§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 题组训练-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册 第二章（Word含答案解析）

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
基础过关练
题组一　幂函数的概念
1.(2020河南省实验中学期中)已知α∈,若f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,则实数α的取值是(　　)
A.-1,3 B.3,
C.-1,3, D.,3,
2.(2019安徽芜湖一中期中)在函数y=,y=2x2,y=(x+1)2,y=3x中,幂函数的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2018福建宁德期末)若幂函数f(x)的图象经过点,则f(x)的定义域为(　　)
A.R B.(-∞,0)∪(0,+∞)
C.[0,+∞) D.(0,+∞)
4.(2020浙江温州十五校联考)已知幂函数y=xn的图象经过点(3,27),则此幂函数的解析式是　　　　.
5.(2020天津部分区期末)若幂函数f(x)的图象经过点(2,4),则f(3)=　　　　.
题组二　函数的奇偶性
6.(2020北京八十中期中)如图,给出了奇函数f(x)的局部图象,那么f(1)等于(　　)
A.-4 B.-2 C.2 D.4
7.(2020山西长治二中期中)已知函数f(x)=ax2+bx+3是定义在[a-3,2a]上的偶函数,则a+b的值是(　　)
A.-1 B.1 C.-3 D.0
8.(2020广东揭阳三中月考)下列函数中,既是奇函数又是减函数的是(　　)
A.y=x+1 B.y=-x3 C.y= D.y=x|x|
9.(2018湖北宜昌一中期末)函数y=的图象是(　　)
10.(2018河北石家庄一中高一期中)设α∈,则使幂函数y=xα定义域为R且为奇函数的所有α的值为(　　)
A.-1,1,3 B.-1,1 C.1,3 D.-1,3
11.(2020广东江门期末)若函数f(x)=x2+(a-2)x+3a是偶函数,则(1)常数a=　　　　;
(2)函数f(x)的值域是　　　　(用区间表示).
12.(2019安徽池州一中月考)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x;
(2)f(x)=.
题组三　幂函数的性质及综合应用
13.(2020北京八十中期中)如果幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,4),则f(x)在定义域内(　　)
A.为增函数 B.为减函数
C.有最小值 D.有最大值
14.(2020江苏扬州期末)已知幂函数f(x)=(m2-3)x-m在区间(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为(　　)
A. B.±2 C.2 D.-2
15.(2019浙江宁波镇海中学期中)已知实数a,b满足等式=,下列五个关系式:①016.(2019广东中山一中期中)已知幂函数f(x)=(m∈N*).
(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;
(2)若函数f(x)的图象经过点(2,),试确定m的值,并求满足f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.
能力提升练
题组一　幂函数的性质及应用
1.(2020江西新余六中期中,)若幂函数y=(m2-2m-2)的定义域为{x∈R|x≠0},则m的取值是(　　)
A.-1≤m≤3 B.m=-1或m=3
C.m=-1 D.m=3
2.(2020广东揭阳惠来一中期中,)函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,则实数m等于(　　)
A.3或-2 B.-2
C.3 D.-3或2
3.(多选)(2019山东济南历城二中期中,)对幂函数f(x)=,以下结论正确的是(　　)
A.f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R}
B.f(x)的值域是(0,+∞)
C.f(x)的图象只在第一象限
D.f(x)在(0,+∞)上递减
4.(2020广东深圳科学高中期中,)已知幂函数f(x)的图象经过点(3,),且满足条件f(-a)>f(a+1),则实数a的取值范围是　　　　.
5.(2019江苏南通期末,)已知幂函数y=m2x2m+1在(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为　　　　.
题组二　利用函数奇偶性解不等式、比较大小
6.(2019湖北襄阳襄州一中等四校期中,)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,如果f(|x|)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
7.(2020江西南昌三校联考,)已知函数f(x)为偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,若f(-3)=-2,则不等式f(x)≥-2的解集为(　　)
A.[-3,0] B.[-3,3]
C.[-3,+∞) D.(-∞,-3]∪[3,+∞)
8.(2020江西景德镇一中期中,)函数f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,若f(-1)=-1,f(2)=1,则满足-1A.(-2,2) B.(-1,1)
C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-2,-1)
9.(多选)(2019山东淄博实验中学期中,)已知偶函数y=f(x)在[0,5]上是增函数,则下列结论正确的是(　　)
A.f(-3)>f(-π) B.f(-3)C.f(0)>f(4) D.f(0)10.(2020黑龙江漠河高一期末,)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,若f(1)=0,则不等式x·f(x)≤0的解集为(　　)
A.{x|x≤-1或x≥1}
B.{x|x≤-1或x≥1或x=0}
C.{x|-1D.{x|-1≤x≤1}
11.(2020福建厦门同安一中期中,)已知y=f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数,它们的定义域均为[-3,3],且在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<0的解集是　　　　.
12.(2020吉林省实验中学月考,)若f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(x)为增函数,求不等式f(x)+f<0的解集.
题组三　利用函数奇偶性求函数解析式、函数值
13.(2019广东广州华南师大附中期中,)已知f(x)是定义在(a-2,a)上的奇函数,则f(0)+a的值为(　　)
A.0 B.1 C.-1 D.2
14.(2019湖南长沙长郡中学期末,)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
15.()已知函数f(x)=ax5+bx3+cx+8,且f(-2)=10,则函数f(2)的值是　　　.
16.()已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x2+2x.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上是单调的,试确定a的取值范围.
题组四　函数性质的综合应用
17.(多选)(2020江苏南京师大附中期末,)对于定义在R上的函数f(x),下列判断错误的是(　　)
A.若f(-2)>f(2),则函数f(x)在定义域R上单调递增
B.若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数
C.若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数
D.若函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,在区间(0,+∞)上也单调递增,则f(x)在定义域R上单调递增
18.()设函数y=f(x)是定义在R上的减函数,且对任意的x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),已知f(4)=2.
(1)求证:y=f(x)是奇函数;
(2)解不等式f(3x+1)-4>f(x+3).
19.(2020江苏大丰新丰中学期中,)函数f(x)=为R上的奇函数,且f=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(x)≤m2-在区间[2,4]上恒成立,求实数m的取值范围.
20.(2020安徽安庆一中期中,)已知函数f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x3.
(1)求x<0时f(x)的解析式;
(2)解关于x的不等式f(x+1)≥8f(x).
答案全解全析
基础过关练
1.B　若f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,则α=3或,故选B.
2.B　y==x-2是幂函数;y=2x2,y=3x,y=(x+1)2不是y=xα的形式,故不是幂函数.
3.D　设f(x)=xα,则=2α,即2α=,∴α=-,∴f(x)==,其定义域为(0,+∞),故选D.
4.答案　y=x3
解析　将点(3,27)代入y=xn,得3n=27 n=3,则y=x3,故答案为y=x3.
5.答案　9
解析　设f(x)=xα,则有4=2α,α=2,即f(x)=x2,所以f(3)=9.
6.B　由函数图象可得f(-1)=2,又函数为奇函数,则f(1)=-f(-1)=-2,故选B.
7.B　∵函数f(x)=ax2+bx+3是定义在[a-3,2a]上的偶函数,
∴a-3+2a=0,解得a=1,由f(x)=f(-x)得b=0,∴a+b=1,故选B.
8.B　由-x+1≠-(x+1),所以函数y=x+1不是奇函数,排除A;
由-(-x)3=x3,得y=-x3是奇函数,又y=-x3是减函数,故B正确;
由=-,得y=是奇函数,但是y=在定义域内不是减函数,故排除C;
由-x|-x|=-x|x|,得y=x|x|是奇函数,又y=x|x|=显然单调递增,排除D.故选B.
9.A　∵y==,∴该函数的定义域为R,且为偶函数,由>1知y=在第一象限内的图象与y=x2的图象类似,故选A.
10.C　当α=-1时,幂函数y=x-1的定义域为{x|x∈R,且x≠0},不符合题意;当α=1时,幂函数y=x的定义域为R且为奇函数,符合题意;当α=时,幂函数y=的定义域为[0,+∞),不符合题意;当α=3时,幂函数y=x3的定义域为R且为奇函数,符合题意.故选C.
11.答案　(1)2　(2)[6,+∞)
解析　(1)由函数f(x)=x2+(a-2)x+3a的定义域为R,且为偶函数,得f(x)=x2+(a-2)x+3a=f(-x)=x2-(a-2)x+3a,解得a=2.
(2)由(1)得f(x)=x2+6,则f(x)=x2+6≥6,即函数f(x)的值域为[6,+∞).
12.解析　(1)∵2x-1≠0,∴x≠0.∴函数f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(-x)=-x
=-x
=x
=x
=x
=x=f(x),∴函数f(x)是偶函数.
(2)由得
故f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],
关于原点对称.
在定义域上,显然x+2>0,故f(x)===.
又f(-x)==-=-f(x),因此f(x)是奇函数.
13.C　∵幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,4),∴f(2)=2α=4,解得α=2,∴f(x)=x2,∴f(x)在x∈(-∞,0]递减,在x∈[0,+∞)递增,有最小值,无最大值.
14.D　因为f(x)为幂函数,所以m2-3=1,所以m=±2,当m=2时,f(x)=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,不符合题意;当m=-2时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增,符合题意.故选D.
15.答案　①③⑤
解析　画出y=与y=(x>0)的图象(如图),设==m,作直线y=m.
从图象知,若m=0或1,则a=b;
若0若m>1,则1故其中可能成立的是①③⑤.
16.解析　(1)∵m∈N*,∴m2+m=m×(m+1)为偶数.
令m2+m=2k,k∈N*,则f(x)=,
∴f(x)的定义域为[0,+∞),f(x)在[0,+∞)上为增函数.
(2)由题意可得==,∴m2+m=2,解得m=1或m=-2(舍去),∴f(x)=,
由(1)知f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,
∴f(2-a)>f(a-1)等价于2-a>a-1≥0,解得1≤a<.故实数a的取值范围为.
能力提升练
1.D　由已知得
∴∴m=3.故选D.
2.C　因为函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,所以m2-m-5=1,解得m=3或m=-2,当m=3时,函数f(x)=x2,满足x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数;当m=-2时,函数f(x)=x-3,满足x∈(0,+∞)时,f(x)是减函数,故选C.
3.BCD　对幂函数f(x)==:
(1)f(x)的定义域是{x|x>0,x∈R},因此A不正确;
(2)f(x)的值域是(0,+∞),B正确;
(3)f(x)的图象只在第一象限,C正确;
(4)f(x)在(0,+∞)上递减,D正确.
4.答案　
解析　设f(x)=xα,则3α=,α=,即f(x)=,若f(-a)>f(a+1),则
解得-1≤a<-.
5.答案　-1
解析　由已知,得m2=1,解得m=1或m=-1.当m=1时,2m+1=3,此时,y=x3在(0,+∞)上是增函数,不合题意;当m=-1时,2m+1=-1,此时,y=x-1在(0,+∞)上是减函数,故m=-1.
6.A　根据题意,偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,
则f(|x|)即x的取值范围为,故选A.
7.B　由于函数y=f(x)是偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,则该函数在区间[0,+∞)上单调递减,且有f(x)=f(|x|),
∵f(-3)=-2,由f(x)≥-2,得f(x)≥f(-3),则有f(|x|)≥f(3),∴|x|≤3,
解得-3≤x≤3,因此,不等式f(x)≥-2的解集为[-3,3],故选B.
8.C　因为f(x)是偶函数,所以f(|x|)=f(x),因为f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,因为f(-1)=-1,f(2)=1,
所以-1所以1<|x|<2 19.BD　∵函数y=f(x)为偶函数,∴f(-3)=f(3),f(-4)=f(4),f(-π)=f(π).
又∵f(x)在[0,5]上为增函数,
∴f(3)即f(-3)10.B　构造函数y=g(x)=xf(x),∵函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴g(-x)=-x·f(-x)=-x·[-f(x)]=xf(x)=g(x),∴函数y=g(x)为偶函数.
由于g(0)=0,当x>0时,由x·f(x)≤0可得f(x)≤0,
∵函数y=f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,且f(1)=0,由f(x)≤0=f(1),可得x≥1.
∵函数y=g(x)为偶函数,∴g(x)=xf(x)≤0在区间(-∞,0)上的解集为{x|x≤-1}.
因此,不等式x·f(x)≤0的解集为{x|x≤-1或x≥1或x=0}.故选B.
11.答案　{x|0解析　∵f(x)是奇函数,∴由图象知,当00,
当-20,当-1解得0即不等式的解集为{x|012.解析　∵f(x)为奇函数,
∴f(x)+f<0等价于f(x)<-f=f.
∵f(x)的定义域为(-1,1),且为增函数,
∴解得-∴不等式f(x)+f<0的解集为.
13.B　依题意,得a-2+a=0,解得a=1.
∵f(x)是定义在(a-2,a)上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),令x=0,得f(0)=-f(0),
∴f(0)=0,∴f(0)+a=1.
14.B　∵f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(0+2)=-f(0),
又∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,∴f(6)=0.
15.答案　6
解析　令g(x)=f(x)-8=ax5+bx3+cx,
∴g(-x)=-ax5-bx3-cx=-g(x),
∴g(x)为奇函数,
∴g(2)=-g(-2)=-[f(-2)-8]=-2.
又g(2)=f(2)-8,
∴f(2)=6.
16.解析　(1)设x<0,则-x>0,
则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,
又函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以x<0时,f(x)=x2+2x,
所以f(x)=
(2)根据(1)作出函数f(x)的图象,如图所示:
又函数f(x)在区间[-1,a-2]上是单调的,
结合函数f(x)的图象,知所以117.ACD　A选项中,由f(-2)>f(2),可知f(x)在定义域R上必定不是增函数;
易知B选项中判断正确;
C选项中,令f(x)=x2,此时满足f(0)=0,但不是奇函数;
D选项中,当函数f(x)为分段函数时,在x=0处,其图象有可能会出现右侧比左侧低的情况.
故选ACD.
18.解析　(1)证明:因为函数y=f(x)的定义域为R,关于原点对称,
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.
令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),
所以y=f(x)是奇函数.
(2)令x=y=4,则f(8)=f(4)+f(4)=2f(4)=4,
所以f(3x+1)-4>f(x+3) f(3x+1)>f(x+3)+f(8) f(3x+1)>f(x+11),
因为函数y=f(x)是定义在R上的减函数,
所以3x+1所以不等式的解集为{x|x<5}.
19.解析　(1)∵f(-x)=-f(x),
∴f(-x)+f(x)=0,
∴+=0对一切x成立,即=0恒成立,
∴b=0,∴f(x)=.
又f=,∴a=1.∴f(x)=.
(2)在区间[2,4]上任取x1,x2,且x1f(x1)-f(x2)=-=
=
=
∵2≤x10,x1x2-1>0,又+1>0,+1>0,
故知>0,∴f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2).
故函数f(x)在[2,4]上单调递减.
∴f(x)max=f(2)=.
若f(x)≤m2-在区间[2,4]上恒成立,
则f(x)max≤m2-,
即≤m2-,∴m2≥1,
∴m≤-1或m≥1,
∴m的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
20.解析　(1)当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3=-x3,因为f(x)是R上的偶函数,因此f(x)=f(-x),即f(x)=-x3.
(2)解法一:①当x≥0时,不等式即(x+1)3≥8x3=(2x)3,因为y=x3是R上的增函数,所以x+1≥2x,
得x≤1,因此0≤x≤1;
②当-1③当x≤-1时,不等式即-(x+1)3≥-8x3,所以(x+1)3≤8x3=(2x)3,所以x+1≤2x,得x≥1,因此无解.
综上,不等式的解集为.
解法二:因为f(x)=所以8f(x)=即8f(x)=
∴8f(x)=f(2x),
因此f(x+1)≥8f(x)即f(x+1)≥f(2x),因为函数f(x)在(-∞,0]上为减函数,在[0,+∞)上为增函数,所以|x+1|≥|2x|,平方整理得3x2-2x-1≤0,解得-≤x≤1.
故不等式的解集为.