河北省衡水市桃城区第十四中学2021-2022学年高一上学期二调考试（11月）数学试卷（PDF版）

2021~2022 学年度第一学期高一年级二调考试
数学试卷
注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（单选题和多选题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分，考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷
一．选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.）
1．已知集合 A {x | x 1}， B { 1，0，2，3}，则 B ( R A) ( )
A．{2} B．{2 ，3} C．{0 ，1， 2} D．{x | x 1}
2．已知 x R，M 2x2 1， N 4x 6，则M ， N 的大小关系是 ( )
A．M N B．M N C．M N D．不能确定
3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 ( )
A． 2 x R， x 2x 1 0 B．所有菱形的 4 条边都相等
C．若 2x 为偶数，则 x N D． 是无理数
x2 5x 6
4．函数 f (x) 的定义域为 ( )
x 3
A． ( ， 2] B． ( ， 1] [6， )
C． ( ，3) (3, ) ， D． ( ， 2] (3, )
5．设某同学从甲地到乙地往返的速度分别为 a和b(a b)，其全程的平均速度为 v ，则 ( )
ab a b
A． v B． v ab C． ab v D． a v ab
a b 2
6．已知不等式 ax2 bx c 0的解集为{x | 2 x 1}，那么不等式 cx2 ax b 0 的解集为 ( )
1 1 1 1
A．{x | x 1} B．{x | x 或 x 1} C．{x | 1 x } D．{x | x 1或 x }
2 2 2 2
m 2
7．已知 f (x) (m2 2m 7) x 3 是幂函数，且在 (0, )上单调递增，则满足 f (a 1) 1的实数 a的范围为 ( )
A． ( ,0) B． (2, )
C． (0,2) D． ( ，0) (2， )
m
1, x 1
8．“0 m 1”是函数 f (x) x 满足：对任意的 x x ，都有 f (x ) f (x ”的 ( ) 1 2 1 2 )

x 1, x 1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二．多选题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.全部选对的得 5分，有选错的得 0 分，部分选对
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的得 3 分.）
9．下列各组函数表示相同函数的是 ( )
A． y x 1(x Z)， y | x | 1(x Z) B． y 2x(x 0) ， y 2x(x 0)
y 1
C． 2y x 1(x 0) ， 1 D． f (x) x 1， g(t) t2 1
x
10．命题“ x {x |1 x 2}， 2x2 a 0”为真命题的一个必要不充分条件是 ( )
A． a 1 B． a 2 C． a 3 D． a 4
11．已知函数 f (x) x [x]，其中[x]表示不大于 x 的最大整数，下列关于 f (x) 的性质，正确的是 ( )
A． f (x) 在[ 1， 0) 上是增函数 B． f (x) 是偶函数
C． f (x) 的值域为[0 ，1) D． f (x) 是奇函数
12．下列说法正确的有 ( )
x2 1
A． y 的最小值为 2
x
4
B．已知 x 1，则 y 2x 1的最小值为 4 2 1
x 1
C．若正数 x、 y 满足 x 2y 3xy，则 2x y 的最小值为 3
2 21
D．设 x、 y 为实数，若9x2 y2 xy 1，则3x y 的最大值为
7
第Ⅱ卷
三．填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.）
1 3
13．已知 x 0， y 0 ，且 1，则3x 4y的最小值是
y x
14．已知 y f (x) 为奇函数，当 x 0时， f (x) x(1 x) ，则当 x 0时， f (x) ．
15．函数 y x2 2x 3的递减区间是 ，递增区间是 ．
2
16．已知函数 f (x) | x 2x a | a 在区间[0 ， 2]上的最大值是 1，则实数 a的取值范围是 ．
四．解答题（本题共 6小题，共 70分.）
17．（10 分）设集合 A＝{x|x2+3x+2＝0}，B＝{x|x2+（m+1）x+m＝0}．
（1）若 B 中有且只有一个元素，求实数 m 的值；
（2）若 x∈B 是 x∈A 的充分条件，求实数 m 的值．
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4
18．（12 分）（1）已知 x 2，求 x 的最小值；
x 2
16
（2）若 x 0时，求1 x 的最大值．
x
19．（12 分）定义域为 R 的奇函数 F（x），当 x＜0 时，F（x）＝x2+4x．
（1）求 F（x）解析式，并写出它的单调区间；
（2）解不等式 F（x2）＞3．
2
20．（12 分）已知二次函数 f (x) x 2(a 1)x 4．
（1）若 f (x) 为偶函数，求 f (x) 在 [ 1，3] 上的值域；
（2）当 x [1， 2]时， f (x) ax 恒成立，求实数 a的取值范围．
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21．（12 分）某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q （万件）与广告费 x （万元）
3x 2
之间的函数关系为Q (x 1)，已知生产该产品的年固定投入为 3 万元，每生产 1 万件该产品另需再投入 32
x
万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本（生产成本不含广告费）的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”
之和．
（1）试将年利润W （万元）表示为年广告费 x （万元）的函数；（年利润 销售收入 成本）
（2）当年广告费为多少万元时，企业的年利润最大？最大年利润为多少万元？
22．（12 分）定义在非零实数集上的函数 f (x) 对任意非零实数 x ， y 满足： f (xy) f (x) f (y)，且当0 x 1时，
f (x) 0．
（Ⅰ）求 f ( 1) 及 f （1）的值；
（Ⅱ）求证： f (x) 是偶函数；
1
（Ⅲ）解不等式： f （2） f (x2 ) 0．
2
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2021~2022 学年度第一学期高一年级二调考试
数学试卷答案
一．选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.）
1．【解答】解：Q A {x | x 1}， R A {x | x 1}，
又 B { 1，0，2，3}，
B ( A) {2， 3}． R
故选： B ．
2
2．【解答】解：M N 2x 1 (4x 6)
2x2 4x 5 2(x 1)2 3 0，
故M N ，
故选： A．
3．【解答】解：对于 A : x R， x2 2x 1 (x 1)2 0，故 A错误；
对于 B ：所有菱形的 4 条边都相等，满足两个条件，故 B 正确；
对于C ：若 2x 为偶数，则 x N 或 N ，故C 错误；
对于 D : 是无理数不是全称命题，故 D 错误．
故选： B ．
x2 5x 6 0
4．【解答】解：由题意得： ，
x 3 0
解得： x 3或 x 2 ，
故选： D ．
s s
5．【解答】解：根据题意，设甲、乙两地之间的距离为 s ，则全程所需的时间为 ，则全程的平均速度为
a b
2s 2ab
v ，
s s a b

a b
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a2 ab 2ab
又由 a b，则 a ，
a b a b
2ab
又由 a、b 0 ，由基本不等式可得 a b 2 ab ，则有 v ab ，
2 ab
则有 a v ab ，
故选： D ．
b b c
6．【解答】解：由不等式 ax2 bx c 0的解集为{x | 2 x 1}知： a 0， 2 1即 1， 2 1 2，
a a a
c b
不等式 cx2 ax b 0 的两边都除以 a得： x2 x 0，
a a
1
得 2x2 x 1 0，解得 x 1或 x ．
2
故选： D ．
m 2
7．【解答】解： f (x) (m2 2m 7) x 3 是幂函数，且在 (0, )上单调递增，
m2 2m 7 1

m 2 ，
0
3
解得m 4，
2
3
f (x) x3 x2 ，定义域为 R ，且是偶函数，
f (x)在 (0, )上单调递增， f (x)在 ( ,0)上单调递减，
又 f ( 1) f （1） 1， f (0) 0，
由 f (a 1) 1可得： a 1 1或 a 1 1，
解得 a 0或 a 2，
实数 a的范围为 ( ， 0) (2， ) ，
故选： D ．
m
8．【解答】解： 当0 m 1时， g(x) 1在 (1, )上递减，
x
h(x) x 1在 ( ，1]递减，且 g （1） h （1）， f (x)在 ( , ) 上递减，
任意 x x ，都有1 2 f (x ” 充分性成立； 1) f (x2 )
若m 0， g(x)在 (1, )上递增， h(x) 在 ( ，1]上递减， g(x) 0 ， h(x) 0，
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任意 x x ，都有 f (x ) f (x ) ”，必要性不成立， 1 2 1 2
m
1, x 1
0 m 1”是函数 f (x) x 满足：对任意的 x1 x ，都有 f (x ”的充分不必要条件， 2 1) f (x2 )

x 1, x 1
故选： A．
二．多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对
的得 3 分.）
9．【解答】解：对于 A，函数 y x 1(x Z)，函数 y | x | 1(x Z)，两函数的对应关系不同，不是同一个函数；
对于 B ，函数 y 2x(x 0) ，函数 y 2x(x 0)，两函数的定义域不同，对应关系也不同，不是同一个函数；
y 1
对于C ，函数 y x 1(x 0) ，函数 1等价于 y x 1(x 0) ，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同
x
一个函数；
对于 ，函数 f (x) x2 1(x R)，函数 g(t) t2D 1(t R)，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数．
故选：CD．
10．【解答】解：若 x {x |1 x 2}， 2x2 a 0，
则 a (2x2 )min 2 ，
故 a 2的一个必要不充分条件可以是 a 3或 a 4 ，
故选：CD．
11．【解答】解：根据题意，函数 f (x) x [x]，
当 2 x 1时，[x] 2，此时 f (x) x [x] x 2．
当 1 x 0时，[x] 1，此时 f (x) x [x] x 1．
当 0 x 1时，[x] 0，此时 f (x) x [x] x．
当1 x 2时，[x] 1，此时 f (x) x [x] x 1．
当 2 x 3时，[x] 2，此时 f (x) x [x] x 2．
当3 x 4 时，[x] 3，此时 f (x) x [x] x 3．

在区间[ 1， 0) 上， f (x) x [x] x 1，为增函数， A正确；
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函数 y x [x]为非奇非偶函数，故 B ， D 错误；
由此可得函数 y x [x] [0，1) ，故C 正确；
故选： AC ．
x2 1
12．【解答】解：对于 A选项，当 x 0 时， y 0，故 A选项错误，
x
对于 B 选项，当 x 1时， x 1 0，
4 4 4
则 y 2x 1 2(x 1) 1 2 2(x 1) 1 4 2 1，
x 1 x 1 x 1
当且仅当 x 2 1时，等号成立，故 B 选项正确，
对于C 选项，若正数 x、 y 满足 x 2y 3xy，
x 2y 2 1
则3 ，
xy x y
1 2 1 1 2x 2y 1 2x 2y
2x y (2x y)( ) (5 ) (5 2 ) 3，
3 x y 3 y x 3 y x
当且仅当 x y 1时，等号成立，故C 选项正确，
2 2 2 2 2 5 2 5 (3x y)
2 7
对于 D 选项，1 9x y xy (9x 6xy y ) 5xy (3x y) 3x y (3x y) (3x y)2 ，
3 3 4 12
2 12 2 21 2 21所以 (3x y) ，可得 3x y ，
7 7 7
2 21
当且仅当 y 3x 时，等号成立，故3x y 的最大值为 ， D 选项正确．
7
故选： BCD．
三．填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.）
1 3
13．【解答】解：因为 x 0， y 0 ， 1，
y x
1 3 3x 12y 3xg12y
所以3x 4y (3x 4y)( ) 13 13 2 25 （当且仅当 x 2y时取等号），
y x y x xgy
所以 (3x 4y) ． min 25
故答案为：25．
14．【解答】解： f (x)为奇函数， x 0时， f (x) x(1 x) ， 当 x 0时， x 0，
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f (x) f ( x) ( x(1 x)) x(1 x) ，
即 x 0时， f (x) x(1 x)，
故答案为： x2 x．
15．【解答】解：解 x2 2x 3 0得， x 1，或 x 3；
函数 y x2 2x 3在 ( ， 1]上单调递减，在[3， ) 上单调递增；
该函数的递减区间为 ( ， 1]，递增区间为[3， ) ．
故答案为： ( ， 1]， [3， ) ．
16．【解答】解： 函数 f (x) | x2 2x a | a 在区间 [0 ， 2]上的最大值是 1，
| x2 2x a | a 1，即 | x2 2x a | 1 a，
则1 a 0，得 a 1，
a 1 x2 2x a 1 a，可得 1 x2 2x 1 2a ，
0 x 2， 1 x2 2x 0，
1
则1 2a 0，得 a ．
2
1
综上，实数 a的取值范围是 ( ， ]．
2
1
故答案为： ( ， ]．
2
四．解答题（本题共 6小题，共 70分.）
17．【解答】解：（1）因为 x2+（m+1）x+m＝0 （x+1）（x+m）＝0，
解得 x＝﹣1 或 x＝﹣m，……..........2 分
又 B 中只有一个元素，
所以 m＝1，……………………..4 分
解：（2）由|x2+3x+2＝0，
解得 x＝﹣1 或 x＝﹣2，
若 x∈B 是 x∈A 的充分条件，
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则 B A，…………….6 分
x2+（m+1）x+m＝0 （x+1）（x+m）＝0，
解得 x＝﹣1 或 x＝﹣m，
当 m＝1 时，B＝{﹣1}，满足 B A，………8分
当 m＝2 时，B＝{﹣1，﹣2}同样满足 B A，………..9 分
所以 m＝1 或 m＝2． ……………………..10 分
4 4 4
18．【解答】解：（1）由 x 2，得 x 2 0，所以 x x 2 2 2 (x 2)( ) 2 6，………..4 分
x 2 x 2 x 2
4 4
当且仅当 x 2 ，即 x 4时，等号成立，所以 x 的最小值为 6；……………….6分
x 2 x 2
16 16 16
（2）由 x 0，得1 x 1 (x ) 1 2 x 7 ，….........10分
x x x
16
当且仅当 x ，即 x 4时等号成立，
x
16
所以1 x 的最大值为 7 ．………………..12分
x
19．【解答】解：（1）设 x＞0，则﹣x＜0，
∴F（﹣x）＝x2﹣4x，…………2 分
∵F（x）为奇函数，
∴F（﹣x）＝﹣F（x），F（0）＝0
∴F（x）＝﹣x2+4x，……………4 分
∴F（x）＝ ，………………..6分
函数在（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）为减区间，在（﹣2，2）上为增区间．………………..6分
（2）∵F（x2）＞3，
∴﹣x4+4x2＞3，……………….9分
∴1＜x2＜3，
解得﹣ ＜x＜﹣1 或 1＜x＜ ，
故不等式的解集为（﹣ ，﹣1）∪（1， ）．………………..12 分
20．【解答】解：（ 21）根据题意，函数 f (x) x 2(a 1)x 4，为二次函数，其对称轴为 x a 1．
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若 f (x) 为偶函数，则 a 1 0，解可得 a 1，………………..2 分
则 f (x) x2 4 ，又由 1 x 3，则有 4 f (x) 13，
即函数 f (x) 的值域为[4 ，13]．……………….5 分
（2）由题意知 2x [1， 2]时， f (x) ax 恒成立，即 x (3a 2)x 4 0 ；
x2 4
方法一：所以3a 2 恒成立，……………….7 分
x
x2 4 4 4 4
因为 x [1， 2]，所以 x 2 x 4，当且仅当 x ，即 x 2时等号成立．………………..10分
x x x x
所以3a 2 4，解得 a 2，所以 a的取值范围是 ( ,2)．………………..12 分
方法二：令 g(x) x2 (3a 2)x 4，
3a 2
所以只需 g(x) 0，对称轴为min x
2
3a 2 4 7 4
当 1，即 a 时， g(x) g （1）min 7 3a 0解得 a ，故 a ……………….7分
2 3 3 3
2
3a 2 4 3a 2 (3a 2)
当1 2，即 a 2时， g(x)min g( ) 4 0
2 3 2 4
2 4
解得 a 2 ，故 a 2；………………..9 分
3 3
3a 2
当 2 ，即 a 2， g(x) g （2）min 12 6a 0，
2
解得 a 2，舍去．………………..11 分
绦上所述， a的取值范围是 ( ,2)．………………..12分
21【解答】解：（1）由题意，产品的生产成本为 (32Q 3) 万元，
32Q 3 x
销售单价为 150% 50%（2 分）
Q Q
32Q 3 x 9 1
故年销售收入为 y ( 150% 50%) Q 48Q x
Q Q 2 2
3 x 32 x
W y (32Q 3) x 16Q 49.5 (x 1)（6 分）
2 2 x 2
32 x 32 x
（2） W 49.5 ( ) 49.5 2 49.5 8 41.5．（9 分）
x 2 x 2
32 x
当且仅当 ，即 x 8时，W 有最大值 41.5（11 分）
x 2
当年广告费为 8 万元时，企业年利润最大，为 41.5 万元．（12 分）
22．【解答】解：（Ⅰ）令 x y 1，
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则 f （1） f （1） f （1），
f （1） 0，……………….2分
再令 x y 1，
则 f （1） f ( 1) f ( 1) ，
f ( 1) 0，……………….4 分
（Ⅱ）令 x x， y 1，
则 f ( x) f (x) f ( 1) f (x)，
f ( x) f (x)，
f (x)为偶函数；……………….7 分
（Ⅲ）任取 x ，1 x2 (0, ) ，且 x ， 1 x2
x
1 1，
x2
x
f ( 1 ) 0，
x2
x x
f (x1) f (x
1 1
2 ) f (x2 ) f ( ) f (x2 )，
x2 x2
f (x)在 (0, )是增函数，
f (x)在 ( ,0)是减函数，………………..9分
1
Q f （2） f (x2 ) f (2x2 1) 0 f （1） f ( 1)，
2
2x2 1 0 2x2 1 0
或 ，………………..10 分 2
2x 1 1 2x
2 1 1
2 2 2 2
解得 x ．或 1 x ，或 x 1，
2 2 2 2
2 2 2 2
不等式的解集为[ 1， ) ( ， ) ( ，1]………………..12分
2 2 2 2
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