北京市房山区2021-2022学年高二上学期期中学业水平调研数学试题（Word版，含答案）

房山区2021—2022学年度第一学期期中学业水平调研
高二数学
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，则平面ABC的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行六面体中，（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面直角坐标系中，四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA所在的直线分别为，，，，如图所示，它们的斜率分别为，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，分别是直线，的方向向量，那么“，不平行”是“，异面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．平行直线：与：之间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
7．若直线平分圆的周长，则a的值为（ ）
A．6 B． C．2 D．
8．若圆：与圆：外切，则（ ）
A． B．16 C．21 D．9
9．如图，在棱长为1的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离（ ）
A．等于 B．和EF的长度有关
C．等于 D．和点Q的位置有关
10．已知平面内一点，若直线l上存在点P，使，则称该直线为点的“2域直线”，下列直线中不是点的“2域直线”的是（ ）
A． B．
C． D．
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11．复数的实部是______．
12．若复数是纯虚数，则实数______．
13．已知点P是圆心为，半径为1的圆上一点，点P到原点的距离的最小值为______．
14．在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为______．
15．已知点在直线上，当时，的取值范围是______．
16．如图，在正方体中，点E，F分别是棱，上的动点．
给出下面四个命题：
①点B，D到平面ACE的距离相等；
②点E，F到直线AC的距离相等；
③直线AF与直线CE所成角的最大值是；
④平面CDF与平面ACE所成角的最大值是．
其中，真命题的序号为______．
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（本小题14分）
如图，在复平面内，复数z对应的点为A．
（Ⅰ）写出复数z及的值；
（Ⅱ）若，求，并在复平面内标出对应的点B．
18．（本小题14分）
已知直线：，：，：．其中直线，的交点为．
（Ⅰ）求点a与b的值；
（Ⅱ）求过点M且与直线平行的直线方程；
（Ⅲ）求过点M且与直线垂直的直线方程．
19．（本小题14分）
如图，在棱长为1的正方体中，点M是BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线到平面的距离；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题14分）
已知圆M的圆心坐标为，圆上一点．
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）求过点A的圆的切线方程；
（Ⅲ）若在圆M上存在两点P，Q，使得四边形MAPQ为菱形，求直线PQ的方程．
21．（本小题14分）
如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求平面PDC与平面PBC所成角的余弦值；
（Ⅲ）若PB的中点为M，判断直线AM与平面PDC是否相交，如果相交，求出P到交点H的距离．
房山区 2021-2022 学年度第一学期期中学业水平调研
高二数学参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C C B A B D A C
二、填空题（每小题5分，共30分）
（11）； （12）； （13） （14） （15）
（16）①，③，④ (含②得0分，部分得3分，全对得5分)
三、解答题（共5小题，共70分）
（17）（本小题14分）7，7
解：（Ⅰ）复数=， ┄┄┄4分
┄┄┄3分
（Ⅱ）┄┄┄4分
对应的点，如图所示.┄┄┄3分
（18）（本小题14分）4，5，5
解：（Ⅰ）因为直线，的交点为.
所以 ┄┄┄2分
解得 ┄┄┄2分
（Ⅱ）解法一：直线的方程可化为：，
所以 ┄┄┄2分
设过点且与直线平行的直线方程为，┄┄┄1分
因为所求直线过点，所以，解得，
所以，过点且与直线平行的直线方程为，
即. ┄┄┄2分
解法二：设过点且与直线平行的直线方程为┄┄┄3分
因为所求直线过点，所以，解得.
所以，为所求直线方程. ┄┄┄2分
（Ⅲ）解法一：因为直线的方程可化为：，所以
设过点且与直线垂直的直线方程为.┄┄┄3分
因为所求直线过点，所以，得，
所以过点且与直线垂直的直线方程为:，
即. ┄┄┄2分
解法二：设过点且与直线垂直的直线方程为.┄┄┄3分
因为所求直线过点，所以，解得.
所以，为所求直线方程.┄┄┄2分
（19）（本小题14分）4，6，4
解：坐标系┄ ┄ ┄1分
（Ⅰ）连结交于点，连结，
因为四边形为正方形，所以是中点
是的中点， ┄ ┄ ┄中点1分（或者坐标）
. ┄ ┄ ┄线线平行1分（或者点积为0）
又平面，平面，┄ ┄ ┄不在面内1分
平面. ┄ ┄ ┄结论1分
（Ⅱ）因为两两互相垂直，以为坐标原点，以的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
，，.
设平面的一个法向量为，则
令，则得，此时.┄ ┄ ┄法向量2分
平面，
直线到平面的距离即为点到平面的距离. ┄ ┄ ┄1分(无，不扣)
. ┄ ┄ ┄公式1分
线到平面的距离为. ┄ ┄ ┄结论1分
（Ⅲ） ┄ ┄ ┄直线1分
. ┄ ┄ ┄公式1分
设直线与平面所成角为，
┄ ┄ ┄公式1分
直线与平面所成角的正弦值为. ┄ ┄ ┄结论1分
（20）（本小题14分）4，5，5
解：（Ⅰ）由题意可得圆的半径， ┄ ┄ ┄2分
所以圆的标准方程为； ┄ ┄ ┄2分
（Ⅱ）方法一：过圆心和切点的直线的斜率， ┄ ┄ ┄2分
因为过点的圆的切线与直线垂直，所以圆的切线斜率为，
所以直线的点斜式直线方程为：， ┄ ┄ ┄2分
即为所求直线方程. ┄ ┄ ┄1分
方法二：如果切线的斜率不存在，则切线方程为，不符合题意. ┄ ┄ ┄1分
所以，所求切线的斜率存在，设过点的圆的切线方程为；
依题意得 ┄ ┄ ┄2分
解得： ┄ ┄ ┄1分
所以过点的圆的切线方程为
即 ┄ ┄ ┄1分
（Ⅲ）因为四边形为菱形，所以，┄ ┄ ┄2分
可设直线的方程为.
又因为四边形为菱形，
所以是边长为的等边三角形，，
所以圆心到直线的距离，┄ ┄ ┄2分
解得，
所以直线的方程为，即. ┄ ┄ ┄1分
（21）（本小题14分）4，4，6
解：（Ⅰ），，，，
,.
在中，由余弦定理得.
.. ┄ ┄ ┄1分
又，.
. ┄ ┄ ┄1分
又，. ┄ ┄ ┄1分
，. ┄ ┄ ┄1分
解法二： ┄ ┄ ┄1分
┄ ┄ ┄1分
┄ ┄ ┄1分
. ┄ ┄ ┄1分
（Ⅱ）取中点，连结.
，，，，
.
四边形是平行四边形.
，.，.
以为坐标原点，以的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ┄ ┄ ┄1分
则，，，，.
，，.
设平面的一个法向量为，则
令，则得，此时 ┄ ┄ ┄1分
设平面的一个法向量为，则
令，则得，此时. ┄ ┄ ┄1分
.
设平面与平面所成角为，
平面与平面所成角的余弦值为. ┄ ┄ ┄1分
（Ⅲ），，.
. ┄ ┄ ┄1分
直线与平面相交. ┄ ┄ ┄1分
设，所以.
. ┄ ┄ ┄1分
， ┄ ┄ ┄1分
. ┄ ┄ ┄1分
，
到交点的距离为1. ┄ ┄ ┄1分
解法二：
在平面中，作. ┄ ┄ ┄1分
， ┄ ┄ ┄1分
. ┄ ┄ ┄1分
所以是平面与平面的交线┄ ┄ ┄1分
在平面中，，就是直线与平面的交点，┄ ┄ ┄1分
是正方形，，到交点的距离为1. ┄ ┄ ┄1分