(共10张PPT)
平面向量应用举例
2.5.1平面几何中的向量方法
平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
A
B
C
D
猜想：
1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
A
B
D
C
已知：平行四边形ABCD。
求证：
解：设 ，则
∴
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；常设基底向量或建立向量坐标。
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
例2 如图，平行四边形 ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
A
B
C
D
E
F
R
T
猜想：
AR=RT=TC
又因为 共线，
所以设
因为
所以
A
B
C
D
E
F
R
T
解：设 则
由于 与 共线，故设
线，
故AT=RT=TC
A
B
C
D
E
F
R
T
练习1、证明直径所对的圆周角是直角
A
B
C
O
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
量 ，即 。
解：设
则 ，
由此可得：
即 ，得 ∠ACB=90°
思考：能否用向量
坐标形式证明？
练行四边形ABCD中,E为AB的中点,
用向量方法,求EF:FD的值
(可选 为基底)
A
B
C
D
E
F
简解:设
又因为A、F、C共线，可设
由向量相等知识得
所以EF：FD=1：2(共7张PPT)
2.5.2 向量在物理中的应用举例
例1.日常生活中,我们有时要用同样长的两根绳子挂一个物体(如图).如果绳子的最大拉力为F,物体受到的重力为G。你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力F1的大小与两绳之间的夹角θ的关系？
例2：一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到对岸。已知船的速度=10km/h,水流速度 =2km/h。
(1)行驶航程最短时，所用时间是多少？方向怎样？（精确到0.1min）
(2)行驶时间最短时，船应怎样的方向航行？
例3.一小船位于d=60m宽的河岸边P处，距P处下游L=80m的Q处的河床陡然下降形成瀑布，若河水流速方向是从上游到下游且与河岸平行，水流速度大小为5m/s，为使小船安全渡河，船速不能小于多少？
练习1：三个力 在同一平面，同
时作用于一个点，且处于平衡状态，已知
的夹角为1350， 的夹角为
1200， =2N，求 。
练习2．已知一物体按向量 =（3，4）方向以大小为10m/s的速度前进了30s，物体由于受外力的作用，速度大小不变，方向改为 =（0，1），又前进了30s，求这段时间内物体的平均速度的大小。(共18张PPT)
主讲老师：陈震
2.5.2向量在物理
中的应用举例
《习案》作业二十五的第4题.
复习引入
复习引入
你能掌握物理中的哪些矢量？
向量运算的三角形法则与四边形
法则是什么？
例1. 在日常生活中，你是否有这样的经
验：两个人共提一个旅行包，夹角越大
越费力；在单杠上做引体向上运动，两
臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角
度解释这种形象吗？
讲解范例:
例1. 在日常生活中，你是否有这样的经
验：两个人共提一个旅行包，夹角越大
越费力；在单杠上做引体向上运动，两
臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角
度解释这种形象吗？
探究1：
(1) 为何值时，|F1|最小，最小值是多少
讲解范例:
例1. 在日常生活中，你是否有这样的经
验：两个人共提一个旅行包，夹角越大
越费力；在单杠上做引体向上运动，两
臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角
度解释这种形象吗？
探究1：
(1) 为何值时，|F1|最小，最小值是多少
(2)|F1|能等于|G|吗 为什么
讲解范例:
你能总结用向量解决物理问题的一
般步骤吗
探究2:
你能总结用向量解决物理问题的一
般步骤吗
探究2:
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学
问题；
你能总结用向量解决物理问题的一
般步骤吗
探究2:
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学
问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数
学模型；
你能总结用向量解决物理问题的一
般步骤吗
探究2:
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学
问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数
学模型；
(3)参数的获得：求出数学模型的有关解
——理论参数值；
你能总结用向量解决物理问题的一
般步骤吗
探究2:
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学
问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数
学模型；
(3)参数的获得：求出数学模型的有关解
——理论参数值；
(4)问题的答案：回到问题的初始状态，
解决相关物理现象.
例2. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度
d＝500 m，一艘船从A处出发到河对岸.
已知船的速度|v1|＝10 km/h，水流速度
|v2|＝2 km/h，问行驶航程最短时，所用
时间是多少（精确到0.1 min）？
讲解范例:
A
C
D
B
思考:
1. “行驶最短航程”是什么意思？
2. 怎样才能使航程最短？
例3.
讲解范例:
课堂小结
两角差的余弦公式：
两角差的余弦公式，
首先要认识公式结构的特征，了解
公式的推导过程，熟知由此衍变的两角
和的余弦公式.在解题过程中注意角 、
的象限，也就是符号问题，学会灵活
运用.
课堂小结
向量解决物理问题的一般步骤:
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学
问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数
学模型；
(3)参数的获得：求出数学模型的有关解
——理论参数值；
(4)问题的答案：回到问题的初始状态，
解决有相关物理现象.
阅读教材P.111到P.112;
2. 《习案》作业二十六.
课后作业(共31张PPT)
主讲老师：陈震
2.5.1平面几何中
的向量方法
复习引入
1. 两个向量的数量积：
复习引入
1. 两个向量的数量积：
复习引入
1. 两个向量的数量积：
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
复习引入
1. 两个向量的数量积：
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
复习引入
1. 两个向量的数量积：
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
3. 向量平行与垂直的判定:
复习引入
1. 两个向量的数量积：
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
3. 向量平行与垂直的判定:
复习引入
1. 两个向量的数量积：
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
3. 向量平行与垂直的判定:
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
5. 求模：
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
5. 求模：
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
5. 求模：
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
5. 求模：
练习
教材P.106练习第1、2、3题.
教材P.107练习第1、2题.
例1. 已知AC为⊙O的一条直径，
∠ABC为圆周角.
求证：∠ABC＝90o.
讲授新课
例2. 如图，AD，BE，CF是△ABC
的三条高.
求证： AD，BE，CF相交于一点.
讲解范例：
B
D
A
C
F
E
H
例3. 平行四边形是表示向量加法与减法
的几何模型.
如图，
你能发现平行四边形对角线的长度与两
条邻边长度之间的关系吗？
A
B
C
D
讲解范例：
例3. 平行四边形是表示向量加法与减法
的几何模型.
如图，
你能发现平行四边形对角线的长度与两
条邻边长度之间的关系吗？
A
B
C
D
思考1：
如果不用向量
方法，你能证明上
述结论吗？
讲解范例：
运用向量方法解决平面几何问题可
以分哪几个步骤？
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可
以分哪几个步骤？
“三步曲”：
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可
以分哪几个步骤？
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量
表示问题中涉及的几何元素，将平面几
何问题转化为向量问题；
“三步曲”：
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可
以分哪几个步骤？
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量
表示问题中涉及的几何元素，将平面几
何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的
关系，如距离、夹角等问题；
“三步曲”：
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可
以分哪几个步骤？
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量
表示问题中涉及的几何元素，将平面几
何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的
关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
“三步曲”：
思考2：
讲解范例：
例4．如图，□ ABCD中，点E、F分别
是AD、DC边的中点，BE、 BF分别与
AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、
TC之间的关系吗？
A
B
C
D
E
F
R
T
讲解范例：
例4．如图，□ ABCD中，点E、F分别
是AD、DC边的中点，BE、 BF分别与
AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、
TC之间的关系吗？
A
B
C
D
E
F
R
T
课堂小结
用向量方法解决平面几何的“三步曲”：
课堂小结
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量
表示问题中涉及的几何元素，将平面几
何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的
关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
用向量方法解决平面几何的“三步曲”：
阅读教材P.109到P.111;
2. 《习案》作业二十五.
课后作业
