数学必修二-2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》

(共31张PPT)
立交桥
A
B
C
D
六角螺母
定义1:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
注：概念应理解为:
“经过这两条直线无法作出一个平面” .
或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．
注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定
是异面直线, 它们可能是相交,也可能是平行.
一、异面直线:
想一想：在空间中两条直线的位置关系？
（1）相交直线——有且只有一个公共点
（2）平行直线——在同一平面内，没有公共点
（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点
二、空间两直线的位置关系：
(1)从公共点的数目来看，可分为：
①有且只有一个公共点——两直线相交
②没有公共点
两直线平行
两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲，可分为：
两直线相交
①在同一平面内
两直线平行
②不在同一平面内——两直线为异面直线
异面直线的画法:
A
b
a
b
a
b
a
A1
B1
C1
D1
C
B
D
A
练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？
答案：
D1C1、C1C、CD、
D1D、AD、B1C1
探究:
H
G
C
A
D
B
E
F
G
H
E
F(B)
(C)
D
A
AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对
相交直线有几对
平行直线有几对
a
b
c
e
d
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
———平行线的传递性
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
空间四边形：
如图，顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.
A
B
C
D
相对顶点A与C，B与D的连线AC、BD叫做这个空间四边形的对角线.
例1：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，
求证EFGH是一个平行四边形。
解题思想：
∵ EH是△ABD的中位线
∴EH ∥BD且EH = BD
同理，FG ∥BD且FG = BD
∴EH ∥FG且EH =FG
∴EFGH是一个平行四边形
证明：
连结BD
把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
A
B
D
E
F
G
H
C
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何
答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1,
∠ADC +∠A1B1C1=180
O
D1
C1
B1
A1
C
A
B
D
问题：在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等吗？
α
β
方向相同或相反，结果如何？
α
β
γ
一组边的方向相同，而另一组边的方向相反，又如何？
α
β
三、等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
注意：（1）定理中的“方向相同”若改成“方向相反”，则这两个角也相等。
（2）若改成“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补。
三、异面直线所成角的定义：
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a1∥a,b1∥b,把直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。
平移法
如果两条异面直线所成的角为直角，
那么就称这两条异面直线垂直。
异面直线a和b所成的角的范围：
强调:1)范围
2)与0的位置无关 ；
3)为了方便点O选取应有利于解决问题，可取特殊点(如a 或 b上)；
4)找两条异面直线所成的角，要作平行移动(平行线)，把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的角.
45o
例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数。
例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
四、求异面直线所成的角的一般步骤是：
根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。其方法为：
平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
(1)找出或作出有关的图形；
(2)证明它符合定义；
(3)计算。
[即：要求先证，要证先作。]
具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。
例3:在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，
E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求：
①异面直线 AD与 EF所成角的大小；
②异面直线 B’C与 EF所成角的大小；
③异面直线 B’D与 EF
所成角的大小.
平
移
法
O
G
AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D
B’D 与EF所成的角
即为AC与OG所成的角,
即为∠AOG或其补角.
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = , AD = , AE = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度
解答：
(1)∵GF∥BC
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45
o
(2) ∵BF∥AE
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60
o
5.课堂练习
A
B
G
F
H
E
D
C
2
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
异面直线的定义:
相交直线
平行直线
异面直线
空间两直线的位置关系
6.课堂小结
公理４：
在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
异面直线的求法:
一作(找)二证三求
空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
等角定理：
异面直线的画法
用平面来衬托
异面直线所成的角
平移，转化为相交直线所成的角
作业：
P56：4,6
立体几何