2022届高考数学一轮复习：直线与圆考点讲义含解析

直线与圆
一、直线的方程
1、直线的倾斜角、斜率与两直线的位置关系
(1)直线的倾斜角：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。直线倾斜角的范围是。
(2)斜率公式：①定义式：直线的倾斜角为，则斜率。
②两点式：、在直线上，且，则的斜率。
对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1)当时公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；
(2)与、的顺序无关，即、和、在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
(3)斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4)当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合。
(3)两条直线平行的判定
①对于两条不重合的直线、，若其斜率分别为、，则有。
②当直线、不重合且斜率都不存在时，。
(4)两条直线垂直的判定
①如果两条直线、的斜率存在，设为、，则有。
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为时，。
(5)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：
斜率 不存在
倾斜角 锐角 钝角
在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数的单调性，如图所示：
当时，由增大到()时，由增大并趋向于正无穷大；
当时，由()增大到()时，由负无穷大增大并趋近于。
解决此类问题，常采用数形结合思想。
例1-1．直线的倾斜角的取值范围是( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】B
【解析】∵直线斜率，又，∴，
设直线倾斜角为，∴，而，
故倾斜角的取值范围是，故选B。
例1-2．若直线过点，且与以、为端点的线段恒相交，则直线的斜率的范围是( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】A
【解析】如图，，，则，故选A。
2、直线方程的五种形式
形式 几何条件 方程 适用范围及使用情况
一般式 () 平面直角坐标系内所有直线；写答案用公式；
点斜式 过一点，斜率 与轴不垂直的直线；给一点及斜率；与圆或圆锥曲线有关；
斜截式 纵截距，斜率 与轴不垂直的直线；给与轴的交点及斜率；
两点式 过两点， 与轴、轴均不垂直的直线；给两点；
截距式 横截距，纵截距 不含垂直于坐标轴和过原点的直线；给与、轴的交点；
例1-3．求满足下列条件的直线方程
(1)斜率为，经过点；
(2)斜率为，在轴上的截距是；
(3)经过两点和；
(4)经过两点和。
【解析】(1)由题意可知，则直线方程为；
(2)由题意可知，则直线方程为；
(3)由题意可知，则直线方程为；
(4)由题意可知，则直线方程为。
3、直线的交点、距离与对称问题
(1)两条直线的交点
(2)三种距离
类型 条件 距离公式
两点间距离 点、之间的距离
点到直线距离 点到直线：的距离
两平行直线间距离 两平行线：与：间距离
例1-4．已知直线与直线平行，则的值是( )。
A、 B、或 C、或 D、
【答案】D
【解析】由题设可得，∴或，
当时两直线重合，故应舍去，故选D。
例1-5．若、分别为直线与上任意一点，则的最小值为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】∵，∴两直线平行，将直线化为，
由题意可知的最小值为这两条平行直线间的距离，即，
∴的最小值为，故选B。
例1-6．已知，和直线：，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为，则点坐标为( )。
A、或 B、或
C、或 D、或
【答案】C
【解析】设点的坐标为，线段的中点的坐标为，，
∴的垂直平分线方程为，即，
∵点在直线上，∴，
又点到直线：的距离为，∴，即，
联立可得、或、，
∴所求点的坐标为或，故选C。
易错提醒：(1)点到直线的距离，到直线的距离；
(2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中、的系数化为相等。
4、中心对称问题的两种类型及求解方法：
(1)点关于点对称：若点及点关于点对称，
则由中点坐标公式得，进而求解。
(2)直线关于点对称，主要求解方法是：
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程。
5、轴对称问题的两种类型及求解方法：
(1)点关于直线对称：若点与点关于直线：对称，
则由得关于对称的坐标(，)。
(2)直线关于直线的对称：
①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解。
②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解。
例1-7．点关于点的对称点为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】设，则，，∴，，∴点，故选D。
例1-8．直线关于直线对称的直线方程是( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】A
【解析】设所求直线上任意一点，则关于的对称点为，
由得，由点在直线上，
∴，即，故选A。
例1-9．已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 。
【答案】
【解析】设点关于直线：的对称点为，则反射光线所在直线过点，
∴，∴解得，，又反射光线经过点，
∴所求直线的方程为，即。
方法技巧：解决两类对称问题的关键点：解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解。
二、圆的方程
1、圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程 () 圆心，半径
一般方程 () 圆心，半径
2、点与圆的位置关系 点，圆的标准方程。
理论依据 点与圆心的距离与半径的大小关系
三种情况 点在圆上
点在圆外
点在圆内
3、与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称。
(2)圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点。
(3)圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线。
例2-1．已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】B
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，设圆的圆心坐标为，
由题意得，解得，∴圆的圆心坐标为，
又两圆的半径相等，故圆的方程为，故选B。
4、直线与圆的位置关系
(1)直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离。
(2)两种研究方法：
5、弦长问题
圆的弦长问题在高考中多次出现，考查角度主要有两个：①已知直线与圆的方程求圆的弦长；②已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等。
解决圆的弦长问题的方法：
几何法 如图所示，设直线被圆截得的弦为，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则有关系式：
代数法 若斜率为的直线与圆相交于、两点，则(其中)。特别地，当时，；当斜率不存在时，。
当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用。
例2-2．若()，则直线被圆所截得的弦长为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】∵圆心到直线的距离，
因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于，∴弦长为，故选D。
例2-3．已知直线及直线截圆所得的弦长均为，则圆的面积是 。
【答案】
【解析】∵已知的两条直线平行且截圆所得的弦长均为，
∴圆心到直线的距离为两平行直线距离的一半，即，
又直线截圆所得的弦长为，∴圆的半径，∴圆的面积是。
方法技巧：求解弦长问题的常用方法：直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题。常用的方法有：
①根据平面几何知识结合坐标，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示；
②通过联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题。
6、切线问题
①求过圆上一点的切线方程的方法：先求切点与圆心连线的斜率，若不存在，则结合图形可直接写出切线方程为；若，则结合图形可直接写出切线方程为；若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式可写出切线方程。
②求过圆外一点的圆的切线方程的方法
几何法 当斜率存在时设为，则切线方程为，即。由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程
代数法 当斜率存在时设为，则切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。
7、圆与圆的位置关系
(1)设圆：()，圆：()，
方法位置关系 几何法：圆心距与、的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离 无解
外切 一组实数解
相交 两组不同的实数解
内切 () 一组实数解
内含 () 无解
(2)圆与圆位置关系的应用
设圆：，①；圆：，②
若两圆相交，则有一条公共弦，由①-②，得，③
方程③表示圆与的公共弦所在直线的方程。
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程。
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心。
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求。
例2-5．分别求当实数为何值时，两圆：，：相交和相切。
【解析】将两圆的一般方程化为标准方程，得：，：，
则圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，，
从而，当，即
∴时，两圆相交，
当，即时，两圆外切，当，即时，两圆内切，
∴当或时，两圆相切。
易错提醒：圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，∵当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含。
例2-6．已知两圆：和：。
(1)求证：圆和圆相交；
(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长。
【解析】(1)证明：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
两圆圆心距，，
∴圆和相交；
(2)圆和圆的方程左、右分别相减，得，
∴两圆的公共弦所在直线的方程为，
圆心到直线的距离，
故公共弦长为。
方法技巧：两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距，半弦长，半径所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解。