2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第3章 对圆的进一步认识》单元测试卷（word版含答案）

2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第3章 对圆的进一步认识》单元测试卷
一．选择题
1．如图，⊙O的半径为5，若OP＝3，则经过点P的弦长可能是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．如图，⊙O的半径为5，弦心距OC＝3，则弦AB的长是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．5
3．如果⊙O的半径为10cm，点P到圆心的距离为8cm，则点P和⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
4．已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为，则点P在（　　）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定
5．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心．如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．无数
7．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P是弦AB上的一个动点，使线段OP的长度为整数的点P有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC＝8，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知MN是⊙O的直径，弦AB⊥MN，垂足为C，若∠AON＝30°，AB＝，则CN＝（　　）
A． B． C． D．2
10．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二．填空题
11．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值　 　．
12．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD＝22.5°，若CD＝6cm，则AB的长为 　 　cm．
13．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为点E，连接BC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是　 　cm．
14．王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，则桥拱半径OC为　 　m．
15．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为　 　．
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，∠B＝70°，则∠DAC＝　 　．
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为　 　．
18．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为　 　．
19．P是直线l上的任意一点，点A在圆O上，设OP的最小值为m，若直线l过点A，则m与OA的大小关系是　 　．
20．在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B是以M（3，4）为圆心，1为半径的圆周上的一个动点，连接BO，设BO的中点为C，则线段AC的最小值为　 　．
三．解答题
21．如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．
22．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D，
（1）若∠AOD＝52°，求∠DOB的度数；
（2）若AB＝2，ED＝1，求CD的长．
23．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为　 　；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
25．由于过度采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正向西北方向转移，如图所示，距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，则A市是否会受到这次沙尘暴的影响？
26．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
求证：AC＝BD．
27．如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD＝2∠BDC；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，求证：EA＝EC；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA；
在Rt△OAP中，OA＝5，OP＝3；
根据勾股定理，得：AP＝＝4；
故AB＝2AP＝8；
所以过P点的弦长应该在8～10之间，
故选：C．
2．解：连接OA，如图所示，
∵OC⊥AB，OC＝3，OA＝5，
∴AB＝2AC，
∵AC＝＝＝4，
∴AB＝2AC＝8．
故选：C．
3．解：∵点P到圆心的距离为8cm，小于⊙O的半径10cm，
∴点P在⊙O内．故选A．
4．解：∵点P到圆心的距离，小于圆的半径2，
∴点P在圆内．
故选：A．
5．解：如图所示，
根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．
故选：B．
6．解：经过不在同一直线上的三点确定一个圆．
故选：A．
7．解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝8，∴AP＝BP＝4，
在直角三角形AOP中，OA＝5，AP＝4，
根据勾股定理得：OP＝＝3，即OP的最小值为3；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，
∴3≤OP≤5，
则使线段OP的长度为整数的点P有3，4，5，共5个．
故选：C．
8．解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°．
Rt△ACD中，AD＝2r＝10，AC＝8．
根据勾股定理，得：
CD＝．
∴cosD＝．
∵∠B＝∠D，
∴cosB＝cosD＝，
故选：B．
9．解：∵MN是⊙O的直径，弦AB⊥MN，∠AON＝30°，AB＝，
∴OA＝2AC，AB＝2AC，
∴OA＝AB＝4＝ON，
∴OC＝，
∴CN＝ON﹣OC＝4﹣6，
故选：A．
10．解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：D．
二．填空题
11．解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，
又∵OA＝OA′＝1，
∴A′B＝．
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝．
故答案为：．
12．解：连接OA，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAO＝22.5°，
∴∠AOD＝45°，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE，△OAE为等腰直角三角形，
而CD＝6cm，
∴OA＝3cm，
∴AE＝OA＝cm，
∴AB＝2AE＝3（cm）．
故答案为3．
13．解：连接AB，
∵BD⊥AO，
∴BE＝ED＝BD＝4，
由勾股定理得，AB＝＝2，
∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，又CO＝OA，
∴OF＝AB＝（cm），
故答案为：．
14．解：连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝3m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即OC2＝（9﹣OC）2+32，
解得，OC＝5m，
故答案为：5．
15．解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）．
故答案为：（2，0）
16．解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠D＝∠B＝70°，
∴∠DAC＝20°，
故答案为：20°．
17．解：连接OA、OP，连接OB交AP于H，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝60°，
∵PB＝AB，
∴∠POB＝60°，OB⊥AP，
则AH＝PH＝OP×sin∠POH＝，
∴AP＝2AH＝5，
故答案为：5．
18．解：过B作直径，连接AC交BO于点E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝×2×3＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝1，
∴OE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝，
∴边CD＝＝；
如图②，BD＝×2×3＝4，
同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝＝2，
∴边CD＝＝＝2，
故答案为或2．
19．解：因为点A在圆O上，直线l过点A，
可得：m≤OA．
故答案为：m≤OA
20．解：过B作BD∥AC交x轴于D，
∵C是OB的中点，
∴OA＝AD，
∴AC＝BD，
∴当BD取最小值时，AC最小，
由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，
∵A（3，0），
∴D（6，0），
∵M（3，4），
∴DM＝＝5，
∴BD＝5﹣1＝4，
∴AC＝BD＝2，即线段AC的最小值为2；
故答案为：2．
三．解答题
21．解：∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝，
∴∠A＝∠B，
∴AD∥BC．
22．解：（1）∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠DOB＝∠AOD＝52°；
（2）设半径是r，
在直角△AOE中，OE2+AE2＝OA2，
则（r﹣1）2+（）2＝r2，
解得r＝4，
则CD＝2r＝8．
23．解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，
∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
24．解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（3）圆的半径AM＝＝2．
线段MD＝＝＜2，
所以点D在⊙M内．
25．解：过A作AC⊥BD于C，由题意得AB＝400km，
∠DBA＝45°，所以AC＝BC．
在Rt△ABC中，设AC＝BC＝x．
由勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，所以x2+x2＝4002，
所以AC＝x＝200≈282.8（km）．
282.8km＜300km．
所以A市将受到这次沙尘暴的影响．
26．证明：过点O作OE⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AE＝BE，
又∵在⊙O中，
∴CE＝DE，
∴AC＝BD
27．解：（1）如图1，设∠BDC＝α，∠DAC＝β，
则∠CAB＝∠BDC＝α，
∵点C为弧ABD中点，
∴＝，
∴∠ADC＝∠DAC＝β，
∴∠DAB＝β﹣α，
连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴α+β＝90°，
∴β＝90°﹣α，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣α），
∴∠ABD＝2α，
∴∠ABD＝2∠BDC；
（2）∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAB＝∠ADC+∠BDC＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠ACE＝∠ADC，
∵∠CAE＝∠ADC，
∴∠ACE＝∠CAE，
∴AE＝CE；
（3）如图2，连接OC，
∴∠COB＝2∠CAB，
∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，
∴∠COB＝∠ABD，
∵∠OHC＝∠ADB＝90°，
∴△OCH∽△ABD，
∴，
∵OH＝5，
∴BD＝10，
∴AB＝＝26，
∴AO＝13，
∴AH＝18，
∵△AHE∽△ADB，
∴，即＝，
∴AE＝，
∴DE＝．