的一个递减区间是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：令，，得，，
当时，，又，
是函数的一个单调递减区间.故选D.
2.函数在上的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：令，，解得，，又，所以在上的单调递增区间是.
故选C.
3.设函数，则下列结论正确的是( )
A.的一个周期为 B.的图像关于直线对称
C.的一个零点是 D.在上单调递增
答案：B
解析：本题考查余弦型函数的周期性、对称性、零点和单调性.由可知的最小正周期选项A错误；因为所以的图像关于直线对称，选项B正确，选项C错误；因为的最小正周期为所以在上不可能是单调的，选项D错误.故选B.
4.已知函数，则下列结论错误的是( )
A.的最大值是1 B.是周期函数
C.的图像关于直线对称 D.是偶函数
答案：C
解析：的最大值是1，故A结论正确；是周期函数，故B结论正确；的图像不关于直线对称，故C结论不正确；是偶函数，故D结论正确.故选C.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容
1.正弦函数、余弦函数的单调性
2.正弦函数、余弦函数的单调区间和最值.
四、板书设计
1.正弦函数单调性.
2.余弦函数单调性.
3.正余弦函数最值.