(共35张PPT)
主讲老师：陈震
2.4.2平面向量数量积的
坐标表示、模、夹角
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
规定:
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
复习引入
3. 练习：
复习引入
3. 练习：
讲授新课
探究：
1. 平面两向量数量积的坐标表示:
两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和. 即
1. 平面两向量数量积的坐标表示:
两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和. 即
2.平面内两点间的距离公式:
2.平面内两点间的距离公式:
2.平面内两点间的距离公式:
那么
2.平面内两点间的距离公式:
那么
(平面内两点间的距离公式)
3.向量垂直的判定:
3.向量垂直的判定:
4.两向量夹角的余弦:
4.两向量夹角的余弦:
讲解范例:
例1. 已知A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)，
试判断△ABC的形状，并给出证明.
例2.
讲解范例:
例3.
讲解范例:
例3.
讲解范例:
评述：已知三角形函数值求角时，
应注重角的范围的确定.
练习：
1．教材P.107练习第1、2、3题.
练习：
1．教材P.107练习第1、2、3题.
2. 已知A(3，2)，B(－1，－1)，若点
在线段AB的中垂线上，则
x＝ .
课堂小结
2. 平面内两点间的距离公式:
3. 向量垂直的判定:
阅读教材P.106到P.107;
2. 《习案》作业二十四.
课后作业
课后思考:
以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角
△OAB，使 B=90 ，求点B和向量
的坐标.
2. 在△ABC中，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.(共11张PPT)
平面向量数量积习题课
当
K还有其他情况吗？若有，算出来。
要注意
分类讨论！
A
B
C
x
y
A
B
C
x
y
A
B
C
x
y
例1
例2: 已知两单位向量 的夹角为120 ，
若 求 夹角
的余弦值.
解： 是两个单位向量
说明：本题考查平面向量的数量积，向量的模及相关知识。
练习：
（ ）
A 锐角三角形
C 钝角三角形
D 不能确定
B 直角三角形
D
（ ）
C
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 不能确定(共55张PPT)
主讲老师：陈震
2.4.1平面向量数量积的
物理背景及其含义
复习引入
1. 两个非零向量夹角的概念：
复习引入
1. 两个非零向量夹角的概念：
复习引入
1. 两个非零向量夹角的概念：
O
B
A
复习引入
1. 两个非零向量夹角的概念：
O
B
A
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
2. 两向量共线的判定
复习引入
2. 两向量共线的判定
复习引入
2. 两向量共线的判定
3. 练习
复习引入
A.6 B.5 C.7 D.8
3. 练习
复习引入
A.6 B.5 C.7 D.8
C
3. 练习
复习引入
(2) 若A(x, －1)，B(1, 3)，C(2, 5)三点共
线，则x的值为( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
A.6 B.5 C.7 D.8
C
3. 练习
复习引入
(2) 若A(x, －1)，B(1, 3)，C(2, 5)三点共
线，则x的值为( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
A.6 B.5 C.7 D.8
C
B
复习引入
4. 力做的功：
复习引入
4. 力做的功：
W = |F| |s|cos ， 是F与s的夹角.
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
讲授新课
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
讲授新课
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
讲授新课
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
规定:
讲授新课
探究：
1. 向量数量积是一个向量还是一个数量
它的符号什么时候为正 什么时候为负
1. 向量数量积是一个向量还是一个数量
它的符号什么时候为正 什么时候为负
探究：
2. 两个向量的数量积与实数乘向量的积有
什么区别？
2. 投影的概念:
投影也是一个数量，不是向量.
O
B
A
B1
2. 投影的概念:
A
B
O
B1
当 为锐角时
投影为正值;
2. 投影的概念:
A
B
O
B1
A
B
O
B1
当 为锐角时
投影为正值;
当 为钝角时
投影为负值;
2. 投影的概念:
A
B
O
B1
当 为直角时
投影为0;
A
B
O
B1
A
B
O
(B1)
当 为锐角时
投影为正值;
当 为钝角时
投影为负值;
2. 投影的概念:
当 = 0 时投影为
当 = 180 时投影为
3.向量的数量积的几何意义:
4.两个向量的数量积的性质:
4.两个向量的数量积的性质:
4.两个向量的数量积的性质:
4.两个向量的数量积的性质:
4.两个向量的数量积的性质:
4.两个向量的数量积的性质:
5.平面向量数量积的运算律:
5.平面向量数量积的运算律:
(交换律)
5.平面向量数量积的运算律:
(交换律)
(数乘结合律)
5.平面向量数量积的运算律:
(交换律)
(数乘结合律)
(分配律)
讲解范例：
例1．证明：
讲解范例：
例2．
讲解范例：
例3．
讲解范例：
例4．
练习：
1．教材P.106练习第1、2、3题.
练习：
1．教材P.106练习第1、2、3题.
2．下列叙述不正确的是（ ）
向量的数量积满足交换律
B. 向量的数量积满足分配律
C. 向量的数量积满足结合律
D. 是一个实数
练习：
练面向量的数量积及其几何
意义;
2. 平面向量数量积的重要性质
及运算律;
3. 向量垂直的条件.
课堂小结
阅读教材P.103到P.105;
2. 《习案》作业二十三.
课后作业(共12张PPT)
广东仲元中学 ２００４年９月
问题１
说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点
(1) y=(x+2)2-1;
(2) y=-(x-2)2+2 ;
(3) y=a(x+h)2+k .
问题２
探索
探索
探索
实践探究 1
观察发现
１.二次函数y=ax2(a 0)的图像
２.a决定了图像的开口方向:
可由的y=x2图像各点纵坐标
变为原来的a倍得到
3.a决定了图像在同一直角坐标 系中的开口大小:
|a|越小图像开口就越大
a>o开口向上，a<0开口向下
巩固性训练一
.下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为
返回
(4),(2),(3),(1)
实践探究 2
观察发现
二次函数y=a(x+h)2+k (a 0),
a决定了二次函数图像的开口大小及方向；
而且“a正开口向上，a负开口向下”；
｜a｜越大开口越小；
h决定了二次函数图像的左右平移，
而且“h正左移，h负右移”；
k决定了二次函数图像的上下平移，
而且“k正上移，k负下移”。
巩固性训练二
１.将二次函数y=3x2的图像平行移动,顶 点移到（－３，２）
，则它的解析式为
2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小相同，
开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1，f(x)图像
的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为
Y=3(x+3) 2+2
Y=(x-3) 2+2
1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移变换，
可以得到y=3x2的图像.
2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单位，
再向下平移３个单位所得图像对应的函数
解析式为
发展性训练
右移2单位，下移4单位
Y=(x-2) 2 -2(x-2)-3=x 2 -6x+5= (x-3) 2 -4
小结
１.a,h,k对二次函数y=a(x+h) 2 +k图像的影响
２.y=x2 与y=a(x+h)2+k 的图像变换规律。
作业：
Ｐ５３，
Ａ组１，２，３（１）（４）
Ｂ组２(共16张PPT)
平面向量的数量积
引入:我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
θ
F
S
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。
两个非零向量a 和b ，作 ， ,则 叫做向量a 和b 的夹角．
O
A
B
a
b
O
A
B
b
a
若 ，a 与b 同向
O
A
B
b
a
若 a 与b 反向
O
A
B
a
b
若 ，a 与b 垂直，
记作
1.向量的夹角
练习1、如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
（2）AB与BC的夹角。
A
B
C
通过平移
变成共起点！
2.平面向量的数量积的定义
规定：零向量与任意向量的数量积为0，
即 0．
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
注意：
(1)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定
(2)a · b不能写成a×b
(3)向量的数量积与实数积的区别:
2）对于实数a、b、c（b≠0），若a · b=b · c，
则a=c , 对于向量a，b，c , 此式是否仍成立呢？
1) 对实数a≠0,若a · b=0，则b=0，但对向量a≠0时，若a · b=0 , 能不能推出b是零向量？
3）对于实数a、b、c，有（a · b） · c=a · （b · c）
但对于向量a，b，c来说，此式是否一定成立？
解：a·b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10。
1）已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。
2） 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 °= 2
例1:
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．
θ
s
F
过点B作
垂直于直线OA，垂足为 ，
则
| b | cosθ
O
A
B
a
b
O
A
B
a
b
| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
θ为直角时，
| b | cosθ=0
B
O
A
a
b
我们得到a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
例2、已知
与 的夹角为60°，
求：（1） 在 方向上的投影；
（2） 在 方向上的投影；
=2
=3
3.平面向量的数量积的重要性质:
a·b
|a||b|
（4）cosθ=
（5）|a·b|≤|a||b|
（3）当a与b同向时，a·b=|a||b|当a与b反向时，
a·b=－|a| |b|特别地，a·a =|a|2或|a|=√a·a 。
（2）a⊥b a·b=0
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
（1）e·a=a·e = |a| cosθ
1．若a=0，则对任一向量b ，有a · b=0
2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a · b≠0
3.若a≠0，a · b=0,则b=0
4.若a · b=0,则a · b中至少有一个为0
5.若a≠0，a · b= b · c,则a=c
6.若a · b= a · c ,则b≠c,当且仅当a=0时成立
7.对任意向量a , b ,c,有(a · b)·c≠a ·(b · c)
8.对任一向量a,有a2=|a|2
练习：判断正误
( √ ）
( × ）
( × ）
( × ）
( × ）
( × ）
( × ）
( √ ）
4、平面向量数量积的运算律
已知向量 和实数 ,
则向量的数量积满足：
（1）
（交换律）
（2）
（数乘结合律）
（3）
（分配律）
注意：数量积运算不满足结合律消去律
5、平面向量数量积的常用公式
求证：（1）
（2）
证明：（1）
（2）
例3(共11张PPT)
阅读与思考
1 、阅读教材 P50---52 止。
2、思考(1)y= ax2 +bx+c(a ≠0)的性质
条件 开口向 顶点 对称轴 单调性 最值 图像
a>0 上 （ ， ） X= 左减右增 Ymin=
a<0 下 左增右减
Ymax=
(,)
1. 求证：a<0时y=ax2 +bx+c在（ ,+∞)上是减小的。
2.教材p52例2、3
问题探究
归纳
1、二次函数的问题，结合图像可以更直观形象。
2、将y=ax2+bx+c配方得a(x+ )2+ 之后，就可通过a, , 直接得函数的主要性质，并依此画出图像。
1. 教材P53 ：T1、2、3、4.
2.函数y =4 x2 -mx+5的对称轴为x=-2
则x=1时y=____
a –7 b 1 c 17 d 25
3. y =-x2 -6x+k图像顶点在x轴上，k= ___________
-9
D
练习实践
y=f(x)的图像关于直线x=1对称，
当x ≤1时，y =x2+1;则x>1时，y=
_______
2. y=3x2-(2m+6)x+m+3的值域为 0， 〔 + ∞ ），则m的范围是（ ）
A｛–3,0 ｝ B〔–3,0 〕 C (–3,0) D φ
思考交流
X2-4X+5
a
3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆车营运的总利润Y(万元)与营运年数X(X∈ N+)为二次函数关系，每辆车营运多少年时可使营运年平均利润最大（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
6
11
4
7
C
1、菊花烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般期望它达到最高点（大约距地25到30米）爆炸，如果在距地18米处点火，且烟花冲出的速度是14.7米/秒。
（1）写出烟花距地高度与时间的关系式。
（2）烟花冲出后何时是它爆炸的最佳时刻？这时距地高度是多少？
拓展练习
2、（2002河南两广高考）已知a>0,f(x)=ax-bx2.
(1)b>0时，若对任意x ∈ R都有f(x)≤ 1,证明a≤ 2 .
(2)b>1时，证明 对任意 x ∈［ 0,1 ］, │ f(x) │≤1的充要条件是b-1 ≤ a ≤ 2
(3)01. 二次函数的几大性质
2.二次函数的几大性质的应用
小结
教材P54：A 6、8、9
B 1
作业
