§4 一元二次函数与一元二次不等式题组训练-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册 第一章（Word含答案解析）

§4　一元二次函数与一元二次不等式
基础过关练
题组一　 一元二次函数的图象与性质
1. (2020江西临川二中月考)已知函数y=ax2+bx+c的图象如图,则此函数的解析式可能为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=x2-x-3 B.y=x2-x+3
C.y=-x2+x-3 D.y=-x2-x+3
2.函数y=ax+1(a≠0)与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是(　　)
3.(2019安徽安庆一中月考)若二次函数y=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1]上的函数值y随自变量x的增大而减小,则(　　)
A.a<-2 B.a≤-2 C.a>-2 D.a≥-2
4.(2019广东韶关期中)若函数y=ax2+2x-4的图象位于x轴下方,则a的取值范围是　　　　.
5.(2020湖南长沙长郡中学检测)由函数y=2(x-1)2+1的图象通过怎样的变换可以得到函数y=x2的图象
题组二　解一元二次不等式
6.(2020宁夏银川六中期中)已知集合A={x∈N|-1A.{-1,0,1,2,3} B.{0,1,2,3}
C.{x|-1≤x≤3} D.{x|-1≤x<5}
7.不等式组的解集是(　　)
A.(2,3) B.∪(2,3)
C.∪(3,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)
8.(2020山东临沂蒙阴实验中学月考)不等式-x2-3x+4>0的解集为　　　　.
9.(2020北京八十中期中)若“x2-2x-3>0”是“x10.若不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|3题组三　 一元二次不等式的应用
11. (2020广东揭阳三中月考)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是　　　　.
12.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体形状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价为40元,两侧墙砌砖,每米长造价为45元,顶部每平方米造价为20元.
(1)仓库面积S的最大允许值是多少
(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长
能力提升练
题组一　一元二次函数的图象、性质及其应用
1.(2020山东淄博一中期中,)如果函数y=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上的函数值y随x的增大而减小,那么实数a的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0C.a≥ D.a≥
2.(2019广东揭阳三中月考,)已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是(　　)
3. (2019安徽安庆一中期中,)设b>0,若二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列图象中的一个,则a的值为(　　)
A.1 B.-1 C.±1 D.-±
题组二　解一元二次不等式
4.(2020辽宁省实验中学月考,)已知集合A={x|x2-x-2>0},则 RA=(　　)
A.{x|-1C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
5.(2020河北辛集中学段考,)不等式x2-x-2≥0和x2-(2a+1)x+a2+a>0的解集分别为A和B,且A B,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.[0,1] C.[-1,1] D.(-1,1)
6.(2020辽宁六校协作体联考,)若关于x的不等式ax0的解集为　　　　.
7.(2020山东济宁二中月考,)(1)求关于x的一元二次不等式x2-x-a(a+1)>0的解集;
(2)求关于x的不等式<0的解集.
题组三　一元二次函数及一元二次不等式的应用
8.(2020山东枣庄期中,)经观测,某段公路在某时间段内的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间满足函数关系y=(v>0).
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量y最大 最大车流量为多少 (精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时,汽车的平均速度应控制在什么范围内
9.(2019湖北重点高中联考协作体期中,)某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 200元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加50元时(租金增减为50元的整数倍),未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车
(2)设租金为(3 200+50x)元/辆(x∈N),用x表示租赁公司的月收益y(单元:元);
(3)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大 最大月收益是多少
答案全解全析
基础过关练
1.A　由题图可知,抛物线开口向上,a>0,排除C、D;顶点的横坐标x=->0,故b<0;图象与y轴交于负半轴,故c<0,排除B.故选A.
2.C　当a>0时,函数y=ax2+bx+1的图象开口向上,y=ax+1的函数值y随x的增大而增大,且图象过点(0,1),排除D;当a<0时,函数y=ax2+bx+1的图象开口向下,y=ax+1的函数值y随x的增大而减小,且图象过点(0,1),排除A、B.故选C.
3.B　由题意,得-≥1,解得a≤-2.
4.答案　a<-
解析　依题意,得解得a<-.
5.解析　将函数y=2(x-1)2+1的图象向左平移1个单位长度,得到函数y=2x2+1的图象,再向下平移1个单位长度,得到函数y=2x2的图象,然后横坐标不变,纵坐标缩短为原来的,得到函数y=x2的图象.
6.B　由于x∈N,故A={0,1,2,3,4},由(x+1)(x-3)≤0,解得-1≤x≤3,故B={x|-1≤x≤3},所以A∩B={0,1,2,3}.故选B.
7.B　∵x2-4x+3<0,∴10,∴(x-2)(2x-3)>0,∴x<或x>2.
∴原不等式组的解集为∪(2,3).
8.答案　(-4,1)
解析　原不等式可化为x2+3x-4<0,解得-49.答案　-1
解析　由x2-2x-3>0得x<-1或x>3.∵“x2-2x-3>0 ”是“x10.解析　由题意知ax2+bx-1=0的两根为3,4,且a≠0,
由根与系数的关系知
解得
11.答案　20
解析　由题意得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,
解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),
所以x≥20,故x的最小值为20.
12.解析　(1)设铁栅长为x米,一侧砖墙长为y米,则顶部面积S=xy.由题意,知40x+2×45y+20xy≤3 200,由基本不等式,得
3 200≥2 +20xy=120+20xy
=120+20S(当且仅当40x=90y时取“=”),
∴S+6-160≤0,即(-10)(+16)≤0,∴-16≤≤10.由题意知>0,
故0<≤10,从而0故仓库面积S的最大允许值是100.
(2)S取得最大值100的条件是40x=90y,且xy=100,解得x=15,即正面铁栅应设计为15米.
能力提升练
1.B　当a=0时,y=-2x+2,满足题意;
当a≠0时,必有解得0综上,实数a的取值范围是0≤a≤.故选B.
2.D　∵a>b>c且a+b+c=0,∴a>0,c<0.故函数图象开口向上,且与y轴相交于负半轴,故选D.
3.B　从左向右数,由第一个函数图象与第二个函图象,知函数图象与x轴的两个交点为对称点,则两根之和为0.已知x1+x2=-≠0,故可排除.由第三个函数图象与第四个函数图象,知一个根为0,另一个根为正数,即x1+x2=->0,又b>0,∴a<0,图象开口向下,应为第三个图象.由图象过原点(0,0),得a2-1=0,解得a=-1或a=1(舍去).故选B.
4.B　∵A={x|x2-x-2>0}={x|(x+1)(x-2)>0}={x|x<-1或x>2},
∴ RA={x|-1≤x≤2}.
5.D　由已知得A={x| x≤-1或x≥2},B={x|xa+1}.若A B,则故-16.答案　-2;(-1,3)
解析　∵关于x的不等式ax(-2,+∞),∴a<0,且=-2.
不等式ax2+bx-3a>0两边同除以a得x2+x-3<0, 即x2-2x-3<0,
∴(x+1)(x-3)<0,解得-17.解析　(1)∵x2-x-a(a+1)>0,
∴(x+a)[x-(a+1)]>0.
令(x+a)[x-(a+1)]=0,得x1=-a,x2=a+1.
①当a>-时,a+1>-a,解集为{x|x<-a或x>a+1};
②当a=-时,a+1=-a=,解集为;
③当a<-时,a+1<-a,解集为{x|x-a}.
(2)原不等式可化为(ax-1)(x+1)<0.
当a=0时,-(x+1)<0,∴x>-1.
当a>0时,(x+1)<0,∵>-1,
∴-1当a<0时,(x+1)>0.
若-1-1或x<;
若a=-1,则(x+1)2>0,∴x≠-1;
若a<-1,则>-1,∴x>或x<-1.
综上,当-1当a=-1时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当a<-1时,原不等式的解集为;
当a=0时,原不等式的解集为{x|x>-1};
当a>0时,原不等式的解集为.
8.解析　(1)y==≤=≈11.08,
当且仅当v=,即v=40时,车流量最大,最大车流量为11.08千辆/时.
(2)根据题意有≥10,
化简得v2-89v+1 600≤0,即(v-25)(v-64)≤0,
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内.
9.解析　(1)由题意得=8,100-8=92,即能租出92辆车.
(2)y=(3 200+50x)(100-x)-150(100-x)-50x=-50x2+1 900x+305 000(x∈N).
(3)由(2)知y=-50(x-19)2+323 050,当x=19时,y最大=323 050,3 200+50×19=
4 150,∴当每辆车的月租金定为4 150元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是323 050元.