2022届高考数学一轮复习：平面向量考点讲义含解析

平面向量
一、向量的概念及表示
1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。 (没有位置、不能比较大小)
(1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
(2)向量的表示方法：
①具有方向的线段，叫做有向线段，以为始点，为终点的有向线段记作 ，的长度记作。用有向线段表示向量，读作向量；(有向线段的三要素：起点、方向、长度)
②用小写字母表示：、。 (印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头)
(3)向量与有向线段的区别和联系：
①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段；
③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。
2、向量的模：向量的大小――长度称为向量的模，记作。 (能比较大小)
3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。(注意与的含义与书写区别)
4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。
5、平行向量：(1)若非零向量、的方向相同或相反，则，又叫共线向量；
(2)规定与任一向量平行。
说明：综合(1)(2)才是平行向量的完整定义；三点、、共线、共线；
向量平行无传递性，即，不能推出(可能为)。
注意：共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同。
6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。
说明：①平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
②共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。
7、相等向量：若非零向量、方向相同且模相等，则向量、是相等向量。
(1)相等向量：模相等，方向相同；
(2)相反向量：模相等，方向相反。
说明：任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
二、向量的加法
1、三角形法则
原理 已知向量、，在平面上任取一点，作，，再作向量，则向量叫做与的和(或和向量)，记作，即。
图示
注意：(1)和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点．
(2)零向量与任一向量的和都有。
2、平行四边形法则
原理 已知两个不共线向量、，作，，则、、三点不共线，以、为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。
图示
3、多边形法则
原理 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。
图示
4、向量加法的运算律
运算律 交换律
结合律
三、向量的减法
1、相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。
(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；
(2)；
(3)；
(4)若与互为相反向量，则，，。
注意：相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量。
2、向量的减法：已知向量与(如图)，作，，则，向量叫做向量与的差，并记作，即，由定义可知：
(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量；
(2)一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量，或简记为“终点向量减始点向量”；
(3)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。
注意：在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可。
四、数乘向量
1、数乘向量的定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作。
(1)长度：，
(2)方向：()的方向：当时，与同方向；当时，与反方向。
特别地，当或时，或，中的实数叫做向量的系数。
(3)几何意义：就是把向量沿着的方向或的反方向放大或缩小。
(4)运算律：设、，则①，②；③。
注意：①实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如、均无法运算；
②的结果为向量，所以当时，得到的结果为而不是。
2、向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算。
3、两个非零向量、的夹角：已知非零向量与，记、，则 ()叫做与的夹角。
说明：①当时，与同向；
②当时，与反向；
③当时，与垂直，记；
④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，夹角范围为。
4、平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有()。
规定与任何向量的数量积为。
说明：两个向量的数量积与向量同实数积的区别：
(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定。
(2)两个向量的数量积称为内积，写成，书写时注意符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替。
(3)，。
(4)在实数中，若，且，则，
但是在向量中，若，且，不能推出，∵其中。
(5)已知实数、、()，则，但是向量不能推出，
如右图：，
，但。
(6)在实数中有，但是在向量中，
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线。
5、向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影。
投影也是一个数量，不是向量。当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为。
6、向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积。
7、向量的运算：
运算 向量形式 坐标形式：、
加法 求两个向量和的运算平行四边形法则：起点相同，对角线为向量和，记：。三角形加法法则：首尾相连，记：。
减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差三角形减法法则：起点相同的两个向量的差，箭头从后指向前，记：终点相同的两个向量的差，箭头从前指向后，记：
运算律：①交换律：；②结合律：；③+。
数乘 实数与向量的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作，是一个向量，。方向：时，与同向；时，与反向；时，。
运算律：①；②，；③，，。
数量积
五、向量的坐标运算
1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2、平面向量的坐标表示：
(1)在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示。
(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设、，则，。
(3)若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立。
注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息。
3、线段的定比分点及：设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比。有三种情况：
(内分) (外分)() (外分) ()
(1)定比分点坐标公式：若点，，为实数，且，则点坐标为，我们称为点分所成的比。
(2)点的位置与的范围的关系：
①当时，与同向共线，这时称点为的内分点；
②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点。
(3)若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则；
特别地为的中点。
4、向量的重要定理、公式、结论：
(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用。
(2)三角形不等式：。
证明：①非零向量、不共线时，的方向与、的方向都不同且；
②非零向量、共线时，设，
与同向时，的方向与、相同且，的方向与相同且，
与异向时，的方向与相同且，的方向与相同且；
③、至少有一个时。
(3)重要结论：若，则。
(4)向量的模：；
非零向量与的夹角：。
(5)非零向量、共线或垂直的坐标表示：
①向量共线：；
②向量垂直：。特别地。
(6)两个向量的数量积的性质：设、、为两个非零向量，是与同向的单位向量。
①；
②当与同向时，；当与反向时，。 特别的或；
③；
；
。
④。
(7)向量共线定理和向量基本定理
①向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得。
变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：。
特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个。证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合。
②平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使。
特别提醒：不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底、线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的。
(8)线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点、、，且满足()，在直线外任取一点，设，，可得。
重要结论：若直线上三点、、，为直线外任一点，
则。
证明：，则，
则。
(9)在中：
重心——中线的交点：重心将中线长度分成；
垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
内心——角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
外心——中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等。
①若、、，重心坐标为。
②若为重心，则，，，。
证法1：设，、、，
，
，为重心。
证法2：如图，则，
∴、、三点共线，且分为，∴是的重心。
③为垂心；
证明：如图是的垂心，
垂直、垂直，、是垂足，
，
同理，为垂心。
④向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)；
⑤为内心；
证明：∵、分别为、方向上的单位向量，∴、平分，
∴，令，∴，
化简得，
∴。
⑥为外心；
⑦为内一点，，则。
重要结论：，，。
结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：
。
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积。
结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有。
结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为。
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比。
结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为。
即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比。各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形。