(共25张PPT)
1.3.2球的表面积和体积
球
人类的家－－地球
人类未来的家－－火星
探索火星的航天飞船
如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？
实际问题
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？
实际问题
怎样求球的表面积和体积？
提出问题
球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？
实验方法
h
实验：排液法测小球的体积
实验方法
h
实验：排液法测小球的体积
实验方法
小球的体积
等于
它排开液体的体积
曹冲称象
H
假设将圆n等分，则
n=6
n=12
A1
A2
O
A2
A1
An
O
p
A3
回顾圆面积公式的推导
温故知新
割 圆 术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”．他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”．这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”．这是世界上最早的“极限”思想．
极限思想
已知球的半径为R,用V表示球的体积.
A
O
A
O
B2
C2
r2
r3
r1
球的体积
O
R
O
A
球的体积
球的体积
球的体积
在球的体积公式的推导过程中，使用了“分割、求近似值、再将近似值转化为球的体积”的方法：
球的体积
即先将半径 n 等分；再求出每一部分体积的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积；当 n 无限变大时，就可得到半球的体积．
球的体积
例4 某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9g/cm3），每个钢球重145kg，并且外径等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的．如果是实心的，请你计算出它的内径（π取3.14，结果精确到1cm）．
解：由于外径为50cm的钢球的质量为：
街心花园中钢球的质量为145000g，而145000<517054，所以钢球是空心的．
球的表面积
例4 某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9g/cm3），每个钢球重145kg，并且外径等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的．如果是实心的，请你计算出它的内径（π取3.14，结果精确到1cm）．
解：
设球的内径是2xcm，那么球的质量为：
解得：
答：钢球是空心的．其内径约为45cm．
球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢
回忆球的体积公式的推导方法, 得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式．
球的表面积
第一步：分割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
则球的表面积：
则球的体积为：
O
O
球的表面积
第二步：求近似和
由第一步得：
O
O
球的表面积
第三步：化为准确和
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥
O
球的表面积
例5 如图表示一个用鲜花作成的花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1)？
解：圆柱形物体的侧面面积
半球形物体的表面积为
所以
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
球的表面积
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 倍.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 .
随堂练习
影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径.
1.球的体积和表面积的推导方法：
分割
求近似和
化为准确和
知识小结
2.影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径.(共19张PPT)
1.3.1 柱体、锥体、台体的表 面积与体积
1.3 空间几何体的表面积与体积
问题提出
1.对于空间几何体，我们分别从结构特征和视图两个方面进行了研究，为了度量一个几何体的大小，我们还须进一步学习几何体的表面积和体积.
2.柱、锥、台、球是最基本、最简单的几何体，研究空间几何体的表面积和体积，应以柱、锥、台、球的表面积和体积为基础.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？
知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积
思考1:面积是相对于平面图形而言的，体积是相对于空间几何体而言的.你知道面积和体积的含义吗？
面积:平面图形所占平面的大小
体积:几何体所占空间的大小
思考2:所谓表面积，是指几何体表面的面积.怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？
各个侧面和底面的面积之和或展开图的面积.
思考3:圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，侧面都是曲面，怎样求它们的侧面面积？
思考4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些特征？如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么圆柱的表面积公式是什么？
思考5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些特征？如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的表面积公式是什么？
思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些特征？如果圆台的上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l，那么圆台的表面积公式是什么？
思考7:在圆台的表面积公式中，若r′=r，r′=0，则公式分别变形为什么？
r′=r
r′=0
知识探究（二）柱体、锥体、台体的体积
思考1:你还记得正方体、长方体和圆柱的体积公式吗？它们可以统一为一个什么公式？
思考2:推广到一般的棱柱和圆柱，你猜想柱体的体积公式是什么？
高h
底面积S
思考3:关于体积有如下几个原理：
（1）相同的几何体的体积相等；
（2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和； （3）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等； （4）体积相等的两个几何体叫做等积体.
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？
1
2
3
1
2
3
思考4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜想锥体的体积公式是什么？
高h
底面积S
思考5:根据棱台和圆台的定义，如何计算台体的体积？
设台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，那么台体的体积公式是什么？
高h
下底面积S
上底面积S′
思考6:在台体的体积公式中，若S′=S，S′=0，则公式分别变形为什么？
S′=S
S′=0
理论迁移
例1 求各棱长都为a的四面体的表面积.
例2 一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm，为了美化花盆的外观，需要涂油漆. 已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（精确到1毫升）？
20
15
15
例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？
V≈2956（mm3）=2.956（cm3）
5.8×100÷7.8×2.956≈252（个）
作业：
P28习题1.3 A组： 1，2，3，4，5.2012年高考数学 三视图分类汇编
从近几年的高考试题来看，几何体的三视图是高考的热点，题型多为选择题、填空题，难度中、低档．主要考查几何体的三视图，以及由三视图构成的几何体，在考查三视图的同时，又考查了学生的空间想象能力及运算与推理能力．预测2012年高考仍将以空间几何体的三视图为主要考查点，重点考查学生读图、识图能力以及空间想象能力．
1、某四面体三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是
A. B. C.
D.
【解析】由三视图还原几何体如下图，该四面体四个面的面积中最大的是PAC，面积为10，选C。
2、广东理7如图l—3．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
解析:由该几何体的三视图可各该几何体是一个平行六面体,底面是以3为边长的正方形,该六面体的高
3、湖南文４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：D
解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，
其体积。
4、一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ．
5、全国Ⅰ理（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，
则相应的侧视图可以为
6、山东理 下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
【答案】A
【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判
断②③可以.
7、陕西理5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．
【精讲精析】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，
即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是
8、天津理 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积
为 ．
【解】．
几何体是由一个正四棱锥和一个长方体组合而成．
设几何体的体积为，正四棱锥的体积为，长方体的体积为．
则．
9、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．
【解】．
设几何体的体积为，则．
10、浙江理几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
12、广东文 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A． B． C． D．
13、新课标文 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
（A）6
（B）9
（C）12
（D）18
14、湖南理 某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是
15、辽宁理 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。
16、陕西文 将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ B ）
17、湖北文 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
____________.
18、浙江文 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是
A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3
19、北京文 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的
表面积是
（A）28+ HYPERLINK "http://www." （B）30+ HYPERLINK "http://www."
（C）56+ HYPERLINK "http://www." （D）60+ HYPERLINK "http://www."
20、广东理 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A．12π B．45π C．57π D．81π
21、福建文 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几
何体不可能是
A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱
22、安徽文 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于______.
23、天津文一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积 .
24、湖北理 已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为
A. HYPERLINK "http://www." B.3π C. D.6π
25、辽宁文 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.
26、上海理 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .
27、天津理 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3.
28、北京理 某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）
A. 28+6
B. 30+6
C. 56+ 12
D. 60+12
29、江西文 若一个几何体的三视图如图示，则此几何体的体积为
A． B.5 C.4 D.
3
3
2
正视图
侧视图
俯视图
图1
主（正）视图
俯视图
PAGE(共25张PPT)
1.3.1《柱体、
锥体和台体的表面积》
教学目标
1、通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2、了解柱、锥、台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.
3、培养学生空间想象能力和思维能力。
设疑引课:
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
正(长)方体的表面积等于它们的展开图的面积
提出问题：柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？
正棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
棱柱的
表面积
等于它
的侧面
积加底
面积
棱锥的展开图
侧面展开
棱台的展开图
h'
h'
侧面展开
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。
这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题。
例1：已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积.
分析：四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍。
S
B
A
C
解:先求△SBC的面积,过点S作SD⊥BC,交BC于点D.
因为BC=a,
所以：
因此,四面体的表面积
D
练习：一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.
想一想：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？
想一想:三棱柱的
展开图是什么
O
圆柱的侧面展开图是矩形
探究圆柱的表面积的求法：
圆锥的侧面展开图是扇形
O
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么 ．
O
O’
圆台的侧面展开图是扇环
探究圆台的表面积的求法：
练一练：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积.
O`
O
变式：想一想,你能求出切割之前的圆锥的表面积吗 试试看！
思考：圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
O
O’
O
O
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间的关系。
r’＝r
上底扩大
r’＝0
上底缩小
示范例题
例2：(见P25)一圆台形花盆，盆口直径20cm，盆底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盆壁长15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盘要多少油漆？
(π取3.14,结果精确到1毫升)
分析、思考：油漆位置在什么地方？→ 如何求花盆外壁表面积？
解:如图,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积
涂100个这样的花盘需油漆：0.1×100×100=1000(毫升).
答:涂100个这样的花盘需油漆1000毫升.
变式训练：若内外涂,涂100个这样的花盘需要多少油漆
圆柱
圆锥
圆台
展
开
图
表面 积
公式
1.3.1《柱体、 锥体和台体的体积》
探究新知：
回顾：还记得特殊的棱柱—正方体、长方体，以及圆柱的体积计算公式吗？
正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统一为：
V = Sh（S为底面面积，h为高）
1、探究柱体的体积公式
结论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积相等.
归纳：一般柱体的体积 V=Sh,
其中S为底面面积,h为柱体的高。
2、探究锥体的体积公式
结论1 ：等底面积等高的两个锥体的体积相等。
结论2：三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一。
锥体的体积计算公式：
S为底面面积，h为高。
讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？
→ 如何计算台体的体积？
解:设切割前的小锥体的高为x,
则:
高h
下底面积S
上底面积S′
例1(P26) 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是
7.8g/cm3）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14）
分析、讨论：六角螺帽的几何结构特征怎样？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求螺帽的个数？
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:
所以螺帽的个数为
5.8×1000÷(7.8×2.956)
≈252(个)
答：这堆螺帽大约有252个．(共49张PPT)
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。
——苏轼
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。
——苏轼
三视图欣赏
从不同的角度看同一物体,视觉的效果可能不同，
要比较真实地反映出物体的特征我们可从多角度观看物体。
特点：
中心投影的投影大小与物体和投影面之间的距离有关。
1.中心投影：
S
(1)
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影。
投射线
投影面
2.平行投影：
当把投影中心移到无穷远，在一束平行光线照射下形成的投影，叫平行投影。
正投影：投影方向垂直于投影面的投影.
斜投影：投影方向与投影面倾斜的投影。
(3)
(2)
特点：
与投影面平行的平面图形留下的影子, 与物体的形状大小完全相同，与物体和投影面之间的距离无关。
长方体的三视图
正视图
俯视图
侧视图
c（高）
a(长)
b（宽）
正视图反映了物体的高度和长度
侧视图反映了物体的高度和宽度
俯视图反映了物体的长度和宽度
c（高）
a(长)
b（宽）
正视图
侧视图
俯视图
三视图之间的投影规律
a(长)
c（高）
c（高）
b（宽）
b（宽）
a(长)
长对正
高平齐
宽相等
三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高.
圆柱
正
侧
俯
(1)圆柱的三视图
正视图
侧视图
俯视图
例1
侧
正
俯
(2)圆锥的三视图
圆 锥
例1
侧视图
正视图
俯视图
·
例2 请同学们画下面这两个圆台的三视图，如果你认为这两个圆台的三视图一样，画一个就可以；如果你认为不一样，请分别画出来。
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
注意：
(1)画几何体的三视图时，
能看见的轮廓和棱用实线表示，
不能看见的轮廓和棱用虚线表示。
(2)长对正， 高平齐， 宽相等。
练习、画下例几何体的三视图
侧
正
俯
除了会画如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球
等基本几何体的三视图外，我们还将学习画出由
一些简单几何体组成的组合体的三视图。
请同学们试试画出立白洗洁精塑料瓶的三视图
正视图
侧视图
俯视图
练习：
(1)
(2)
圆柱
正视图
侧视图
俯视图
俯
侧
正
正视图
侧视图
侧视图
在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎么处理？
例3:如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图是什么？
正视
正视图
侧视图
俯视图
例4、画下例几何体的三视图
例5、画下例几何体的三视图
还原成实物图：
刚才所作的三视图，
你能将其还原成实物模型吗？
圆 台
圆台
根据三视图判断几何体
正
侧
俯
俯视图
正视图
侧视图
例3
侧视图
正视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
正
侧
俯
根据三视图判断几何体
例6
根据三视图判断几何体
正视图
侧视图
俯视图
例7
正
俯
侧
四棱柱
三棱柱
知识探究（二）：将三视图还原成几何体
一个空间几何体都对应一组三视图，若已知一个几何体的三视图，我们如何去想象这个几何体的原形结构，并画出其示意图呢？
思考1:下列两图分别是两个简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图.
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
正视图
思考2:下列两图分别是两个简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并作适当描述.
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
练习2 下面物体的三视图有无错误？如果有，请指出并改正.
正视
俯视图
正视图
侧视图
练习3 将一个长方体挖去两个小长方体后剩余的部分如图所示，试画出这个组合体的三视图.
正视图
侧视图
俯视图
练习4 说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
探究(1): 在例3中，若只给出正，侧视图,
那么它除了是圆台外,还可能是什么几何体？
俯视图
不同的几何体可能有某一两个视图相同
所以我们只有通过全部三个视图才能
全面准确的反映一个几何体的特征。
正四棱台
俯
侧
正
探究(2)：如图是一个简单组合体的三视图，想象它表示的组合体的结构特征，尝试画出它的示意图。
正视图
侧视图
俯视图
小结：
画几何体的三视图时，能看得见的轮廓线
或棱用实线表示，不能看得见的轮廓线
或棱用虚线表示。
三视图之间的投影规律：
正视图与俯视图------长对正。
正视图与侧视图------高平齐。
俯视图与侧视图------宽相等。
1、
2、
3 空间想象能力,逆向思维能力2012年高考数学 三视图分类汇编
球体的面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V=πR3 其中R表示球的半径
锥体的体积公式V=Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
柱体体积公式V=Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
台体的体积公式 V= 其中S1，S2分别表示台体的上、下面积，h表示台体的高
从近几年的高考试题来看，几何体的三视图是高考的热点，题型多为选择题、填空题，难度中、低档．主要考查几何体的三视图，以及由三视图构成的几何体，在考查三视图的同时，又考查了学生的空间想象能力及运算与推理能力．预测2012年高考仍将以空间几何体的三视图为主要考查点，重点考查学生读图、识图能力以及空间想象能力．
1、某四面体三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是
A. B. C. D.
【解析】由三视图还原几何体如下图，该四面体四个面的面积中最大的是PAC，面积为10，选C。
2、广东理7如图l—3．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
解析:由该几何体的三视图可各该几何体是一个平行六面体,底面是以3为边长的正方形,该六面体的高
3、湖南文４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：D
解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，
其体积。
4、一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ．
5、全国Ⅰ理（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，
则相应的俯视图可以为
6、山东理 下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
【答案】A
【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判
断②③可以.
7、陕西理5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．
【精讲精析】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，
即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是
8、天津理 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积
为 ．
【解】．
几何体是由一个正四棱锥和一个长方体组合而成．
设几何体的体积为，正四棱锥的体积为，长方体的体积为．
则．
9、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．
【解】．
设几何体的体积为，则．
10、浙江理几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
11、某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是___ _。
（A） 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80
12、广东文 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A． B． C． D．
13、新课标文 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
（A）6
（B）9
（C）12
（D）18
14、湖南理 某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是
15、辽宁理 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。
16、陕西文 将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ B ）
17、湖北文 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
____________.
18、浙江文 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是
A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3
19、北京文 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的
表面积是
（A）28+ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 （B）30+ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4
（C）56+ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 （D）60+ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4
20、广东理 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A．12π B．45π C．57π D．81π
21、福建文 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几
何体不可能是
A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱
22、安徽文 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于______.
23、天津文一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积 .
24、湖北理 已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为
A. HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 B.3π C. D.6π
25、辽宁文 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.
26、上海理 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .
27、天津理 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3.
28、北京理 某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）
A. 28+6
B. 30+6
C. 56+ 12
D. 60+12
29、江西文 若一个几何体的三视图如图示，则此几何体的体积为
A． B.5 C.4 D.
3
3
2
正视图
侧视图
俯视图
图1
主（正）视图
俯视图
PAGE(共29张PPT)
空间几何体的直观图
空间图形的直观图的概念：
在一个平面内不可能画出空间图形的真实形状，
为了便于对空间图形的研究，我们将作出空间图形
的直观图，即用平面图形表示空间图形，它不是空
间图形的真实形状，但它具有立体感。
上面都是相应几何体的直观图.它们是怎样画出
来的呢
空间几何体的直观图
思考：这两副图相同吗
一、引入课题
(1) (2)
那么它是怎样画出来的呢？
我们今天来学习最常用的，直观性好的斜二测画法。
讨论：图(2)是图(1)的几何体的直观图
例１．用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图
(1)在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN所在直线为Y轴，两轴交于点O．画对应的 轴，两轴相交于点 ，使
注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性
(2)画水平放置平面图形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置．
注意：水平放置的线段长不变，铅垂放置的线段长变为原
来的一半．
并擦去辅助线x’轴和y’轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图
(3)连接
~请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~
斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点.画直观图时，把它画成对应的x’轴、y’轴，两轴交于O’，使
，它们确定的平面表示水平平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不
变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
结 论
（1）角的直观图还是角；
（2）原图中相等的角直观图中不一定相等；
（3）相等的线段不一定再相等；
（4）平行的线段仍平行；
例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图
关于水平放置的圆的直观图的画法，常用正等测画法．在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版．
例2．用正等测画法画圆形的直观图
Y’
x’
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.
4
1.5
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.
规 则
（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、oy,再取oz轴，使∠xoz=900，且∠yoz=900 ；
（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半
（2）画直观图时，把它们画成对应的 轴，使 所确定的平面表示水平平面；
（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴 轴或 轴的线段；
例4．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出
它的直观图
·
·
·
·
·
·
正视图
侧视图
俯视图
例4．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出
它的直观图
·
·
·
·
·
正视图
侧视图
俯视图
1.已知一四边形ABCD的水平放置的直观图是一个边长为2的正方形，请画出这个图形的真实图形。
练 习
2、如图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B‘到x’轴的距离为（ ）
3、如图ΔA‘B‘C’是水平放置的ΔABC的直观图，则在ΔABC的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
4、右图是ΔABC利用斜二测画法得到的水平放置的直观图ΔA‘B‘C’，其中A‘B’∥y’轴，B‘C’∥x‘轴，若ΔA‘B‘C’的面积是3，则ΔABC的面积是( )
课堂小结：
1、水平放置的平面图形的直观图的画法
2、空间几何体的直观图的画法
2.中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复杂，又不易度量．
投影规律
1.平行性不变，但形状、长度、 夹角会改变；
2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变；
3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变．
3.立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图，这种画法叫斜二测画法．
1. 图片都是空间图形在平面上的反映，通过对图片的研究可以了解空间图形的一些性质和特征．新高考《三视图》真题归类赏析
高考中对空间几何体的三视图的考查，主要有三个层次的要求：能画、能识别和能运用。高考的命题意图主要考查立体几何中空间几何体的三视图，考查同学们识图、画图的能力、空间想象能力以及运算求解能力等基本能力。因此，首先要熟练掌握三视图的概念和画图要求，其次要熟悉柱、锥、台、球各种基本几何体和它们组成的简单组合体，第三要熟练各种几何体的表面积、体积的计算公式和方法，最后要熟悉如下三种基本题型。
一、已知空间几何体，能画和识别其三视图。
1．已知柱、锥、台、球空间基本几何体，考查三视图的识别与画法。
练习1．（2007·山东文理3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
答案：D【分析】： 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D。
2．已知空间简单组合体，考查三视图的识别与画法。
练习2.（2010广东理数）6.如图1，△ ABC为三角形，// // , ⊥平面ABC 且3== =AB,则多面体△ABC -的正视图（也称主视图）是
答案：D．
练习3.（2008·广东卷）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
答案：A解析：解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.
二、已知空间几何体的三视图，还原空间几何体并能运用求其表面积和体积。
1．已知空间几何体的部分三视图，还原空间几何体，并识别三视图。
练习4（2010北京理数）（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为
答案：C
练习5（2010辽宁理数）（15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.
【答案】
【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。
练习6．(福建文5)如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该几何体的俯视图可以是
解析：解法1 由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C.
解法2 当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是.故选C.
2．已知柱、锥、台、球空间基本几何体的三视图，还原空间几何体，并求其表面积和体积。
练习7．（2010福建理数）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ．
【答案】
【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为
，侧面积为，所以其表面积为。
练习8．（2010陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 [B]
（A）2 （B）1
（C） （D）
解析：本题考查立体图形三视图及体积公式
如图，该立体图形为直三棱柱
所以其体积为
练习9．(辽宁文16)设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。
则该几何体的体积为
答案：4解析：这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,体积等于×2×4×3＝4
练习10．（宁夏海南文理11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积
（单位：c）为
（A）48+12 （B）48+24
（C）36+12 （D）36+24
解析：选A.
3．已知空间简单组合体的三视图，还原空间几何体，并求其表面积和体积。
练习11．（2010安徽理数）8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为
A、280 B、292 C、360 D、372
8.C
【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.
【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。
练习12．(浙江文12)若某几何体的三视图（单位：）如图所示，
则此几何体的体积是 ．
答案：18
解析：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，
上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18
练习13．(山东文理4) 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A. B. C. D.
答案:C解析：:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,
圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面
边长为，高为，所以体积为
所以该几何体的体积为.
练习14．（2010浙江理数）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是___________.
解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题
练习15．（2010天津文数）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。
【答案】3
【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题。
由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为
【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半。
练习16．（2010天津理数）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
【答案】
【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题。
由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积V=2+ =
【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉哦。
4．已知空间几何体的三视图和其表面积或体积，还原空间几何体，并求其它几何量。
练习17． (天津文理12) 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，
则_______
【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。
解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为的等腰三角形，所以有
练习18．（2010湖南文数）13.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= 4 cm
三、结合三视图与空间几何体综合考查点、线、平面的位置关系。
练习19．（2008·海南、宁夏理科卷）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图
设长方体的高宽高分别为，由题意得
，
，，所以
，
当且仅当时取等号。
答案：C
练习20．（2007·广东文17）(本小题满分12分)
已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主
视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视
图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该儿何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S
解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的
四棱锥V-ABCD ；
(1)
(2) 该四棱锥有两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为
， 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形，
AB边上的高为
因此
练习21． (2009·广东文17)（本小题满分13分）
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;
（2）求该安全标识墩的体积
（3）证明:直线BD平面PEG
解析：(1)侧视图同正视图,如下图所示.
（２）该安全标识墩的体积为：
（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,平面EFGH ,
又 平面PEG
又 平面PEG；
【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。
①正方形
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥
E
F
D
I
A
H
G
B
C
E
F
D
A
B
C
侧视
图1
图2
B
E
A．
B
E
B．
B
E
C．
B
E
D．
2
2
侧(左)视图
2
2
2
正(主)视图
俯视图
PAGE
1(共49张PPT)
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。
——苏轼
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。
——苏轼
三视图欣赏
从不同的角度看同一物体,视觉的效果可能不同，
要比较真实地反映出物体的特征我们可从多角度观看物体。
特点：
中心投影的投影大小与物体和投影面之间的距离有关。
1.中心投影：
S
(1)
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影。
投射线
投影面
2.平行投影：
当把投影中心移到无穷远，在一束平行光线照射下形成的投影，叫平行投影。
正投影：投影方向垂直于投影面的投影.
斜投影：投影方向与投影面倾斜的投影。
(3)
(2)
特点：
与投影面平行的平面图形留下的影子, 与物体的形状大小完全相同，与物体和投影面之间的距离无关。
长方体的三视图
正视图
俯视图
侧视图
c（高）
a(长)
b（宽）
正视图反映了物体的高度和长度
侧视图反映了物体的高度和宽度
俯视图反映了物体的长度和宽度
c（高）
a(长)
b（宽）
正视图
侧视图
俯视图
三视图之间的投影规律
a(长)
c（高）
c（高）
b（宽）
b（宽）
a(长)
长对正
高平齐
宽相等
三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高.
圆柱
正
侧
俯
(1)圆柱的三视图
正视图
侧视图
俯视图
例1
侧
正
俯
(2)圆锥的三视图
圆 锥
例1
侧视图
正视图
俯视图
·
例2 请同学们画下面这两个圆台的三视图，如果你认为这两个圆台的三视图一样，画一个就可以；如果你认为不一样，请分别画出来。
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
注意：
(1)画几何体的三视图时，
能看见的轮廓和棱用实线表示，
不能看见的轮廓和棱用虚线表示。
(2)长对正， 高平齐， 宽相等。
练习、画下例几何体的三视图
侧
正
俯
除了会画如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球
等基本几何体的三视图外，我们还将学习画出由
一些简单几何体组成的组合体的三视图。
请同学们试试画出立白洗洁精塑料瓶的三视图
正视图
侧视图
俯视图
练习：
(1)
(2)
圆柱
正视图
侧视图
俯视图
俯
侧
正
正视图
侧视图
侧视图
在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎么处理？
例3:如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图是什么？
正视
正视图
侧视图
俯视图
例4、画下例几何体的三视图
例5、画下例几何体的三视图
还原成实物图：
刚才所作的三视图，
你能将其还原成实物模型吗？
圆 台
圆台
根据三视图判断几何体
正
侧
俯
俯视图
正视图
侧视图
例3
侧视图
正视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
正
侧
俯
根据三视图判断几何体
例6
根据三视图判断几何体
正视图
侧视图
俯视图
例7
正
俯
侧
四棱柱
三棱柱
知识探究（二）：将三视图还原成几何体
一个空间几何体都对应一组三视图，若已知一个几何体的三视图，我们如何去想象这个几何体的原形结构，并画出其示意图呢？
思考1:下列两图分别是两个简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图.
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
正视图
思考2:下列两图分别是两个简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并作适当描述.
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
练习2 下面物体的三视图有无错误？如果有，请指出并改正.
正视
俯视图
正视图
侧视图
练习3 将一个长方体挖去两个小长方体后剩余的部分如图所示，试画出这个组合体的三视图.
正视图
侧视图
俯视图
练习4 说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
探究(1): 在例3中，若只给出正，侧视图,
那么它除了是圆台外,还可能是什么几何体？
俯视图
不同的几何体可能有某一两个视图相同
所以我们只有通过全部三个视图才能
全面准确的反映一个几何体的特征。
正四棱台
俯
侧
正
探究(2)：如图是一个简单组合体的三视图，想象它表示的组合体的结构特征，尝试画出它的示意图。
正视图
侧视图
俯视图
小结：
画几何体的三视图时，能看得见的轮廓线
或棱用实线表示，不能看得见的轮廓线
或棱用虚线表示。
三视图之间的投影规律：
正视图与俯视图------长对正。
正视图与侧视图------高平齐。
俯视图与侧视图------宽相等。
1、
2、
3 空间想象能力,逆向思维能力新课标高一数学必修2知识点
一、立体几何初步
（一）几何体
1．柱、锥、台、球的结构特征
（1）柱 what’s 棱柱、 三棱柱、四棱柱、正三棱柱、正四棱柱？ what’s圆柱：圆柱的轴、圆柱的轴截面、圆柱的侧面、圆柱侧面的母线、圆柱侧面展开图。
（2）锥 what’s棱锥、棱锥的底、棱锥的侧面、棱锥的顶点；棱锥的侧棱，what’s三角锥、四边锥、正三角锥、正四边锥、正四面体 what’s圆锥、圆锥的轴、圆锥的底面、圆锥的侧面、圆锥的轴截面，圆锥的侧面展开图是什么？
（3）台 what’s棱台、圆台 台体与对应锥体的“亲子关系”及砍头定理。
（4）what’s球 球内接正方体棱长与球半径关系
2．空间几何体的三视图是从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。柱、锥、台、球、正方体、正4面体的正视图、侧视图、俯视图；
3．空间几何体的直观图
（1）斜二测画法“横等斜半45竖也等”，直观图如何恢复成原图
（2）平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。
（二）面积与体积
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积、侧面积公式和体积公式，注意：侧面积为各侧面积之和。2．圆柱、圆锥与球的表面积、侧面积公式和体积公式
（三）空间点线面
1．三公理三推论:推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。
2．空间2条直线的位置关系：相交、平行、异面，
（1）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。
（2）平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。与a是异面直线。
3．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内
（2）直线和平面相交
（3）直线和平面平行、线面平行的判定定理： ．线面平行的性质定理： ．
4．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）（1）两个平面平行的判定定理及平行的性质
5．判断线线垂直的方法：所成的角是直角；
6．线面垂直：定义、判定定理和性质定理
7．面面垂直：定义：相交、判定定理：（线面垂直面面垂直）、性质定理：（面面垂直线面垂直）
7、二面角的求法：先找二面角的棱，再在两个半平面内找(作)棱的垂线，其夹角即二面角的平面角。
8、线垂直面，则垂直面上所有线，但线平行面，线与面上的线平行或异面
二、解析几何初步
1．倾斜角：范围为。
2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。
3．过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:（若x1＝x2，则直线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。
4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
5．直线l1与直线l2的的平行与垂直
（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2 k1=k2；②l1l2 k1k2=－1。
（2）若 若A1、A2、B1、B2都不为零。
①l1//l2；
②l1l2 A1A2+B1B2=0；
③l1与l2相交；④l1与l2重合；注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况。两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。
6、距离
（1）平面直角坐标系中两点间距离：若，则，在空间直角坐标系中，公式又是
（2）平行线间距离：若， 则距离。注意点：x，y对应项系数应相等。
（3）点到直线的距离：，则P到l的距离为：7．圆的方程圆心为，半径为r的圆的标准方程为：。特殊地，当时，圆心在原点的圆的方程为：。圆的一般方程，圆心为点，半径，其中。
8．直线与圆的位置关系有三种
（1）若，；
（2）；
（3）。还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：
9．两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。；；
；；；判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。
10、中点坐标公式
11、两圆相交则连心线垂直平分相交弦
12、线圆相交，计算弦长，常用勾股定理：弦长一半、半径、弦心距。
13、光线反射问题：入射点的“像”在反射光线的反向延长线上，反射点的“像”在入反射光线的反向延长线上
14、求支点的轨迹，参考课本例题，回忆初中学过的几何知识。
15、坐标法解题要建立适当的直角坐标系。
16、课本、小测、月考、练习上多次重复出现的题目要重视。对做过的题目要做好复习。
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3(共37张PPT)
知识探究（一）：中心投影与平行投影
光是直线传播的，一个不透明物体在光的照射下，在物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.
思考1:不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？
思考2:我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影，那么用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？
中心投影
平行投影
思考3:用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？
思考4:用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？
思考5:在平行投影中，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？
思考6:一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？
知识探究（二）：柱、锥、台、球的三视图
把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形.从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面，并给出下列概念：
（1）光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，叫做几何体的正视图；
（2）光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，叫做几何体的侧视图；
（3）光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图，叫做几何体的俯视图；
（4）几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图.
思考1:正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的哪三个角度观察得到的几何体的正投影图？它们都是平面图形还是空间图形？
思考2:如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c ，那么其三视图分别是什么？
a
b
c
a
b
c
正视图
俯视图
侧视图
俯视图
a
b
侧视图
b
c
正视图
a
c
思考3:圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？
正视图
侧视图
俯视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
思考4:一般地，一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度有什么关系？
正侧等高,正俯等长,侧俯等宽.
正视图
俯视图
侧视图
a
a
b
b
c
c
a
b
c
思考5:球的三视图是什么？下列三视图表示一个什么几何体？
俯视图
正视图
侧视图
理论迁移
例 如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放，试分别画出其三视图，并比较它们的异同.
正视
正视
正视图
侧视图
俯视图
正视
正视图
侧视图
俯视图
正视
能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.
简单组合体的三视图
知识探究（一）：画简单几何体的三视图
思考1:在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎么处理？
思考2:如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图是什么？
正视
正视图
侧视图
俯视图
思考3:观察下列两个实物体，它们的结构特征如何？你能画出它们的三视图吗？
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
思考4:如图，桌子上放着一个长方体和一个圆柱，若把它们看作一个整体，你能画出它们的三视图吗？
正视
正视图
侧视图
俯视图
知识探究（二）：将三视图还原成几何体
一个空间几何体都对应一组三视图，若已知一个几何体的三视图，我们如何去想象这个几何体的原形结构，并画出其示意图呢？
思考1:下列两图分别是两个简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图.
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
正视图
思考2:下列两图分别是两个简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并作适当描述.
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
理论迁移
例1 下面物体的三视图有无错误？如果有，请指出并改正.
正视
俯视图
正视图
侧视图
例2 将一个长方体挖去两个小长方体后剩余的部分如图所示，试画出这个组合体的三视图.
正视图
侧视图
俯视图
例3 说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.
正视图
侧视图
俯视图
结 束(共23张PPT)
R
高等于底面半径的旋转体体积对比
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
球的体积
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
球的体积
分割
求近似和
化为准确和
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
A
O
B2
C2
球的体积
A
O
O
R
O
A
球的体积
球的体积
球的体积
2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.
1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块,每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积.
球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢 回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢
下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．
球的表面积
球的表面积
第一步：分割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
则球的表面积：
则球的体积为：
O
O
球的表面积
第二步：求近似和
由第一步得：
O
O
球的表面积
第三步：化为准确和
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥
O
球的表面积
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm3)
例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm3)
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
由计算器算得:
例题讲解
(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸
用料最省时,球与正方体有什么位置关系
球内切于正方体
侧棱长为5cm
例题讲解
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
例题讲解
O
A
B
C
例３已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R，
截面⊙O′的半径为r，
例题讲解
O
A
B
C
例３.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．
例题讲解
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3.
8
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.
练习一
课堂练习
4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.
练习二
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.
课堂练习
7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么
这个大铅球的表面积是______.
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，
则它的外接球的表面积为_____.
6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π ,
则两球的直径之差为______.
练习二
课堂练习
了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割→求近似和→化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法—极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；
熟练掌握球的体积、表面积公式：
课堂小结2课时 §2－1三视图的形成及其投影规律 全国中职非机类通用教材
§2－1 三视图的形成及其投影规律
本小节是学习《机械制图》入门的最重要且最基础的知识，必须在清楚地了解三视图形成过程的前提下，从而理解并初步能应用三视图的投影规律看、画简单的三视图。。
视 图
【教学目的】 明确什么叫视图和为什么要用三视图。
【教学重点】 从课题题目的“三 视图”引入， 解释视图的含义，图解一个视图只能反映物体一个方位的道理。
【教法设计】 用教学模型引导，讲解 视 的过程和道理，并在黑板上徒手画出相应的 图。
徒手板画图1，逐一添加不同形体，有意引导从同一方向想象，引出同解的视图，再启发点明改变投射的方向其视图就不同解，从而说明为何要采用三视图。
【时间分配】 约10分钟
【教具】 组合体教学模型
【说明】 本教案中的黑体字和图形为板书板图用，斜体字为讲课提示用。
视图——视，就是看的意思。将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓画出来的图形。
用正投影法绘制出物体的图形称为视图。
一个视图只能反映物体的一个方位的形状。不能完整反映物体的结构形状。
三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果。能较完整的表达物体的结构。
三视图的形成
对原教材作适当修改，按三视图的形成过程，将本大点分为3小点讲，小标题为增加的。
三投影面体系
【教学目的】 三投影面体系是形成三视图的的必要条件。也为后续点、线、面课程打基础。
【教学重点】 认识三投影面体系的构成和各个投影面的名称及代号，
【教法设计】 用自制纸质可展开的三投影面体系模型和板图相结合
【时间分配】 约7分钟
【教具】 自制纸质可展开的三投影面体系模型
三投影面体系由三个相互垂直的投影面和三条投影轴（立体坐标）构成
引导学生撑开课本竖放在课桌上，建立一个简易而形象的三投影面体系。
正立投影面 简称 正 面 代号 V
三个投影面 水平投影面 简称 水平面 代号 H
侧立投影面 简称 侧 面 代号 W
V与H的交线称为OX轴 简称 X 轴 它代表物体的 长度 方向
三条投影轴 W与H的交线称为OY轴 简称 Y 轴 它代表物体的 宽度 方向
W与V的交线称为OZ轴 简称 Z 轴 它代表物体的 高度 方向
X、Y、Z三轴的交点 O 称为原点
三视图的形成过程和名称
【教学目的】 要求掌握每一视图的名称，以及它从物体的何方向投影所得和最能反映物体的何方位形状。
【教学重点】 每一视图是从物体的何方向投影所得。
【教法设计】 主要采用教案所示的组合体教学模型实物，配合纸质三投影面体系上已画好的视图进行引导讲解各图的名称和来历，不作板图。从简。
【时间分配】 约8分钟
【教具】 自制纸质可展开的三投影面体系模型和教案所示的组合体教学模型
从物体的 前面向后面 投射，在 V 面所得的视图称 主视图—能反映物体的前面形状
从物体的 上面向下面 投射，在 H 面所得的视图称 俯视图—能反映物体的上面形状
从物体的 左面向右面 投射，在 W 面所得的视图称 左视图—能反映物体的左面形状
三视图的展开及其位置
【教学目的】 由三视图规定的展开形式引导出三视图固定位置的道理，对三视图的形成有一个完整的概念。
【教学重点】 三投影面展开的规定以及三个视图之间相对位置的认识。
【教法设计】 1、主要以纸质三投影面体系模型进行直观的、逐一地展开，展开的结果也自然地展现了三视图位置的来历。该模型最能讲透这个内容的实质。
2、三视图展开之后，将该组合体的三视图按对应关系徒手板画到黑板约中间的位置上（图2），以说明展开的实际意义，也为下一个分析内容提供板图。
【时间分配】 约5分钟
【教具】 自制纸质可展开的三投影面体系模型。
为了看、画图的方便，必须将三个相互垂直的投影面摊平到同一个平面上
三视图的展开
以V面为基准，沿 Y 轴剪开，然后 H 面绕X轴向下转90°
W面绕Z轴向右转90°
三视图的位置
主视图在图纸的左上角 左视图在主视图的正右方
俯视图在主视图的正下方
三视图之间的投影关系 （三等关系）
【教学目的】 此为本课程最基本也最重要的基础知识，要求理解并初步掌握三视图之间的尺寸等量内在联系，即“尺寸三等关系”。
【教学重点】 分析每一视图能反映物体的什么尺寸、不能反映什么尺寸及其原因，引出任意两图之间的尺寸等量关系，用“跑道”的等宽和转弯的形象比喻，讲解左俯两图间的宽度尺寸方向和等量关系；归纳分析“三等关系”的口诀，强调“对正、平齐”的含义。
【教学难点】 左俯两图间的宽度尺寸方向和等量关系
【教法设计】 1、先徒手添画出组合体的轴测图（图3），一方面是让学生有新鲜感，另一方面是开始引导学生如何看懂轴测图与三视图的联系，为今后的学习和作业打基础。
2、讲解过程采取模型、轴测图和三视图三结合的感性和理性的分析，设计板书中的圈圈（见下页教案），使学生易于接受和理解。
3、强调用跑道的比喻化解宽相等的难点。
4、示范演示用一副三角板配合推画、掌握长对正和高平齐的关系，然后再用圆规专门负责量取宽度尺寸的图线，用绘图工具的明确分工，辅助掌握和理解三等关系。
【时间分配】 约15分钟
【教具】 教案所示的组合体教学模型
任何物体均有长、宽、高三个方向尺寸，该关系是用于分析每一视图如何反映物体的这些尺寸。
分析的前提必须先规定物体的长、宽、高尺寸方向。强调正对主视图（V面）的水平方向为物体的长度方向，然而，其宽度和高度方向就自然地确定下来了。
主视图反映物体的 长 高 尺寸； 不反映 宽 尺寸。（原因：宽方向与主视的投射方向重合）
俯视图反映物体的 长 宽 尺寸； 不反映 高 尺寸。（原因：高方向与俯视的投射方向重合）
左视图反映物体的 高 宽 尺寸； 不反映 长 尺寸。（原因：长方向与左视的投射方向重合）
配合图2进行分析引导，该图的使用过程连线在此教案中从略
由此可见：1、每一视图只能反映物体两个方向的尺寸。
故视图是平面图形，没有立体感，是学习机械制图困难所在。
2、每两个视图反映的相同方向尺寸，具有尺寸等量的内在联系。
从宏观到局部均存在这种联系。
归纳为口诀 主视、俯视 长对正
主视、左视 高平齐
左视、俯视 宽相等
【难点】 在宽相等的关系上，因为这两图的宽度方向未能对正，而相差了90°。板图讲解用两段弧将左、俯两图连接，形象比喻为跑道。帮助理解和记忆宽相等关系，特别是两图之间的宽方向的转向。
三视图与物体位置的对应关系 （方位关系）
【教学目的】 此为三视图的第二个投影规律，要求理解并初步掌握每一视图所能反映物体的什么方位和不能反映什么方位，故该关系也称“方位关系”。
【教学重点】 分析每一视图所能反映物体的什么方位和不能反映什么方位。
【教学难点】 左、俯两图间的前后方位的判定。
【教法设计】 1、利用图2和图3进行启发、引导式地讲解。
2、联系和借用三等关系，讲解方位关系。
3、增加口诀“里后外前”帮助学生判别左、俯两图的前后方位
【时间分配】 约15分钟
【教具】 组合体教学模型
任何物体均有前后、左右、上下六个方位，方位关系是用于分析每一视图如何反映物体的这些方位。
分析的前提必须先规定物体的前面方位。强调正对主视图（V面）的当面为物体的前面方位，然而，其他方位就自然地确定下来了
主视图反映物体的 左右、上下 方位； 不反映 前后 方位（原因：该方位与主视的投射方向重合）
俯视图反映物体的 左右、前后 方位； 不反映 上下 方位（原因：该方位与俯视的投射方向重合）
左视图反映物体的 上下、前后 方位； 不反映 左右 方位（原因：该方位与左视的投射方向重合）
利用配合图2进行分析引导，该图的使用过程连线在此教案中从略
【难点】 在判别左、俯两图的前后方位
用 “里后外前” 口诀帮助判别前后关系。
【解释】 以主视图为基准，在左、俯两图中，靠近主视的一边为里，即物体的后边结构；
远离主视的一边为外，即物体的前边结构。
小结： 1、三视图的投影规律有两个，三等关系和方位关系。看、画图过程缺一不可。
2、主俯和主左视图的对应关系比较直观，易于理解掌握，而难点在于左俯两图的宽相等和前后方位的理解和判断。
【举例】 目的在于对有关三视图两个投影规律的实际运用，验证缺一不可的重要性。
【时间分配】 约15分钟
例： 根据给出的简单形体轴测图，画出三视图。（边画边分析其结构，过程从略）
题目设计为形体的结构特点基本对称，唯有圆孔不对称。目的在于体现方位关系的运用。板图过程有意将孔的宽方向尺寸和前后方位画错，让学生纠错，以达到总结消化目的。
物体表面上面和线的基本投影特性 （正投影法的基本特性）
主要是研究物体表面的几何要素与投影面相对位置的不同而产生的投影结果和特性。
【教学目的】 理解物体的面、线与投影面的三种相对位置，其投影结果如何，属何性质。
【教学重点】 在于倾斜状态的分析和投影结果。
【教法设计】 采用实物模型和图2中的三视图进行对正分析。
【时间分配】 约10分钟
【教具】 组合体教学模型
相对位置：一般分为三种状况： 平行 垂直 倾斜。
平面的基本投影特性
平行于 投影面——投影为反映 实形 的 封闭线框——其特性称为 真实性
垂直于 投影面——投影 积聚 为一直线段——其特性称为 积聚性
倾斜于 投影面——投影为有 类似性 的 不反映实形 的封闭线框——称为 类似性
直线的基本投影特性
平行于 投影面——投影为反映 实长 的 直线段——其特性称为 真实性
垂直于 投影面——投影 积聚 为一个 点——其特性称为 积聚性
倾斜于 投影面——投影为 缩短的不反映实长 的 直线段——称为 收缩性
小结：正投影法的基本特性有三个，即真实性、积聚性、类似性（收缩性）
图1
图2
图3
1、在对齐的前提下，自然就有等量关系。
2、对正、平齐就是不可以将两图错位
含义：
图4
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1.2.3空间几何体的直观图
直观图的画法
复习旧知
几种基本几何体三视图
1.圆柱、圆锥、球的三视图
几何体 正视图 侧视图 俯视图
知识 回顾
·
把平面图形画在纸上或黑板上，那很简单。要把立体图形画在纸上或黑板上，实际上是把本来不完全在同一个平面内的点的集合，用同一个平面内的点来表示。这时画在纸上或黑板上的图形，已经不是普通地平面图形，而是立体图形的直观图。
(1)右图看起来像什么？
(2)正方体的各个面都是正方形，在此图形中各个面都画成正方形了吗？
(3)立体图形的直观图要有立体感，即把不在同一平面内的点集在同一平面内表现出来，为此，它往往与立体图形的真实形状不相同，那么怎么画立体图形的直观图呢？
什么叫直观图
把空间图形画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形．
B
C
D
A
例１．用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o
点．画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使
，它确定的平面表示水平面。
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不
变,平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
斜二测画法的步骤：
小结：“横同，竖半 ， 角 ”
例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图
4
1.5
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图
探求立体图形的直观图的画法（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、oy,再取oz轴，使∠xoy=450，且∠xoz=900 ；
（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半
（2）画直观图时，把它们画成对应的 轴，使 所确定的平面表示水平平面；
（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴 轴或 轴的线段；
1. 下列结论是否正确.
(1)角的水平放置的直观图一定是角．
(2)相等的角在直观图中仍相等．
(3)相等的线段在直观图中仍相等．
(4)若两条线段平行，则在直观图中
对应的两条线段仍平行．
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
2. 利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图是三角形
②平行四边形的直观图是平行四边形
③正方形的直观图是正方形
④菱形的直观图是菱形
其中正确的是 ( )
Ｔ
Ｆ
Ｆ
Ｔ
①②
例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出
它的直观图
·
·
·
·
·
正视图
侧视图
俯视图
由三视图可知：该几何体是怎么的一个组合体？
如何画出一个圆柱的直观图？
如何画出一个圆锥的直观图？
思考三视图与直观图有何关系？
·
1.已知一四边形ABCD的水平放置的直观图是一个边长为2的正方形，请画出这个图形的真实图形。
练习
2、如图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为（2,2），则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B‘到x’轴的距离为（ ）
3、如图ΔA‘B‘C’是水平放置的ΔABC的直观图，则在ΔABC的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
练习
4. 对几何体三视图，下列说法正确的是：（ ）
A . 正视图反映物体的长和宽
B . 俯视图反映物体的长和高
C . 侧视图反映物体的高和宽
D . 正视图反映物体的高和宽
C
5. 若某几何体任何一种视图都为圆，那么这个几何体是
___________
球体
6，右图是ΔABC利用斜二测画法得到的水平放置的直观图ΔA‘B‘C’，其中A‘B’∥y’轴，B‘C’∥x‘轴，若ΔA‘B‘C’的面积是3，则ΔABC的面积是（ ）
课堂小结：
1、水平放置的平面图形的直观图的画法
2、空间几何体的直观图的画法(共24张PPT)
1.3.1《柱体、
锥体和台体的表面积》
正(长)方体的表面积等于它们的展开图的面积
提出问题：柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？
正棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
棱柱的
表面积
等于它
的侧面
积加底
面积
棱锥的展开图
侧面展开
棱台的展开图
h'
h'
侧面展开
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。
这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题。
例1：已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积.
分析：四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍。
S
B
A
C
解:先求△SBC的面积,过点S作SD⊥BC,交BC于点D.
因为BC=a,
所以：
因此,四面体的表面积
D
练习：一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.
想一想：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？
想一想:三棱柱的
展开图是什么
O
圆柱的侧面展开图是矩形
探究圆柱的表面积的求法：
圆锥的侧面展开图是扇形
O
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么 ．
O
O’
圆台的侧面展开图是扇环
探究圆台的表面积的求法：
练一练：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积.
O`
O
变式：想一想,你能求出切割之前的圆锥的表面积吗 试试看！
思考：圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
O
O’
O
O
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间的关系。
r’＝r
上底扩大
r’＝0
上底缩小
示范例题
例2：(见P25)一圆台形花盆，盆口直径20cm，盆底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盆壁长15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盘要多少油漆？
(π取3.14,结果精确到1毫升)
分析、思考：油漆位置在什么地方？→ 如何求花盆外壁表面积？
解:如图,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积
涂100个这样的花盘需油漆：0.1×100×100=1000(毫升).
答:涂100个这样的花盘需油漆1000毫升.
变式训练：若内外涂,涂100个这样的花盘需要多少油漆
圆柱
圆锥
圆台
展
开
图
表面 积
公式
1.3.1《柱体、 锥体和台体的体积》
探究新知：
回顾：还记得特殊的棱柱—正方体、长方体，以及圆柱的体积计算公式吗？
正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统一为：
V = Sh（S为底面面积，h为高）
1、探究柱体的体积公式
结论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积相等.
归纳：一般柱体的体积 V=Sh,
其中S为底面面积,h为柱体的高。
2、探究锥体的体积公式
结论1 ：等底面积等高的两个锥体的体积相等。
结论2：三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一。
锥体的体积计算公式：
S为底面面积，h为高。
讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？
→ 如何计算台体的体积？
解:设切割前的小锥体的高为x,
则:
高h
下底面积S
上底面积S′
例1(P26) 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是
7.8g/cm3）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14）
分析、讨论：六角螺帽的几何结构特征怎样？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求螺帽的个数？
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:
所以螺帽的个数为
5.8×1000÷(7.8×2.956)
≈252(个)
答：这堆螺帽大约有252个．(共20张PPT)
知识探究（一）:水平放置的平面图形的画法
思考1:把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图.比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？
思考2:把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？
思考3:画一个水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图中各顶点的位置，我们可以借助平面坐标系解决这个问题. 那么在画水平放置的直角梯形的直观图时应如何操作？
x′
y′
C′
A
B
C
D
x
y
A′
B′
D′
当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时，一个空间图形在投射面上的平行投影（平面图形）可以形象地表示这个空间图形。像这样用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图。
空间几何体的直观图
x
y
o
X’
Y’
O’
先观察一个正方形，如何把它画成水平放置的直观图呢？
例１、用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图
(1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O．画对应的x’，y’轴，两轴相交于点O’，使∠x’O’y’=45°.
用斜二测画法做直观图的步骤：
教材P16:
例2.画水平放置的正三角形的直观图。
常用的一些空间图形的平面画法
例3 作一个底面边长为5cm，高为11.5cm的正五棱锥直观图。
x
y
o
M
A
B
C
D
E
N
A1
B1
·
M1
·
N1
E1
C1
·
D1
y1
x1
o1
y1
x1
A1
B1
E1
C1
·
D1
o1
z
S
A1
B1
E1
C1
·
D1
o1
S
练习题：
1. 一个四边形的直观图是边长为a的正方形，则原图形的面积是 。
y
x
y`
x`
例4、如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，则这个平面图形的面积是 .
B`
C`
D`
A`
B
C
D
A
E`
2、如图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B`到x`轴的距离为
.
3、右图是△ABC利用斜二测画法得到的水平放置的直观图△A`B`C`，其中A`B`∥y`轴，B`C`∥x`轴，若△A`B`C`的面积是3，则△ABC的面积是 .(共25张PPT)
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积
空间问题
平面问题
提出问题
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和．
因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积．
引入新课
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
棱柱的展开图
正棱柱的侧面展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的展开图
正棱锥的侧面展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的展开图
侧面展开
正棱锥的侧面展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的展开图
侧面展开
h'
h'
正棱台的侧面展开图
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
h'
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ．
D
B
C
A
S
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
因为BC=a，
所以：
因此，四面体S-ABC 的表面积．
交BC于点D．
解：先求 的面积，过点S作 ，
典型例题
圆柱的表面积
O
圆柱的侧面展开图是矩形
圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是扇形
O
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么 ．
O
O’
圆台的侧面展开图是扇环
三者之间关系
O
O’
O
O
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
r’＝r
上底扩大
r’＝0
上底缩小
例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取3.14，结果精确到1 ）？
解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：
答：花盆的表面积约是999 ．
典型例题
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：
（S为底面面积，h为高）．
柱体体积
一般棱柱体积也是：
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
圆锥的体积公式：
（其中S为底面面积，h为高）
圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 ．
圆锥体积
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
棱锥体积
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
（其中S为底面面积，h为高）
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于
底面面积乘高的 ．
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的 ．即棱锥的体积：
锥体体积
台体体积
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台(棱台)的体积公式(过程略)．
根据台体的特征，如何求台体的体积？
棱台（圆台）的体积公式
其中 ， 分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．
台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
S为底面面积，h为柱体高
S分别为上、下底面面积，h 为台体高
S为底面面积，h为锥体高
台体体积
上底扩大
上底缩小
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是
）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:
所以螺帽的个数为
（个）
答：这堆螺帽大约有252个．
典型例题
柱体、锥体、台体的表面积
各面面积之和
知识小结
展开图
圆台
圆柱
圆锥
柱体、锥体、台体的体积
锥体
台体
柱体
知识小结(共10张PPT)
4.1空间几何体——三视图
A
B
C
D
P
2
3
4
1
1
正视图
侧视图
1
俯视图
1
例1、（1）如图，E、F分别是正方体中面ADD1A1、BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的各个面上的投影可能是__________.
(2)(3)
4
3
4
3
6
6
3
6
6
体
P
A
D
B
C
1
1
正视图
侧视图
俯视图
1
主视图
左视图
俯视图
2
2
侧(左)视图
2
2
2
正(主)视图
俯视图
(1)
(2)
(3)
(4)
2
俯视图正(主视图侧视图
www.henggian.com
正(主视图侧(左视图
俯视图(共22张PPT)
0
h
H
v
注水量v与水深h的函数关系图,
h
0
H
v
0
H
v
0
H
v
A
D
C
B
中心投影
平行投影
斜投影
正投影
三角形一定相似吗？
一定是三角形吗？
三视图的形成
物体向投影面投影所得到的图形称为视图。
如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到的三个图形摊平在一个平面上，则就是三视图。
三视图的对应规律
俯视图和左视图
主视图和俯视图
主视图和左视图
----长对齐
----高对齐
----宽对齐
例1、画下例几何体的三视图
例2、画下例几何体的三视图
例3、画下例几何体的三视图
例四、画下例几何体的三视图
练习1、画下例几何体的三视图
练习2、画下例几何体的三视图
练习3、画下例几何体的三视图
练习4、5、画下例几何体的三视图
练习6、画下例几何体的三视图
练习7、画下例几何体的三视图
练习8、画下例几何体的三视图
课本P15-18直观图画法
学习与评价P005-0071--9
课本P17-18习题3.1 1---8(共18张PPT)
从正面看到的图
从左边看到的图
从上面看到的图
三视图：我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形。其中，把从正面看到的图叫做正视图，从左面看到的图叫做侧视图，从上面看到的图叫做俯视图。三者统称三视图。
正视图 侧视图
俯视图
侧视图方向
俯视图方向
正视图方向
三视图的作图步骤
1.确定正视图方向
3.先画出能反映物体真实形状的一个视图(一般为正视图）
4.运用 1 原则画出其它视图
5.检查
2.布置视图
长对正、高平齐、宽相等
正视图 侧视图
俯视图
要求：俯视图安排在正视图的正下方，侧视图安排在正视图的正右方。
下面各图中物体形状分另可以看成什么样的几何体
圆柱 圆锥 球
从正面,侧面,上面看这些几何体,它们的形状各是什么样的
正面看:长方体 等腰三角形 圆
侧面看:长方体 等腰三角形 圆
上面看: 圆 圆 圆
你能画出各物体的三视图吗
正视图
侧视图
俯视图
老师提示:画锥体的三视图要注意！
正视图
侧视图
俯视图
·
圆柱,圆锥三视图
老师提示:画三视图要认真准确
正视图
侧视图
俯视图
球的三视图
长方体
圆台
练习一： 画出下列基本几何体的三视图
六棱锥
长方体
长方体
正视图
侧视图
俯视图
圆台
圆台
正视图
侧视图
俯视图
六棱锥
小结：若相邻的两平面的相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出。
六棱锥的三视图
例3：画出下面几何体的三视图。
简单组合体的三视图
正视图
侧视图
俯视图
简单组合体的三视图
注意：不可见的轮廓线，用虚线画出。
正视图
侧视图
俯视图
简单组合体的三视图
小 结
三视图
正视图——从正面看到的图
侧视图——从左面看到的图
俯视图——从上面看到的图
画物体的三视图时,要符合如下原则:
位置：正视图 侧视图
俯视图
大小：长对正,高平齐,宽相等.
挑战“自我”,提高画三视图的能力.
作 业
作业：
1、P12练习1（2）（3）
2、P18、A1
3、P19、A6
4、P19、B1
探究：P11课本
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侧视图方向
俯视图方向
正视图方向
正视图 侧视图
俯视图
长
高
宽
画一个物体的三视图时,正视图,侧视图,俯视图所画的位置如图所示,且要符合如下原则:
长对正,
高平齐,
宽相等.(共49张PPT)
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。
——苏轼
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。
——苏轼
三视图欣赏
从不同的角度看同一物体,视觉的效果可能不同，
要比较真实地反映出物体的特征我们可从多角度观看物体。
特点：
中心投影的投影大小与物体和投影面之间的距离有关。
1.中心投影：
S
(1)
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影。
投射线
投影面
2.平行投影：
当把投影中心移到无穷远，在一束平行光线照射下形成的投影，叫平行投影。
正投影：投影方向垂直于投影面的投影.
斜投影：投影方向与投影面倾斜的投影。
(3)
(2)
特点：
与投影面平行的平面图形留下的影子, 与物体的形状大小完全相同，与物体和投影面之间的距离无关。
长方体的三视图
正视图
俯视图
侧视图
c（高）
a(长)
b（宽）
正视图反映了物体的高度和长度
侧视图反映了物体的高度和宽度
俯视图反映了物体的长度和宽度
c（高）
a(长)
b（宽）
正视图
侧视图
俯视图
三视图之间的投影规律
a(长)
c（高）
c（高）
b（宽）
b（宽）
a(长)
长对正
高平齐
宽相等
三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高.
圆柱
正
侧
俯
(1)圆柱的三视图
正视图
侧视图
俯视图
例1
侧
正
俯
(2)圆锥的三视图
圆 锥
例1
侧视图
正视图
俯视图
·
例2 请同学们画下面这两个圆台的三视图，如果你认为这两个圆台的三视图一样，画一个就可以；如果你认为不一样，请分别画出来。
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
注意：
(1)画几何体的三视图时，
能看见的轮廓和棱用实线表示，
不能看见的轮廓和棱用虚线表示。
(2)长对正， 高平齐， 宽相等。
练习、画下例几何体的三视图
侧
正
俯
除了会画如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球
等基本几何体的三视图外，我们还将学习画出由
一些简单几何体组成的组合体的三视图。
请同学们试试画出立白洗洁精塑料瓶的三视图
正视图
侧视图
俯视图
练习：
(1)
(2)
圆柱
正视图
侧视图
俯视图
俯
侧
正
正视图
侧视图
侧视图
例3:如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图是什么？
正视
正视图
侧视图
俯视图
例4、画下例几何体的三视图
例5、画下例几何体的三视图
还原成实物图：
刚才所作的三视图，
你能将其还原成实物模型吗？
圆 台
圆台
根据三视图判断几何体
正
侧
俯
俯视图
正视图
侧视图
例6
侧视图
正视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
正
侧
俯
根据三视图判断几何体
例7
根据三视图判断几何体
正视图
侧视图
俯视图
例8
正
俯
侧
四棱柱
三棱柱
侧视图
俯视图
正视图
练习2
侧视图
俯视图
正视图
思考2:下列两图分别是两个简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并作适当描述.
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
【三视图的画法要求】
(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线，尺寸线用细实线标出．
(2)三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求是：主俯一样长，俯左一样宽，主左一样高．
由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则作出判断．
【方法技巧提炼】
1.画三视图时，应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽相等”，注意虚、实线的区别，同时应熟悉一些常见几何体的三视图．解决由三视图想象几何体，进而进行有关计算的题目，关键是准确把握三视图和几何体之间的关系．
2.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．
练习3 下面物体的三视图有无错误？如果有，请指出并改正.
正视
俯视图
正视图
侧视图
练习4 将一个长方体挖去两个小长方体后剩余的部分如图所示，试画出这个组合体的三视图.
正视图
侧视图
俯视图
练习5 说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
探究(1): 在例6中，若只给出正，侧视图,
那么它除了是圆台外,还可能是什么几何体？
俯视图
不同的几何体可能有某一两个视图相同
所以我们只有通过全部三个视图才能
全面准确的反映一个几何体的特征。
正四棱台
俯
侧
正
探究(2)：如图是一个简单组合体的三视图，想象它表示的组合体的结构特征，尝试画出它的示意图。
正视图
侧视图
俯视图
小结：
画几何体的三视图时，能看得见的轮廓线
或棱用实线表示，不能看得见的轮廓线
或棱用虚线表示。
三视图之间的投影规律：
正视图与俯视图------长对正。
正视图与侧视图------高平齐。
俯视图与侧视图------宽相等。
1、
2、
3 空间想象能力,逆向思维能力(共27张PPT)
摄影作品
汽车设计图纸
问题提出
1.照相、绘画之所以有空间视觉效果，主要处决于线条、明暗和色彩，其中对线条画法的基本原理是一个几何问题，我们需要学习这方面的知识.
2.在建筑、机械等工程中，需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小，在作图技术上这也是一个几何问题，你想知道这方面的基础知识吗？
知识探究（一）：中心投影与平行投影
光是直线传播的,一个不透明物体在光的照射下,在物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.
思考1:不同的光源发出的光线是有差异的,其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？
思考2:我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影，那么用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？
中心投影
平行投影
思考3:用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体,在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？
思考4:用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？
思考5:在平行投影中，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？
正投影
斜投影
思考6:一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？
知识小结
投影
平行投影
中心投影
斜投影
正投影
知识探究（二）：柱、锥、台、球的三视图
把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形. 但只有一个平面图形难以把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面
从不同的角度看建筑
问题1:要很好地描绘这幢房子，需要从哪些方向去看？
问题2:如果要建造房子，你是工程师，需要给施工员提供哪几种图纸？
（1）光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，叫做几何体的正视图；
（2）光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，叫做几何体的侧视图；
（3）光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图，叫做几何体的俯视图；
（4）几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图.
三视图
正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的哪三个角度观察得到的几何体的正投影图？它们都是平面图形还是空间图形？
思考1
如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c ，那么其三视图分别是什么？
a
b
c
思考2
俯视图
正视图
俯视图
正视图
侧视图
侧视图
一个几何体的正视图和侧视图的高度一样，俯视图和正视图的的长度一样，侧视图和俯视图的宽度一样．
长度
高度
宽度
a
b
c
a
b
c
a
b
c
正视图
侧视图
俯视图
如图，圆柱的正视图和侧视图都是长方形，俯视图是圆。
圆柱的三视图
2r
2r
a
r
a
2r
圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？
思考3
正视图
侧视图
俯视图
圆锥的三视图
旋转体的正侧视图
一样
2r
2r
2r
r
a
a
a
正视图
侧视图
俯视图
圆锥的三视图
一般地，一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度有什么关系？
正俯等长,正侧等高, 侧俯等宽.
正视图
俯视图
侧视图
a
a
b
b
c
c
a
b
c
思考4
高平齐
宽相等
长对正，高平齐，宽相等
例1.下图所示的长方体和圆柱三视图是否正确
左视图
正视图
俯视图
正视图
左视图
俯视图
理论迁移
理论迁移
例2.如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放，试分别画出其三视图，并比较它们的异同.
正视
正视
正视图
侧视图
俯视图
正视
正视图
侧视图
俯视图
正视
能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.
例3:请根据视图说出立体图形的名称,并画出立体图形.
(1)
左视图
正视图
俯视图
(长方体)
(2)
正视图
左视图
俯视图
(四棱锥)
(1)
( )
(2)
( )
正视图
俯视图
( )
(3)
左视图
指出下面三个平面图形是右面这个物体的三视图中的哪个视图。
课堂练习
作业:
P15练习：1，2，3.【两年真题重温】
【2011新课标全国】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧【解析】正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等.
命题意图：本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力.
【2010新课标全国文】一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
【答案】①②③⑤
【命题意图猜想】
1.2011年的题目给出三视图中的正视图和俯视图，考查几何体的侧视图；2010年试题比较开放，考查几何体的正视图.连续两年没有和几何体的体积和表面积联系到一起.试题题目变的较为简单.猜想2012年高考题对本热点的考查有两种可能，一是与几何体的体积或表面积相联系，若与组合体相联系，题目难度会增大；二是可能在解答题中出现，根据三视图得到几何体，一般难度较低.
2.从近几年的高考试题来看，几何体的三视图是高考的热点，题型多为选择题、填空题，难度中、低档．主要考查几何体的三视图，以及由三视图构成的几何体，在考查三视图的同时，又考查了学生的空间想象能力及运算与推理能力．预测2012年高考仍将以空间几何体的三视图为主要考查点，重点考查学生读图、识图能力以及空间想象能力．
【最新考纲解读】
1.能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
2.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
3.会画某些建筑物的三视图与直观图．
【回归课本整合】
三视图的画法要求：
(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线，尺寸线用细实线标出．
(2)三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求是：主俯一样长，俯左一样宽，主左一样高．
由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则作出判断．
【方法技巧提炼】1.画三视图时，应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽相等”，注意虚、实线的区别，同时应熟悉一些常见几何体的三视图．解决由三视图想象几何体，进而进行有关计算的题目，关键是准确把握三视图和几何体之间的关系．
2.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．
【考场经验分享】
对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．解题时一定耐心加细心，观察准确线与线的位置关系，区分好实线和虚线的不同.此类题目若只是单纯考查三视图，一般难度较低，需保证的全分；若与体积、表面积或组合体相结合，有时难度较大，需要较强的空间想象能力和准确的画图能力，此时若空间想象能力不够的同学，不要花费过多的时间.
【新题预测演练】
1.【山东省枣庄市2012届高三上学期期末测试试题】
若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于
2.【山东省青岛市2012届高三期末检测】
已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是
.
3.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】
一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面
积为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
4.【河南省南阳市2012届高中三年级期终质量评估】
已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．2 B．
C．4 D．
【答案】C
【解析】该几何体如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，棱面，所以其体积为。
5.【河北省石家庄市2012届高三上学期教学质量检测(一)】
将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如右图所示，则该几何体的俯视图为
【答案】C
【解析】如图，当俯视时，重合，故选C。
6.【保定市2011—2012学年度第一学期高三期末调研考试】
右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】该几何体应为上面是球，下面是高为2圆柱，且球直径与圆柱底面直径相等，均为2，所以体积为.
7.【北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷】
某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）
（A） （B） （C） （D）
故
故该几何体的体积为
9.【2012年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测】
一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为
A． B. C. D.
【答案】D
【解析】由三视图可知该几何体为一放倒的直三棱柱，故
10.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一次模拟考试】
己知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为
(A) (B) (C) (D)
[答案]A
[解析] 由几何体的三视图可知该几何体为直三棱柱，如图所示，
11.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试】
一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】几何体为底面半径为，高为1的圆柱，全面积为.
12[2011·山东卷] 右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①
存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；② 存在四棱柱，其正（主）视
图、俯视图如右图；③ 存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命
题的个数是( )．
A．3 B．2 C．1 D． 0
【答案】A．
【解析】对于①，可以是放倒的三棱柱；②可以是长方体；③可以是放倒了的圆柱．故选择．另解：①②③均是正确的，只需①底面是等腰直角三角形的直四棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；②直四棱柱的两个侧面是正方形或一正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使得三个命题为真，答案选A．
13 [2011·浙江卷] 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
【答案】B
【解析】 由正视图可排除A，C；由侧视图可判断该该几何体的直观图是B.
14[2011·陕西卷] 某几何体的三视图如图1－2所示，则它的体积是( )
A．8－ B．8－ C．8－2π D.
【答案】A
【解析】 分析图中所给的三视图可知，对应空间几何图形，应该是一个棱长为2的正方体中间挖去一个半径为1，高为2的圆锥，则对应体积为：V＝2×2×2－π×12×2＝8－π.
说明：“三棱柱绕直线旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，旋转所成的角为负角.
【答案】 8；
【解析】由题意可知，要使得俯视图最大，需当三棱锥柱的一个侧面在水平平面内时，此时俯视图面积最大，如图所示，俯视图为矩形，且则故面积最大为. 当棱柱在水平面内滚动时，因三角形ABC为正三角形，当绕着旋转后其中一个侧面恰好在水平面，其俯视图的面积也正好经历了一个周期，所以函数的周期为
16.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试】
17．【惠州市2012届高三第二次调研考试数学试题】
如图，三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱，一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为 ．
【答案】
【解析】因为三个几何体的主视图和俯视图为相同的正方形，所 以原长方体棱长相等为正
方体，原直三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，设正方形的边长为则，长方体体
左视
A
B
C
D
左视
A
B
C
D
R
Q
P
PAGE
7
用心 爱心 专心(共20张PPT)
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
北京奥运会场馆图
38.9亿
赫尔佐格
德梅隆
“鸟巢(nest)”
30亿
问题提出
1.对于空间几何体，我们分别从结构特征和视图两个方面进行了研究，为了度量一个几何体的大小，我们还须进一步学习几何体的表面积和体积.
2.柱、锥、台、球是最基本、最简单的几何体，研究空间几何体的表面积和体积，应以柱、锥、台、球的表面积和体积为基础.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？
一、填空
(1)矩形面积公式： __________。
(2)三角形面积公式：_________。
正三角形面积公式：_______。
(3)圆面积公式：_________。
(4)圆周长公式： _________。
(5)扇形面积公式： __________。
(6)梯形面积公式： __________
(7)扇环面积公式： ______________。
知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积
思考1:面积是相对于平面图形而言的，体积是相对于空间几何体而言的.你知道面积和体积的含义吗？
面积:平面图形所占平面的大小
体积:几何体所占空间的大小
思考2:所谓表面积，是指几何体表面的面积.怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？
各个侧面和底面的面积之和或展开图的面积.
三、棱柱、棱台、棱锥的表面积
用空间几何体的展开图来求它的面积
几何体的展开图 侧面展开图的构成
表面积=侧面积+底面积
一组平行四边形
一组梯形
一组三角形
练习
1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC（即三棱锥），求它的表面积。
四、圆柱、圆锥、圆台表面积
侧面展开图 侧面积 表面积
问题：2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别和矩形、三角形、梯形的面积有什么相似的地方？
空间体侧面展开图 空间体的侧面积 平面图形面积
矩
形
三
角
形
梯
形
问题: 3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式有什么联系？
侧面展开图 侧面积
知识探究（二）柱体、锥体、台体的体积
思考1:你还记得正方体、长方体和圆柱的体积公式吗？它们可以统一为一个什么公式？
思考2:推广到一般的棱柱和圆柱，你猜想柱体的体积公式是什么？
高h
底面积S
思考3:关于体积有如下几个原理：
（1）相同的几何体的体积相等；
（2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和； （3）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等； （4）体积相等的两个几何体叫做等积体.
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？
1
2
3
1
2
3
思考4:推广到一般的棱锥和圆锥，猜想锥体的体积公式是什么？
高h
底面积S
思考5:根据棱台和圆台的定义，如何计算台体的体积？
设台体的上、下底面面积分别为S`、S，高为h，那么台体的体积公式是什么
高h
下底面积S
上底面积S′
思考6:在台体的体积公式中，若S′=S，S′=0，则公式分别变形为什么？
S′=S
S′=0
例2 一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm，为了美化花盆的外观，需要涂油漆. 已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（精确到1毫升）？
20
15
15
例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？(共17张PPT)
1.2 空间几何体的三视图和直观图
第二课时 简单组合体的三视图
1.柱、锥、台、球是最基本、最简单的几何体，由这些几何体可以组成各种各样的组合体，怎样画简单组合体的三视图就成为研究的课题.
问题提出
2.另一方面，将几何体的三视图还原几何体的结构特征，也是我们需要研究的问题.
知识探究（一）：画简单几何体的三视图
思考1:在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎么处理？
思考2:如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图是什么？
正视
正视图
侧视图
俯视图
思考3:观察下列两个实物体，它们的结构特征如何？你能画出它们的三视图吗？
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
思考4:如图，桌子上放着一个长方体和一个圆柱，若把它们看作一个整体，你能画出它们的三视图吗？
正视
正视图
侧视图
俯视图
知识探究（二）：将三视图还原成几何体
一个空间几何体都对应一组三视图，若已知一个几何体的三视图，我们如何去想象这个几何体的原形结构，并画出其示意图呢？
思考1:下列两图分别是两个简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图.
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
正视图
思考2:下列两图分别是两个简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并作适当描述.
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
理论迁移
例1 下面物体的三视图有无错误？如果有，请指出并改正.
正视
俯视图
正视图
侧视图
例2 将一个长方体挖去两个小长方体后剩余的部分如图所示，试画出这个组合体的三视图.
正视图
侧视图
俯视图
例3 说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.
正视图
侧视图
俯视图
作业:
P15练习：4.
P20习题1.2A组：1，2.新课标高一数学必修2知识点
一、立体几何初步
（一）几何体
1．柱、锥、台、球的结构特征
（1）柱 what’s 棱柱、 三棱柱、四棱柱、正三棱柱、正四棱柱？ what’s圆柱：圆柱的轴、圆柱的轴截面、圆柱的侧面、圆柱侧面的母线、圆柱侧面展开图。
（2）锥 what’s棱锥、棱锥的底、棱锥的侧面、棱锥的顶点；棱锥的侧棱，what’s三角锥、四边锥、正三角锥、正四边锥、正四面体 what’s圆锥、圆锥的轴、圆锥的底面、圆锥的侧面、圆锥的轴截面，圆锥的侧面展开图是什么？
（3）台 what’s棱台、圆台 台体与对应锥体的“亲子关系”及砍头定理。
（4）what’s球 球内接正方体棱长与球半径关系
2．空间几何体的三视图是从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。柱、锥、台、球、正方体、正4面体的正视图、侧视图、俯视图；
3．空间几何体的直观图
（1）斜二测画法“横等斜半45竖也等”，直观图如何恢复成原图
（2）平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。
（二）面积与体积
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积、侧面积公式和体积公式，注意：侧面积为各侧面积之和。2．圆柱、圆锥与球的表面积、侧面积公式和体积公式
（三）空间点线面
1．三公理三推论:推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。
2．空间2条直线的位置关系：相交、平行、异面，
（1）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。
（2）平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。与a是异面直线。
3．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内
（2）直线和平面相交
（3）直线和平面平行、线面平行的判定定理： ．线面平行的性质定理： ．
4．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）（1）两个平面平行的判定定理及平行的性质
5．判断线线垂直的方法：所成的角是直角；
6．线面垂直：定义、判定定理和性质定理
7．面面垂直：定义：相交、判定定理：（线面垂直面面垂直）、性质定理：（面面垂直线面垂直）
7、二面角的求法：先找二面角的棱，再在两个半平面内找(作)棱的垂线，其夹角即二面角的平面角。
8、线垂直面，则垂直面上所有线，但线平行面，线与面上的线平行或异面
二、解析几何初步
1．倾斜角：范围为。
2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。
3．过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:（若x1＝x2，则直线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。
4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
5．直线l1与直线l2的的平行与垂直
（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2 k1=k2；②l1l2 k1k2=－1。
（2）若 若A1、A2、B1、B2都不为零。
①l1//l2；
②l1l2 A1A2+B1B2=0；
③l1与l2相交；④l1与l2重合；注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况。两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。
6、距离
（1）平面直角坐标系中两点间距离：若，则，在空间直角坐标系中，公式又是
（2）平行线间距离：若， 则距离。注意点：x，y对应项系数应相等。
（3）点到直线的距离：，则P到l的距离为：7．圆的方程圆心为，半径为r的圆的标准方程为：。特殊地，当时，圆心在原点的圆的方程为：。圆的一般方程，圆心为点，半径，其中。
8．直线与圆的位置关系有三种
（1）若，；
（2）；
（3）。还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：
9．两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。；；
；；；判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。
10、中点坐标公式
11、两圆相交则连心线垂直平分相交弦
12、线圆相交，计算弦长，常用勾股定理：弦长一半、半径、弦心距。
13、光线反射问题：入射点的“像”在反射光线的反向延长线上，反射点的“像”在入反射光线的反向延长线上
14、求支点的轨迹，参考课本例题，回忆初中学过的几何知识。
15、坐标法解题要建立适当的直角坐标系。
16、课本、小测、月考、练习上多次重复出现的题目要重视。对做过的题目要做好复习。
PAGE
1(共29张PPT)
1.2.3
空间几何体的直观图的画法
问题情境
正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛运用。
但三视图的直观性较差，因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影。
中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复杂，又不易度量。
立体几何中常用斜投影来画空间图形的直观图，这种画法叫斜二测画法。
例１．用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图
一、水平放置的平面图形的直观图
例2．用斜二测画法画水平放置的正五边形的直观图
X
O
Y
例3．用正等测画法画水平放置的圆的直观图
总结画法规则：
1、在已知图形中取水平平面，取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点；
2、画直观图时把它们画成对应的x’轴、y’轴,它们交于O’,并使∠x’oy’=450(或1350),；
3、已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴、y’轴的线段（即平行性不变）；
4、已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半(即横不变纵折半）。
是为斜二测画法。
小结：“横同，竖半 ,平行性不变”
；
练习、1、画水平放置的正三角形的直观图。
C
A
B
O
练习、2、画水平放置的矩形的直观图。
A
D
C
B
水平放置在桌面的长方体盒子,
你最多能看到它的几个面
三个面
如何将如图放置的长方体画下来呢
一打地基(画底面);
二砌墙(画恻棱);
三盖房顶(连线).
二、空间几何的直观图
砌墙(画恻棱)
打地基(画底面)
例1.用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.
4
1.5
例1.用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.
例1.用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.
例1.用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.
例1.用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.
画轴
→
画底面
成图
→
画侧棱
→
总结画法规则：
1、在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xoz=900,且∠yoz=900；
2、画直观图时把它们画成对应的x’轴、y’轴和z’轴,它们交于O’,并使∠x’oy’=450(或1350),∠x’oz’=900, x’轴和y’轴所确定的平面表示水平平面。
3、已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴、y’轴或z’轴的线段。(即平行性不变）。
4、已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半(即横不变纵折半）。
是为斜二测画法。
z
ノ
y
ノ
x
ノ
o
ノ
练习：
画一个底面边长为３ｃｍ,高为4cm的正三棱柱的直观图。
１、画轴；
y
ノ
z
ノ
x
ノ
o
ノ
练习：
画一个底面边长为３ｃｍ,高为4cm的正三棱柱的直观图。
１、画轴；
２、画底面；
y
ノ
z
ノ
x
ノ
o
ノ
练习：
画一个底面边长为３ｃｍ,高为4cm的正三棱柱的直观图。
１、画轴；
２、画底面；
３、画侧棱；
y
ノ
z
ノ
x
ノ
o
ノ
练习：
画一个底面边长为３ｃｍ,高为4cm的正三棱柱的直观图。
１、画轴；
２、画底面；
３、画侧棱；
４、成图。
y
ノ
z
ノ
x
ノ
o
ノ
练习：
画一个底面边长为３ｃｍ,高为4cm的正三棱锥的直观图。
１、画轴；
２、画底面；
３、画侧棱；
４、成图。
例2．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出
它的直观图
·
·
·
·
·
·
正视图
侧视图
俯视图
例2．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出
它的直观图
·
·
·
·
·
正视图
侧视图
俯视图
1.斜二测画法：画多边形
2.正等测画法：画圆形
空间几何体的直观图的作法:
课堂小结
空间几何体的直观图的特点:
2. 保持水平长度和竖直长度不变；
1. 保持平行关系和竖直关系不变．
3. 纵向长度取其一半．
理论迁移
例 如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，求这个平面图形的面积.
A
B
C
D
A
B
C
D新高考《三视图》真题归类赏析
高考中对空间几何体的三视图的考查，主要有三个层次的要求：能画、能识别和能运用。高考的命题意图主要考查立体几何中空间几何体的三视图，考查同学们识图、画图的能力、空间想象能力以及运算求解能力等基本能力。因此，首先要熟练掌握三视图的概念和画图要求，其次要熟悉柱、锥、台、球各种基本几何体和它们组成的简单组合体，第三要熟练各种几何体的表面积、体积的计算公式和方法，最后要熟悉如下三种基本题型。
一、已知空间几何体，能画和识别其三视图。
1．已知柱、锥、台、球空间基本几何体，考查三视图的识别与画法。
练习1．（2007·山东文理3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
答案：D【分析】： 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D。
2．已知空间简单组合体，考查三视图的识别与画法。
练习2.（2010广东理数）6.如图1，△ ABC为三角形，// // , ⊥平面ABC 且3== =AB,则多面体△ABC -的正视图（也称主视图）是
答案：D．
练习3.（2008·广东卷）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
答案：A解析：解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.
二、已知空间几何体的三视图，还原空间几何体并能运用求其表面积和体积。
1．已知空间几何体的部分三视图，还原空间几何体，并识别三视图。
练习4（2010北京理数）（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为
答案：C
练习5（2010辽宁理数）（15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.
【答案】
【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。
练习6．(福建文5)如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该几何体的俯视图可以是
解析：解法1 由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C.
解法2 当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是.故选C.
2．已知柱、锥、台、球空间基本几何体的三视图，还原空间几何体，并求其表面积和体积。
练习7．（2010福建理数）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ．
【答案】
【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为
，侧面积为，所以其表面积为。
练习8．（2010陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 [B]
（A）2 （B）1
（C） （D）
解析：本题考查立体图形三视图及体积公式
如图，该立体图形为直三棱柱
所以其体积为
练习9．(辽宁文16)设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。
则该几何体的体积为
答案：4解析：这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,体积等于×2×4×3＝4
练习10．（宁夏海南文理11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积
（单位：c）为
（A）48+12 （B）48+24
（C）36+12 （D）36+24
解析：选A.
3．已知空间简单组合体的三视图，还原空间几何体，并求其表面积和体积。
练习11．（2010安徽理数）8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为
A、280 B、292 C、360 D、372
8.C
【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.
【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。
练习12．(浙江文12)若某几何体的三视图（单位：）如图所示，
则此几何体的体积是 ．
答案：18
解析：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，
上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18
练习13．(山东文理4) 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A. B. C. D.
答案:C解析：:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,
圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面
边长为，高为，所以体积为
所以该几何体的体积为.
练习14．（2010浙江理数）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是___________.
解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题
练习15．（2010天津文数）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。
【答案】3
【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题。
由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为
【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半。
练习16．（2010天津理数）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
【答案】
【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题。
由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积V=2+ =
【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉哦。
4．已知空间几何体的三视图和其表面积或体积，还原空间几何体，并求其它几何量。
练习17． (天津文理12) 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，
则_______
【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。
解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为的等腰三角形，所以有
练习18．（2010湖南文数）13.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= 4 cm
三、结合三视图与空间几何体综合考查点、线、平面的位置关系。
练习19．（2008·海南、宁夏理科卷）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图
设长方体的高宽高分别为，由题意得
，
，，所以
，
当且仅当时取等号。
答案：C
练习20．（2007·广东文17）(本小题满分12分)
已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主
视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视
图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该儿何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S
解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的
四棱锥V-ABCD ；
(1)
(2) 该四棱锥有两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为
， 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形，
AB边上的高为
因此
练习21． (2009·广东文17)（本小题满分13分）
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;
（2）求该安全标识墩的体积
（3）证明:直线BD平面PEG
解析：(1)侧视图同正视图,如下图所示.
（２）该安全标识墩的体积为：
（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,平面EFGH ,
又 平面PEG
又 平面PEG；
【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。
①正方形
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥
E
F
D
I
A
H
G
B
C
E
F
D
A
B
C
侧视
图1
图2
B
E
A．
B
E
B．
B
E
C．
B
E
D．
2
2
侧(左)视图
2
2
2
正(主)视图
俯视图
PAGE
1(共22张PPT)
1.2.3空间几何体的直观图
直观图的画法
一个数学题目检测人格特质
一人拿一张百元大钞到商店买了25元的东西，店主由于手头没有零钱，便拿这张百元钞票到隔壁的小摊贩那里换了100元零钱，并找了那人75元零钱。那人拿著25元的东西和75元零钱走了。过了一会儿，隔壁小摊贩找到店主，说刚才店主拿来换零钱的百元钞票是假钞。店主仔细一看，果然是假钞。店主只好又拿了一张真的百元钞票给小摊贩。 问:在整个过程中，店主一共亏了多少钱财？你的答案是多少呢？ (这是一题可以轻易解决的数学逻辑考题，回答看似无聊，其实题目里出现了很多检测人格特质的地方，先别看答案哦。)
答案
第一类:约有5％的人会回答『不知道，这题目真无聊，我放弃』 属于孔雀型人物，适合公关、业务。您在公开场所一定都是大家瞩目的重点人物，善于表达，口才是您的重点优势，记得善用哦。
第二类: 约23％的人会回答『店主赔了75元』 属于老虎，有领导统御特质，可担任开创性的职务。您的果断力、与领导力相当充沛，属于直觉敏锐的人物。善用你的直觉加上钻研专业领域的知识，您可以开创更高的天空。
第二类: 约38％的人会回答『店主赔了125元』 属于猫头鹰，思虑缜密持续力超强，是秘书、行政、品管的最佳人选。您的作业品质一定是部门最高分，敬业精神也一定很高分，主管交办事项给您，一定最放心不过了。
第四类: 约19％的人会回答『店主赔了200元』 属于无尾熊，行动缓慢，思考多样，适合美工、研发、变革等工作。您很有创意与作怪的本事！脑袋没有停下来的时候，主管若有什么难题需要解决，找你一定可以激荡出更多的解决方法。
第五类: 只有15％可以答对『店主赔了100元』 属于变色龙，属全方位人物。您的心思很细腻，观察透彻，勇敢果决，可以说是企业接班人或是培训人员的绝对种子。假以时日，一定非同小可哦。
几种基本几何体三视图
1.圆柱、圆锥、球的三视图
几何体 正视图 侧视图 俯视图
知识 回顾
·
几种基本几何体的三视图
2.棱柱、棱锥的三视图
几何体 正视图 侧视图 俯视图
知识 回顾
空间几何体的直观图
柱体
锥体
台体
球体
直观图
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
1、平面图形的直观图画法
（1）画轴.
（2）确定平行线段.
x’
y’
o’
( 450或1350 )
x
y
o
平行x轴的线段平行于x’ 轴
平行y轴的线段平行于y’ 轴
（3）确定线段长度.
平行x轴的线段的长度保持不变.
平行y轴的线段的长度变为原来的一半.
确定点位置的画法: 在斜坐标系里横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半.
特殊的平行投影画法——斜二测画法
(4) 成图
例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图
例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图
练习1利用斜二测画法画出下列平面图的直观图:
(1).长方形,长6cm,宽4cm
(2).等边三角形(边长6cm)
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图
4
1.5
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图
作业:用斜二测画法画出下列空间几何体的直观图：
长方体长6cm,宽4cm，高5cm
1、画轴:增加z轴, xoz=900;
2、画底面；
3、画侧棱.（直棱柱的侧棱和z轴平行，长度保持不变）
4、成图. 注意:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.
2、空间几何图形的直观图画法
