(共17张PPT)
平面向量基本定理
与坐标表示
当 时，
与 同向，
且 是 的 倍;
当 时，
与 反向，
且 是 的 倍;
当 时，
，且 .
复习:
⑴向量共线充要条件
⑵向量的加法：
O
B
C
A
O
A
B
平行四边形法则
三角形法则
共起点
首尾相接
O
C
A
B
M
N
O
C
A
B
M
N
平面向量基本定理：
B
A
C
D
M
1．在平面内有点A和点B，向量怎样表示 ？
O
x
y
i
j
a
思考1:
A
B
任一向量a ，用这组基底
能不能表示
2.分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j
能否作为平面向量的基底
探索1:
以O为起点， P为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？
o
P
x
y
a
向量的坐标表示
向量
P（x ，y）
一 一 对 应
在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示
探索2:
A
o
x
y
a
a
可通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O处.
解决方案:
O
x
y
A
平面向量的坐标表示
如图， 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 为基底，则
这里，我们把（x,y）叫做向量 的（直角）坐标，记作
①
其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在
y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。
1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式.
2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标,
记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式.
3、 a=x i+y j =( x , y)
4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
单位向量 i =（1，0），j =（0，1）(共64张PPT)
主讲老师：陈震
2.3平面向量的基本
定理及坐标表示
复习引入
复习引入
思考:
给定平面内两个向量
向量
(2) 同一平面内的任一向量是否都可以用
形如 的向量表示？
请你作出
平面向量基本定理：
平面向量基本定理：
将三个向量的起点移到同一点：
平面向量基本定理：
将三个向量的起点移到同一点：
平面向量基本定理：
将三个向量的起点移到同一点：
平面向量基本定理：
将三个向量的起点移到同一点：
平面向量基本定理：
将三个向量的起点移到同一点：
平面向量基本定理：
将三个向量的起点移到同一点：
平面向量基本定理：
将三个向量的起点移到同一点：
平面向量基本定理：
将三个向量的起点移到同一点：
归纳：
想一想：
讨论：
⑴
⑵
讨论：
O
⑵
讨论：
O
⑵
讨论：
O
⑵
讨论：
O
⑵
O
讨论：
⑶
讨论：
⑶
讨论：
⑶
讨论：
⑶
讨论：
⑶
讨论：
⑶
讨论：
⑶
讨论：
平面向量基本定理：
平面向量基本定理：
问题一：
问题一：
基底不共线也不唯一，任意
两个不共线的向量均可作基底．
问题二：
给定基底后，任意一个向量的
表示是唯一的．
问题二：
定理的应用：
定理的应用：
定理的应用：
定理的应用：
定理的应用：
定理的应用：
定理的应用：
定理的应用：
定理的应用：
定理的应用：
A
B
D
C
M
定理的应用：
O
A
B
P
定理的应用：
O
A
B
P
定理的应用：
O
A
B
P
向量的夹角:
向量的坐标表示
向量的坐标表示
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示
应用：
平面向量基本定理；
2. 平面向量的坐标的概念；
课堂小结
阅读教材P.93到P.96；
2. 《习案》作业二十.
课后作业(共12张PPT)
平面向量基本定理
与坐标表示
例1.如图，已知
求 的坐标。
x
y
O
B
A
解：
一个向量的坐标等于表示此向量的
有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
这是一个重要结论！
思考：已知
你能得出 的坐标吗？
平面向量的坐标运算：
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个
向量相应坐标的和（差）
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标
练习:已知
求 的坐标。
一般地,向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0),
如果a∥b,那么 x1y2-x2y1=0.
反过来,如果x1y2-x2y1=0
那么a∥b.
例3.已知 ，且 ，求y。
例4.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断
A、B、C三点之间的位置关系。
x
y
O
P1
P2
P
(2)
x
y
O
P1
P2
P
例1.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标
分别是
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，
求点P的坐标。
推广:已知 ， ，P是直线 P1P2上的一点,且P1P=λPP2(λ≠-1)
求P点的坐标.
解:设P(x,y),则
有向线段 的
定比分点坐标公式
有向线段 的
中点坐标公式
P在 之间
P
P在 的延长线上，
P
直线l上两点 、 ，在l上取不同于 、 的任一点P，则P点与 的位置有哪几种情形？
P在 的延长线上
P
能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定λ的取值范围吗？
关于有向线段的定比分点含义:
存在一个实数λ，使 ，λ叫做点P分有向线段 所成的比． P叫做 的定比分点.
练习：
（1）如图，点B 分有向线段 的比为 ，点C分有向线段 的比为 ，点A分有向线段 的比为
A
B
C
（2）连结A（4，1）和B（－2，4）两点的直线，和x轴交点的坐标是 ，和y轴交点的坐标是 ．
（0，3）
（6，0）(共22张PPT)
主讲老师：陈震
2.3平面向量的基本
定理及坐标表示
复习引入
平面向量基本定理：
复习引入
平面向量基本定理：
复习引入
平面向量基本定理：
(2)基底不惟一，关键是不共线；
复习引入
平面向量基本定理：
(2)基底不惟一，关键是不共线；
复习引入
平面向量基本定理：
(2)基底不惟一，关键是不共线；
思考1:
思考1:
两个向量和与差的坐标分别等于这
两个向量相应坐标的和与差.
思考1:
实数与向量的积的坐标等于用这个
实数乘原来向量的相应坐标.
两个向量和与差的坐标分别等于这
两个向量相应坐标的和与差.
思考2:
思考2:
思考2:
一个向量的
坐标等于表示此
向量的有向线段
的终点坐标减去
始点的坐标.
思考2:
你能标出坐标为(x2 x1, y2 y1)的P点
吗？
思考2:
向量 的坐标与以原点为始点、
点P为终点的向量的坐标是相同的.
你能标出坐标为(x2 x1, y2 y1)的P点
吗？
讲解范例：
例2. 已知平面上三点的坐标分别为
A( 2, 1)， B(－1, 3)， C(3, 4)，求点
D的坐标使这四点构成平行四边形的
四个顶点.
讲解范例：
例3.
讲解范例：
练面向量的坐标运算.
课堂小结
阅读教材P.93到P.96；
2. 《习案》作业二十.
课后作业(共35张PPT)
主讲老师：陈震
2.3平面向量的基本
定理及坐标表示
复面向量基本定理：
复面向量基本定理：
复面向量基本定理：
(2)基底不惟一，关键是不共线；
复面向量基本定理：
(2)基底不惟一，关键是不共线；
复面向量基本定理：
(2)基底不惟一，关键是不共线；
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标运算
两个向量和与差的坐标分别等于这
两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个
实数乘原来向量的相应坐标.
平面向量的坐标运算
一个向量的坐标等于表示此向量的
有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
向量 的坐标与以原点为始点、
点P为终点的向量的坐标是相同的.
练习
思考
1. 两个向量共线的条件是什么
2. 如何用坐标表示两个共线向量
讲授新课
推导过程：
推导过程：
推导过程：
推导过程：
推导过程：
探究：
探究：
探究：
探究：
探究：
讲解范例
例2. 已知A( 1, 1)，B(1, 3)，C(2, 5)，
试判断A，B，C三点之间的位置关系.
讲解范例
例3.
讲解范例
例4.
讲解范例
讲解范例
例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、
P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点
P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点
时，求点P的坐标.
例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、
P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点
P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点
时，求点P的坐标.
讲解范例
思考.
(1)中P1P：PP2＝
(2)中P1P：PP2＝
若P1P：PP2＝ 如何求点P的坐标
练习
教材P.101练习第4、5、6、7题.
课堂小结
1. 平面向量共线的坐标表示；
2. 平面上两点间的中点坐标公式及
定点坐标公式；
3. 向量共线的坐标表示.
阅读教材P.98到P.100；
2. 《习案》作业二十二.
课后作业
课后思考
A. 6 B. 5 C. 7 D. 8
2. 若A(x, －1)，B(1, 3)，C(2, 5)三点共线，
则x的值为( )
A. －3 B. －1 C. 1 D. 3
课后思考
A. 1, 2 B. 2, 2 C. 3, 2 D. 2, 4
课后思考
6. 已知平行四边形ABCD四个顶点的坐
标为A(5, 7)，B(3, x)，C(2, 3)，D(4, x)，
则x= .
