2022届高考数学一轮复习：排列组合与二项式定理考点讲义含解析

排列、组合与二项式定理
一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理
1、分类加法计数原理：
完成一件事情，有类办法，在第类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法…在第类办法中有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。
例1-1．一蚂蚁沿着长方体的棱，从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
2、分步乘法计数原理：
完成一件事情，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法…做第步有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。
例1-2．如图，要给地图、、、四个区域分别涂上种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
3、理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点：
①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题。
②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成。
4、计数原理的解题步骤
(1)指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分类”还是“分步”；
(2)求每“类”或每“步”中不同方法的种数；
(3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；
(4)作答。
5、从个不同元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第位上选取元素的方法都是个，所以从个不同元素中，每次取出个元素可重复排列数。
例1-3．书架的第层放有本不同的计算机书，第层放有本不同的文艺书，第层放本不同的体育书。
(1)从书架上任取本书，有多少种不同的取法？
(2)从书架的第、、层各取本书，有多少种不同的取法？
(3)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
二、排列
1、排列的定义：从个不同元素中，任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。
说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同。
2、排列数的定义：从个不同元素中，任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示。
3、单一排列问题的解决方法
例2-1．名同学，其中名男同学，名女同学：
(1)站成一排，共有多少种不同的排法？
(2)站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？
(3)站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？
(4)站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
(5)站成三排，前排名同学，中间排名同学，后排名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多少种不同的排法？
(6)站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
(7)站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
(8)站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？
(9)站成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起。
(10)站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
(11)站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？
(12)站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？
(13)站成一排，名男同学都不能相邻，名女同学也不能相邻的排法共有多少种？
(14)站成一排，甲必要站在乙的前面(可以相邻也可以不相邻)的排法共有多少种？
(15)名同学座圆桌吃饭，只考虑谁挨着谁的排法共有多少种？
三、组合的基本原理
1、组合的概念：一般地，从个不同元素中取出()个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。
2、组合数的概念：从个不同元素中取出()个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数。用符号表示。
3、组合数的性质
(1)
一般地，从个不同元素中取出个元素后，剩下个元素。∵从个不同元素中取出个元素的每一个组合，与剩下的个元素的每一个组合一一对应，∴从个不同元素中取出个元素的组合数，等于从这个元素中取出个元素的组合数，即：。在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想。
或者从个编号不同的小球中，个白球一个红球，任取个不同小球其不同选法，分二类：一类是含红球选法有；一类是不含红球的选法有。
(2)
一般地，从、、…、这个不同元素中取出个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有。含有的组合是从、、…、这个元素中取出个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从、、…、这个元素中取出个元素组成的，共有个。根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质。在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想。
例3-1．一位教练的足球队共有名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是人。问：
(l)这位教练从这名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
例3-2．(1)平面内有个点，以其中每个点为端点的线段共有多少条？
(2)平面内有个点，以其中每个点为端点的有向线段共有多少条？
例3-3．(1)本不同的书分给甲、乙、丙同学，每人各得本，有多少种不同的分法？
(2)从个男生和个女生中选出名学生参加一次会议，要求至少有名男生和名女生参加，有多少种选法？
四、二项式定理
1、二项式定理：()。
这个公式表示的定理叫做二项式定理，它的右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数(、、…、)叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：。
2、二项展开式形式上的特点
(1)项数为；
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为；
(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到；
(4)二项式的系数从、…一直到、。
3、二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
(2)增减性与最大值：二项式系数：
①当时，二项式系数是递增的，当时，二项式系数是递减的；
②当是偶数时，中间的一项取得最大值，
当是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值。
(3)各二项式系数的和：
①的展开式的各个二项式系数的和等于，即。
②二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即：
。
4、杨辉三角形：对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用下表计算：
　　…………………
　　………………
　　……………
　　…………
　　………
　　……
……
表中有如下规律：“左、右两边斜行各数都是，其余各数都等于它肩上两个数字的和。”类似这样的表，早在我国宋朝数学家杨辉年所著出《详解九章算法》一书里就已出现，如图叫杨辉三角，由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数。
例4-1．已知的展开式中的系数为，则的值为( )。
A、或
B、或
C、
D、
例4-2．的展开式中的常数项为( )。
A、
B、
C、
D、
例4-3．设，则( )。
A、
B、
C、
D、
例4-3．已知，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)。
例4-4．若的展开式二项式系数和比的展开式二项式系数和大。则在的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项。
参考答案：
一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理
1、分类加法计数原理：
完成一件事情，有类办法，在第类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法…在第类办法中有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。
例1-1．一蚂蚁沿着长方体的棱，从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
【解析】从总体上看，蚂蚁从顶点爬到顶点有三类方法，从局部上看每类又需两步完成，
∴第一类条，第二类条，第三类条，
∴根据加法原理，从顶点到顶点最近路线共有条。
2、分步乘法计数原理：
完成一件事情，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法…做第步有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。
例1-2．如图，要给地图、、、四个区域分别涂上种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
【解析】按地图、、、四个区域依次分四步完成，
第一步种，第二步种，
第三步种，第四步种，
∴根据乘法原理，得到不同的涂色方案种数共有。
3、理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点：
①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题。
②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成。
4、计数原理的解题步骤
(1)指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分类”还是“分步”；
(2)求每“类”或每“步”中不同方法的种数；
(3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；
(4)作答。
5、从个不同元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第位上选取元素的方法都是个，所以从个不同元素中，每次取出个元素可重复排列数。
例1-3．书架的第层放有本不同的计算机书，第层放有本不同的文艺书，第层放本不同的体育书。
(1)从书架上任取本书，有多少种不同的取法？
(2)从书架的第、、层各取本书，有多少种不同的取法？
(3)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
【解析】(1)要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，
因此是分类问题，应用分类计数原理：从书架上任取本书，有类方法：
第类方法是从第层取本计算机书，有种方法，
第类方法是从第层取本文艺书，有种方法，
第类方法是从第层取本体育书，有种方法，
根据分类加法计数原理，不同取法的种数是；
(2)要完成的事是“从书架的第、、层中各取一本书”，
由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，
只有第、、层都取后，才能完成这件事，
因此是分步问题，应用分步计数原理：
从书架的第、、层各取本书，可以分成个步骤完成：
第步从第层取本计算机书，有种方法，
第步从第层取本文艺书，有种方法，
第步从第层取本体育书，有种方法，
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是；
(3)要完成的事是“取本不同学科的书”，
先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各本，
再要考虑取本计算机书或取本文艺书都只完成了这件事的一部分，
应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，
因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理：
第类方法是本不同的计算机书和本不同的文艺书中各选取本，有种方法，
第类方法是本不同的计算机书和本不同的体育书各选取本，有种方法，
第类方法是本不同的计算机书和本不同的体育书各选取本，有种方法，
根据分类加法计数原理，不同取法的种数是。
二、排列
1、排列的定义：从个不同元素中，任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。
说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同。
2、排列数的定义：从个不同元素中，任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示。
3、单一排列问题的解决方法
例2-1．名同学，其中名男同学，名女同学：
(1)站成一排，共有多少种不同的排法？
【解析】问题可以看作个元素的全排列。
(2)站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？
【解析】根据分步计数原理。
(3)站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？
【解析】根据分步计数原理。
(4)站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
【解析】首先先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列。
(5)站成三排，前排名同学，中间排名同学，后排名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多少种不同的排法？
【解析】首先先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列。
(6)站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
【解析】根据分步计数原理：
第一步甲、乙站在两端有种，第二步余下的名同学进行全排列有种，
∴共有种排列方法。
(7)站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
【解析】解法1(直接法)：
第一步从(除去甲、乙)其余的名同学中选名同学站在排头和排尾有种方法，
第二步从余下的名同学中选名进行排列(全排列)有种方法，
∴一共有种排列方法；
解法2(排除法)：
若甲站在排头有种方法，若乙站在排尾有种方法，
若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法，
∴甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有种。
(8)站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？
【解析】先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，
再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法，
最后将甲、乙两名同学“松绑”进行排列有种方法，
∴这样的排法一共有种方法。
(9)站成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起。
【解析】先将名女同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种情况，
再将名男同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种情况，
这时一共有个整合的后元素，有种情况，
∴一共有排法种数：(种)。
(10)站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
【解析】解法一：将甲、乙“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有个元素，
∵丙不能站在排头和排尾，
∴可以从其余的个元素中选取个元素放在排头和排尾，有种方法，
将剩下的个元素进行全排列有种方法，
最后将甲、乙“松绑”进行排列有种方法，
∴这样的排法一共有种方法。
解法二：将甲、乙两“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有个元素，有种方法，
若丙站在排头或排尾有种方法，
最后将甲、乙“松绑”进行排列有种方法，
∴丙不能站在排头和排尾的排法有种方法。
解法三：将甲、乙“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有个元素，
∵丙不能站在排头和排尾，∴可以先从其余的四个位置选择共有种方法，
再将其余的个元素进行全排列共有种方法，
最后将甲、乙“松绑”进行排列有种方法，
∴这样的排法一共有种方法。
(11)站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？
【解析】解法一：(排除法)七名同学全排，有种可能，甲、乙两名同学相邻，有种可能，
则甲、乙两名同学不能相邻=总数-甲、乙两名同学相邻：。
解法二：(插空法)先将其余五个同学排好有种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，
再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有种方法，
∴一共有种方法。
(12)站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？
【解析】先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，
再将甲、乙和丙三名同学分别插入这五个“空”有种方法，
∴一共有种。
(13)站成一排，名男同学都不能相邻，名女同学也不能相邻的排法共有多少种？
【解析】先将名女同学排好有种方法，此时她们留下四个“空”，
再将名男同学分别插入这四个“空”有种方法，
∴一共有种。
(14)站成一排，甲必要站在乙的前面(可以相邻也可以不相邻)的排法共有多少种？
【解析】先将名同学全排有种方法，再将甲、乙两名同学全排有种方法，
∵甲必要站在乙的前面，∴只需要总数的种方法，∴一共有种。
(15)名同学座圆桌吃饭，只考虑谁挨着谁的排法共有多少种？
【解析】把任意一名同学固定在任意一个位置，
再把其他名同学往其他位置里全排，有种方法
则一共有种方法。
三、组合的基本原理
1、组合的概念：一般地，从个不同元素中取出()个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。
2、组合数的概念：从个不同元素中取出()个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数。用符号表示。
3、组合数的性质
(1)
一般地，从个不同元素中取出个元素后，剩下个元素。∵从个不同元素中取出个元素的每一个组合，与剩下的个元素的每一个组合一一对应，∴从个不同元素中取出个元素的组合数，等于从这个元素中取出个元素的组合数，即：。在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想。
或者从个编号不同的小球中，个白球一个红球，任取个不同小球其不同选法，分二类：一类是含红球选法有；一类是不含红球的选法有。
(2)
一般地，从、、…、这个不同元素中取出个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有。含有的组合是从、、…、这个元素中取出个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从、、…、这个元素中取出个元素组成的，共有个。根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质。在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想。
例3-1．一位教练的足球队共有名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是人。问：
(l)这位教练从这名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
【解析】(1)由于上场学员没有角色差异，∴可以形成的学员上场方案有(种)；
(2)教练员可以分两步完成这件事情：
第一步，从名学员中选出人组成上场小组，共有种选法，
第二步，从选出的人中选出名守门员，共有种选法，
∴教练员做这件事情的方法数有(种)。
例3-2．(1)平面内有个点，以其中每个点为端点的线段共有多少条？
(2)平面内有个点，以其中每个点为端点的有向线段共有多少条？
【解析】(1)以平面内个点中每个点为端点的线段的条数，
就是从个不同的元素中取出个元素的组合数，即线段共有(条)；
(2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，
以平面内个点中每个点为端点的有向线段的条数，
就是从个不同元素中取出个元素的排列数，即有向线段共有(条)。
例3-3．(1)本不同的书分给甲、乙、丙同学，每人各得本，有多少种不同的分法？
(2)从个男生和个女生中选出名学生参加一次会议，要求至少有名男生和名女生参加，有多少种选法？
【解析】(1)；
(2)问题可以分成两类：
第一类名男生和名女生参加，有中选法，
第二类名男生和名女生参加，有中选法，
依据分类计数原理，共有种选法。
四、二项式定理
1、二项式定理：()。
这个公式表示的定理叫做二项式定理，它的右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数(、、…、)叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：。
2、二项展开式形式上的特点
(1)项数为；
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为；
(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到；
(4)二项式的系数从、…一直到、。
3、二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
(2)增减性与最大值：二项式系数：
①当时，二项式系数是递增的，当时，二项式系数是递减的；
②当是偶数时，中间的一项取得最大值，
当是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值。
(3)各二项式系数的和：
①的展开式的各个二项式系数的和等于，即。
②二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即：
。
4、杨辉三角形：对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用下表计算：
　　…………………
　　………………
　　……………
　　…………
　　………
　　……
……
表中有如下规律：“左、右两边斜行各数都是，其余各数都等于它肩上两个数字的和。”类似这样的表，早在我国宋朝数学家杨辉年所著出《详解九章算法》一书里就已出现，如图叫杨辉三角，由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数。
例4-1．已知的展开式中的系数为，则的值为( )。
A、或
B、或
C、
D、
【答案】A
【解析】，由得，
∴，故选A。
例4-2．的展开式中的常数项为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】的通项公式为，
常数项为或(舍)或，
当时，，
当时，，
因此常数项为，故选A。
例4-3．设，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】令，右边为，左边把代入，
∴，故选A。
例4-3．已知，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)。
【解析】令则①；
令则②；
令则③；
(1)②-①得：；
(2)(②-③)得：；
(3)(②+③)得：；
(4)方法一：∵；
方法二：等于展开式中各项的系数和，
令，则。
例4-4．若的展开式二项式系数和比的展开式二项式系数和大。则在的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项。
【解析】由题意知，即，则，。
(1)的展开式中第项的二项式系数最大，即，
∴二项式系数最大的项为；
(2)设第项的系数的绝对值最大，则，
则得即，解得，
∵，∴，故系数的绝对值最大的项是第项，。