(共25张PPT)
4.8.1 位似多边形及其性质
北师版 九年级上册
新知导入
观察下面的图片，这两幅图片相似吗？
想一想：什么叫做相似多边形？
相似多边形的定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
新知导入
观察下面的几幅图片，图形位置间有什么关系？你能发现什么？
新知讲解
如图，是一幅宣传海报，它是由一组形状相同的图片组成。
在图片①和图片②上任取一组对应点A，A′，可以发现：直线AA′都
经过镜头中心点O，且 都等于一个固定值.
在课本上再找一点实际试一试。
新知讲解
如图是两个相似五边形，设直线AA ′与BB ′相交于点O，
那么直线CC ′，DD ′，EE ′是否也都经过点O？
新知讲解
位似多边形
一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线都经过同一个点O，且有OP′＝k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心．
k就是这两个相似多边形的相似比．
新知讲解
下面两幅图片是位似多边形吗？
思考：怎样判断两个图形是不是位似图形？
新知讲解
判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：
一是这两个图形是相似的；
二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点．
如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此, 位似是相似的特殊情况.
新知讲解
想一想：位似图形有什么性质呢？
因为位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质.
1.位似图形的对应角相等，对应边的比相等，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
2.位似图形的对应线段平行(或在一条直线上)，且对应线段之比相等．
3.位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
利用位似图形的性质可将图形放大或缩小
新知讲解
例1 如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，并且相似比为2.
①画射线OA，OB，OC
②在射线OA，OB，OC上分别取点D，E，F，使OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC
③顺次连接D，E，F
则△DEF与△ABC位似，相似比为2.
D
E
F
新知讲解
想一想，满足条件的△DEF可以在O点的另一侧吗？
D
E
F
①画射线AO，BO，CO
②在射线AO,BO,CO上分别取点D,E,F,使OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC
③顺次连接D，E，F
△DEF即为所求。
新知讲解
画位似图形的步骤：
第一步：确定位似中心O(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上，还可以在某一个顶点上)；
第二步；画出图形各顶点与位似中心O的连线；
第三步：按相似比取点；
第四步：顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形．
合作探究
【做一做】利用下面的方法可以近似地将一个图形放大：
1.将两根长短相同的橡皮筋系在一起，联结处形成一个结点．
2.选取一个图形，在图形外取一个定点．
3.将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一支铅笔固定在橡皮筋的另一端．
4.拉动铅笔，使两根橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形．这个新图形与已知图形形状相同．
课堂练习
1.如图，两个三角形是位似三角形的有( )
A．③④
B．②③④
C．②③
D．①②
B
课堂练习
2.已知△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC和△A′B′C′不存在位似关系的是( )
D
课堂练习
3.与△ABC位似的图形的几种画法(如图)中，正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
拓展提高
4.如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是线段OA，OB，OC，OD的中点，那么 ABCD与四边形EFGH是不是位似图形？为什么？
拓展提高
4.如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是线段OA，OB，OC，OD的中点，那么 ABCD与四边形EFGH是不是位似图形？为什么？
中考链接
5.【2020·兰州】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝________.
5
中考链接
6.【2020·重庆】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD＝1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶5
C
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.位似图形的概念
2.位似图形的性质
3.画位似图形
板书设计
课题：4.8.1 位似多边形及其性质
教师板演区
学生展示区
一、定义
二、性质
三、画位似图形
作业布置
课本 P115 练习题
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北师版九年级上册数学4.8.1 位似多边形及其性质教学设计
课题 4.8.1 位似多边形及其性质 单元 第四单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1.了解位似多边形，能利用图形的位似可以将一个图形放大或缩小。2.会判断两个多边形是否是位似多边形，并能准确指出位似中心和位似比。3.通过有趣的图形变换激发学生对图形的兴趣，形成多角度、多方法思考问题的学习习惯。
重点 会判断两个多边形是否是位似多边形，并能准确指出位似中心和位似比。
难点 能利用图形的位似可以将一个图形放大或缩小。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 观察下面的图片，这两幅图片相似吗？想一想：什么叫做相似多边形？相似多边形的定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.观察下面的几幅图片，图形位置间有什么关系？你能发现什么？ 学生观看图片，思考回答问题。 通过展示照片和图片,既能激发学生的兴趣,又能通过图片的相似以及大小的变化,让学生联想到以此为思路探求放大或缩小一个多边形的方法,并由此引出位似多边形的概念。
讲授新课 如图，是一幅宣传海报，它是由一组形状相同的图片组成。在图片①和图片②上任取一组对应点A，A′，可以发现：直线AA′都经过镜头中心点O，且 都等于一个固定值.在课本上再找一点实际试一试。如图是两个相似五边形，设直线AA ′与BB ′相交于点O，那么直线CC ′，DD ′，EE ′是否也都经过点O？答案：位似多边形一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线都经过同一个点O，且有OP′＝k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心．k就是这两个相似多边形的相似比．下面两幅图片是位似多边形吗？ 思考：怎样判断两个图形是不是位似图形？判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的；二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点． 温馨提示：如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此, 位似是相似的特殊情况。想一想：位似图形有什么性质呢？因为位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质.1.位似图形的对应角相等，对应边的比相等，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.2.位似图形的对应线段平行(或在一条直线上)，且对应线段之比相等．3.位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比．利用位似图形的性质可将图形放大或缩小例1 如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，并且相似比为2.画法：①画射线OA，OB，OC②在射线OA，OB，OC上分别取点D，E，F，使OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC③顺次连接D，E，F想一想，满足条件的△DEF可以在O点的另一侧吗？画法：①画射线AO，BO，CO②在射线AO,BO,CO上分别取点D,E,F,使OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC③顺次连接D，E，F画位似图形的步骤：第一步：确定位似中心O(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上，还可以在某一个顶点上)；第二步；画出图形各顶点与位似中心O的连线；第三步：按相似比取点；第四步：顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形．【做一做】利用下面的方法可以近似地将一个图形放大：1.将两根长短相同的橡皮筋系在一起，联结处形成一个结点．2.选取一个图形，在图形外取一个定点．3.将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一支铅笔固定在橡皮筋的另一端．4.拉动铅笔，使两根橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形．这个新图形与已知图形形状相同． 学生认真思考、讨论并交流，然后证明.并与老师共同归纳位似多边形的相关概念。学生在教师的引导下总结位似多边形的定义。学生观看两幅图片，判断两个图形是不是位似图形，并且总结出怎样判断两个图形是不是位似图形。思考位似图形的性质并总结。学生根据课本例题画图。学生根据所学内容画第二种画法。给出一种橡皮筋放大图形的方法,学生自主学习并讨论其方法的合理性。之后教师提出新问题:要把图形放大其他的倍数应怎么办 要缩小图形应怎么办 通过展示照片和图片,既能激发学生的兴趣,又能通过图片的相似以及大小的变化, 让学生联想到以此为思路探求放大或增小一个多边形的方法,并由此引出位似多边形的概念.运用类比的方法,让学生对概念的学习和掌握变得深刻和准确。在评价方式上,对于学生自行概括的位似图形的定义要充分予以肯定,并且可以邀请学生多次更改已达到精炼和准确的定义.本活动重在学生实践,要让学生亲自体验绘制位似多边形的步骤,之后要全班范围地交流各自的作图方法,找到典型实例,比较位似中心位置的不同取法以及对应点位置的不同作法,观察由此带来的图形形态上的变化。从学习新知识到在实际操作中运用新知识,本环节是本节课的核心部分,学以致用.然后在运用过程中巩固所学知识,动手操作、动脑思考、动嘴表达,全面锻炼学生学习能|力,都是设置本环节的重要目的。
课堂练习 1.如图，两个三角形是位似三角形的有( B )A．③④ B．②③④ C．②③ D．①②2.已知△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC和△A′B′C′不存在位似关系的是( D )3.与△ABC位似的图形的几种画法(如图)中，正确的有( D )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是线段OA，OB，OC，OD的中点，那么 ABCD与四边形EFGH是不是位似图形？为什么？解：是位似图形．理由如下：∵E，F分别是OA，OB的中点，∴EF＝AB，EF∥AB.∵G，H分别是OC，OD的中点，∴HG＝CD，HG∥CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴EF＝HG，EF∥HG.∴四边形EFGH是平行四边形．∵EF∥AB，∴∠OEF＝∠OAB.同理可得∠OEH＝∠OAD，∴∠HEF＝∠DAB.同理可得∠EFG＝∠ABC，∠FGH＝∠BCD，∠GHE＝∠CDA.易得＝＝＝＝，∴ EFGH∽ ABCD.又∵对应点的连线相交于点O，∴ ABCD与四边形EFGH是位似图形．5.【2020·兰州】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝_____5___.6.【2020·重庆】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD＝1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( C )A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 学生做课本练习题。 在学生已了解位似多边形的有关概念的前提下,从正反两个方面强化学生对位似多边形的认识,同时巩固对位似多边形定义的理解。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.位似图形的概念2.位似图形的性质3.画位似图形 学生在教师的引导下总结归纳。
板书 课题：4.8.1 位似多边形及其性质一、定义二、性质三、画位似图形
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