13.3.2 等边三角形（第一课时） 课后练习 2021—2022学年人教版八年级数学上册（Word版含答案）

2021——2022学年度人教版八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.3.2 等边三角形（第一课时）课后练习
一、选择题
1．△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为（ ）
A．4 B．＋3 C．6 D．2＋3
2．如图，点在y轴上，点、在轴上，，，与关于轴对称，，点、分别是边、上的动点，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，已知钝角中，且，（1）以C为圆心，长为半径画弧；（2）以B为圆心，为半径画弧，交前弧于点E；（3）连接交的延长线于点D．下列叙述不一定正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．平分 C． D．垂直平分
4．如图，已知△ABC和△DCE是等边三角形，点B，C，E在同一直线上，AE，AC与CD，BD分别交于点F、G．连接GF，下列结论：①AE＝BD；②AG＝DF；③GF∥BE，④CF＝GF，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，已知是等边三角形，是边上的一个动点（异于点、），过点作，垂足为，的垂直平分线分别交、于点、，连接，．当点在边上移动时，有下列三个结论：①一定为等腰三角形；②一定为等边三角形；③可能为等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．如图，已知∠AOB，按下面步骤作图：
（1）在射线OA上任意取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，连接CE，DE；
（3）作射线OE交CD于点F．
根据以上所作图形，有如下结论：
①CE∥OB；②CE＝2CF；③∠AOE＝∠BOE；④CD⊥OE．其中正确的有（　　）
A．①②③④ B．②③ C．③④ D．②③④
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H，G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠GAH＝60°，④GD＝GH．则其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，若AB＝7，BD＝3，则△ADE的周长为（　　）
A．4 B．9 C．12 D．21
9．如图，直角梯形纸片对边，是直角，将纸片沿着EF折叠，DF的对应边交AB于点G，FH平分交AC于点H，则结论：①；②；③；④，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④
10．如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交与点．则下列结论：①；②；③平分；④若，则．一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
11．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=______s时，△POQ是等腰三角形．
12．如图，点是内任意一点，，，点和点分别是射线和射线上的动点，则周长的最小值为__________．
13．如图，在等边△ABC中，BD＝CE，将线段AE沿AC翻折得到线段AF，连结EF，CF．以下说法：①DE＝EF；②∠ADB＝∠AEC＝∠AFC；③∠ACE=∠ACF=∠ADF④AE＝DF．正确的是 ___（填序号）．
14．如图，点C，D分别是边∠AOB两边OA、OB上的定点，∠AOB＝20°，OC＝OD＝4．点E，F分别是边OB，OA上的动点，则CE+EF+FD的最小值是____．
15．如图，等边△ABC的边长为1，AB边上有一点P，Q为BC延长线上的一点，且CQ＝PA，过点P作PE⊥AC于点E，过P作PF∥BQ交AC边于点F，连接PQ交AC边于点D，则DE的长为_____．
三、解答题
16．如图，等边三角形中，是上的高，，图中有哪些与相等的线段？
17．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．
（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．
18．已知：等边ABC中
（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足∠AMN=60°，求的值；
（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且∠MNB=∠MCB，求证：AM=BN．
19．如图，已知△ABD和△AEC中，AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，CD、BE相交于点P．
（1）用全等三角形判定方法证明：BE＝DC；
（2）求∠BPC的度数；
20．如图，C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形．AN，BM，相交于点O，AN，CM，，交于点P，BM，CN，交于点Q，连接PQ．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求证：
21．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．
（1）如图1，当点D为线段AB上的任意一点，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；
（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系，并证明．
22．如图1，在边长为的等边 中，点是边上一个动点，过点作⊥于点．
（1）求证：；
（2）如图2，过点向引垂线交于点，当时，试判断点在上的位置，并说明理由；
（3）如图3，延长至，使，连接交于点，随着点的移动，请判断线段的长度是否发生变化；若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
23．（阅读材料）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若，，，则
（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．
（深入探究）（2）如图2，和是等边三角形，连接，交于点O，连接，下列结论：①；②；③，其中正确的有__________．将所有正确的序号填在横线上）
（延伸应用）（3）如图3，在四边形中，，，，试探究与的数关系，并证明．
【参考答案】
1．C 2．C 3．B 4．C 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．C
11．或10
12．8
13．②③④
14．4
15．
16．∵等边三角形中，是上的高，
∴BD=DC，∠B=60°，∠BAD=30°，
∵，
∴∠EDA=∠BAD=30°，△BDE是等边三角形，
∴BD=DE=BE=AE，
∵等边三角形ABC是轴对称图形，
∴CD=CF=DF=AF，
∴BD=DE=BE=AE=CD=CF=DF=AF，
故与BD相等的线段有DE、BE、AE、CD、CF、DF、AF．
17．证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵线段AC与AD关于直线AP对称，
∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝AC＝AD，
∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，
∵线段AC与AD关于直线AP对称，
∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，
∵AD＝AC＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，
在△ABF与△ACE中，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
又∠CAE＝∠DAE，
∴，
∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴AF＝FE，
∴BE＝BF+FE＝CE+AE．
18．解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵点M是BC的中点，
∴∠MAN＝30°，∠AMB＝90°，
∵∠AMN＝60°，
∴∠BMN＝30°，∠BNM=90°，
∴BM＝2BN，AB＝2BM，
设BN＝x，则BM＝2x，AB＝4x，
∴AN＝3x，
∴；
（2）证明：如图2，过点M作MG∥NC交AC于点G，
∴∠A＝∠AMG＝∠AGM＝60°，
∴△AMG为等边三角形，
∴AM＝AG，
∴BM＝CG，
∵∠AGM＝∠ABC＝60°，
∴∠MGC＝∠NBM＝120°，
∵MG∥BC，
∴∠GMC＝∠MCB，
∵∠MNB＝∠MCB，
∴∠GMC＝∠MNB，
∴△MGC≌△NBM（AAS），
∴MG＝BN，
∵△AMG为等边三角形，
∴AM＝MG，
∴AM＝BN．
19．（1）证明：∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE；
（2）解：∵AD＝AB，∠DAB＝60°
∴△DAB是等边三角形，
∴∠ADB=∠DBA=60°，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∠BPC是△DBP的外角，
∴∠BPC=∠PBD+∠PDB=∠ABD+∠ABE+∠ADB-∠ADC=60°+∠ABE+60°-∠ABE=120°．
20．（1）证明：、是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
（3）∵、是等边三角形，
∴
∴
∴，
由（2）可知：
在和中
∴
∴
∴是等边三角形
∴
∴
∴．
21．解：（1）EF+CF=AC，证明如下：
过点D作DH⊥BC于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠B=∠A=45°，∠DHB=∠DHC=90°，
∴DH=BH，
∵EF⊥BC，
∴∠F=∠DHC=90°，
∵CE=CD，∠ECF=∠DCH，
∴△ECF≌△DCH，
∴EF=DH，CF=CH，
∴AC=BC=CH+BH=CF+EF；
（2）EF=AC+CF．证明如下：
如图，过点D作DM⊥BC于M，则∠M=∠ACB=90°，
∵∠B=45°，
∴DM=BM，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=∠DMC=90°，
∵CE=CD，∠ECF=∠DCM，
∴△ECF≌△DCM，
∴EF=DM，CF=CM，
∴DM=BM=BC+CM=AC+CF，
∴EF=AC+CF．
22．证明：（1）∵△是等边三角形，∴∠°
∵⊥，∴∠°，∠°，
∴
解：（2）点在的中点处
如图：连接，∵⊥⊥
∴点在∠的平分线上，∴平分∠
∵ 是等边三角形，∴为边上的中线，
∴点在的中点处；
（3）的长度不发生变化，且，
理由如下：
如图：过点作∥交于点．
∴∠
∵ 是等边三角形，
∴°
°
∴ 是等边三角形．∴
∵∴
在 和 中
∴ ≌
∴
又∵ 是等边三角形，⊥，
∴
∴
∴．
23．解：（1）∵，
∴，
∴，
在和中，
∴（SAS），
（2）∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，
，
∴，
在和中，
∴（SAS），
∴，，
故①正确，
如图所示，记AD与CE的交点为G，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
故②正确；
如图所示，将OC逆时针旋转60°，交BO于点F，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，BC=AC，
∴，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴，
故③正确；
综上，①②③正确，
故答案为：①②③；
（3）∵，，
∴是等边三角形，
∴BD=BC，，
∵，
∴，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴．