2022届高考数学一轮复习：空间向量及其应用考点讲义含解析

空间向量及其应用
一、用向量法证明平行或垂直
(一)知识储备
1、空间向量的坐标运算：设，：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)，，()；
(5)；
(6)模长公式：若，则；
(7)夹角公式：
(8)两点间的距离公式：
若，，则：；
2、平面的法向量
(1)定义：如图，直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量。给定一点和一个向量，那么过点，以向量为法向量的平面是完全确定的。
(2)平面法向量的求法：求平面法向量的步骤：
①设出平面的法向量为；
②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 ；
③根据法向量的定义建立关于、、的方程组；
④解方程组，取其中的一组解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可以在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。
3、平行与垂直的向量表示
设直线、的方向向量分别为、，平面、的法向量分别为、，则由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出以下结论：
，； ；
； ，；
，； 。
(二)模板解决步骤
1、选点建立空间直角坐标系，并把相应的点用坐标的形式表示出来。
2、把证明线线、线面、面面平行或垂直的相关向量用坐标表示出来。
3、根据线线、线面、面面平行或垂直列式计算。
4、证出结论。
(三)母题呈现
例1-1．如图所示，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，。证明：
(1)平面。
(2)求平面与平面的夹角的大小。
模板引入：第一步：以为原点建立空间直角坐标系；
第二步：用坐标表示向量，，；
第三步：由，，；
第四步：由，平面。
【解析】∵、、两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，
(1)∵，∴，
∴，，，，，
由易得，
∴，，，
∴，，∴，，
又，且、平面，∴平面；
(2)容易求得平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
所求夹角余弦值为，所求夹角的大小为。
(四)解题思路方法总结
1、平行问题的空间向量证明方法
(1)证明空间两直线平行，可先转换为空间两向量共线，即只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明，只需证明。
(2)证明线面平行有两种思路：
①用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；
②求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可。对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在。
注意：设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算；注意点的坐标的范围。
(3)证明面面平行有两种思路：
①利用向量证明一平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线即可，根据面面判定定理即得，也就是将其转化为证明线线平行的问题。
②求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行。
(3)遇到中点问题常做中位线，用中位线定理解题，也是几何中的常用方法。
例1-2．在三棱柱中，侧棱垂直于底面，在底面中，是上一点，且面，为的中点，求证：平面平面。
【解析】如图，以点为原点建立坐标系，
设，，，
则，，，，
∴，设()，
∴，，，，
设面的法向量为，
则且，
取，则，，则，
又∵面，∴，
解得，∴，设面的法向量为，
则且，
取，则，，
则，∴，∴，∴平面平面。
2、垂直问题的证明方法
(1)证明线线垂直，可以转化为对应的向量垂直，即证明所证直线的方向向量的数量积为，如证明，只需证明。
(2)证明线面垂直有两种思路：
①先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行。
②直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理证明。
(3)证明面面垂直问，先求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，来证面面垂直。
例1-2．如图所示，在直二面角中，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面。
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面。
【解析】∵为正方形，∴，
∵二面角为直二面角，∴平面，
以线段的中点为原点，所在直线为轴，
所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设()，
∵为上的点，，
∴设，∴，
∴，，，
∵平面，∴，
且，解得，，∴，，
(1)，，∴，∴，
∵平面，∴，∴平面；
(2)由题意可知，平面的法向量为，
设面的法向量为，，，
∴且，取，则，，
∴，∴，∴平面平面。
二、用向量法求空间距离
(一)知识储备
1、两点间的距离的求法：、两点间的距离为。
2、点线距离的求法：如图1，在直线上任取一点，取直线的一个方向向量，则点到的距离为：。
图1 图2 图3
3、点面距离的求法：如图2，设是平面的一个法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为。
4、两异面直线距离的求法：如图3，设、是两异面直线，是与公垂线的方向向量，又、分别是、上的任意两点，则、的距离是。
5、两平行平面间距离的求法：把求两平行平面间的距离转化为求点面距离。
(二)模板解决步骤
1、建立空间直角坐标系，将题目中给出的条件用坐标表示出来，并求出该平面的一个法向量。
2、找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量。
3、求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。 线面距离、面面距离均可转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解。
(三)母题呈现
例2-1．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，。
(1)求证：；
(2)求到平面的距离。
模板引入：第一步：建立直角坐标系，并求出平面的法向量。
第二步：在平面上找一点，求出。
第三步：利用公式求距离。
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
(1)证明：，，
∵，∴；
(2)设平面的法向量，
则有，即，令，得，∵，，
∴点到平面的距离。
(四)解题思路方法总结
求点到平面的距离的关键是找到平面的法向量和斜线段对应的向量，然后利用向量的投影求点到平面的距离；直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离叫直线与平面的距离；异面直线的距离是夹在两条异面直线之间的公垂线段长。
1、两点间的距离：两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题。
利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点，，
则：。
例2-2．在三棱锥中，平面平面，，，，，，求的长。
【解析】建立以为原点的空间直角坐标系，
则，，，
∴。
2、点与直线距离：如图，求得向量在向量的射影长为，则点到直线的距离等于。
例2-3．设为矩形所在平面外的一点，直线平面，，，。求点到直线的距离。
【解析】，，
∴在上的射影长为，又，
∴点到直线的距离。
3、点到面的距离：
任取一点得，是平面的法向量，则有点到平面的距离(向量在法向量的投影的长度)。
求出平面的任一法向量(方程组可求)，在平面内任取一点与点得一向量转化为在法向量的投影长度，套公式。
4、求两异面直线的距离：知、是两异面直线， ，，找一向量与两异面直线都垂直的向量，则两异面直线的距离。
求异面直线的距离，先找一向量与两异面直线都垂直的向量，然后分别在两异面直线上任取一点、，则距离就是在向量上的投影长度，距离。
例2-4．如图，三棱柱中，已知是边长为的正方形，四边形是矩形，平面平面。若，求直线到面的距离。
【解析】如图建立空间坐标系，，
，设面的法向量为，
则有，得，
直线到面的距离就等于点到面的距离，
也等于向量在面的法向量上的投影的绝对值，
。
三、用向量法求空间角
(一)知识储备
1、求异面直线所成的角：如图1，已知、两异面直线，、与、分别是、上的任意两点，异面直线、所成的角为，则。
特别提示：对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为、，在求出、的夹角，设两异面直线的夹角，利用求出异面直线的夹角，但需注意：异面直线夹角与向量夹角二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。
图1 图2 图3
2、求直线和平面所成的角：如图2，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与所成的角为，则直线方向向量在平面法向量方向上的投影的长度与直线方向向量的模之比就是线面夹角的正弦值，即有。
3、求平面和平面所成的角(锐二面角)：如图3，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，。若、分别为面、的法向量，或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角的补角)。
(1)当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角等于法向量、的夹角，于是。
(2)当法向量与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角等于法向量、的夹角的补角，于是。
特别提示：对二面角的大小问题，先求出平面、的法向量、，再求出、的夹角，在内取一点，在内取一点，设二面角大小为，若与同号，则，若与异号，则。
(二)模板解决步骤
1、建立空间直角坐标系，将题目中给出的条件用坐标表示出来。
2、将所求角涉及的直线的方向向量和平面法向量求出来。
3、代入公式求出角的三角函数值或角。
(三)母题呈现
例3-1．如图所示，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是 。
模板引入：第一步：建立直角坐标系，求点、、、的坐标。
第二步：求向量，。
第三步：计算与所成角的大小为。
【答案】
【解析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，则，，，，
则，，∴，
∴，故与所成角的大小为。
(四)解题思路方法总结
求各种角的方法一般都是先确定两个向量(方向向量或单位向量)，求这两个向量的夹角的余弦值或正弦值，注意确定所求夹角与向量夹角的关系，最后得到所求的角或角的三角函数值。
例3-2．在四棱锥中，底面为矩形，底面，，直线与底面成角，点、分别是、的中点。
(1)求异面直线与的夹角的余弦值；
(2)求直线与面所成的角正弦值；
(3)求二面角的大小的余弦值。
【解析】以为原点，向量、、的方向为、、轴的正方向，建立坐标系，
设，则，∵底面，∴为直线与平面所成的角，
∴，∴，
∴，，，，，，，
(1)，，
∴异面直线与的夹角的余弦值为。
(2)，，设面的法向量为，
直线与面所成的角为，
则且，
取，则，，∴，∴。
(3)由(2)知面的法向量为，设面的法向量为，
∵，，，
∴且，
取，则，，则，
∴，
又∵，，∴二面角的大小的余弦值为。