等差数列(人教版高中数学必修5第二章 第二节的第一课时)

(共18张PPT)
——选自人教版高中数学必修5第二章
第二节的第一课时
主讲人：
一、复习回顾
1.数列的定义
数列就是按照一定顺序排列着的一列数。一般写成a1,a2,a3,…,an ,…，简记为{an}
2.通项公式的含义？
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式
3.递推公式？
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项an与它的前一项an-1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
二、学习新知
请观察下面四个实例
①我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：
0，5， 10 ， 15 ， 20 ，…
②2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）： 48 ，53，58，63.
③水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）： 18，15.5，13，10.5，8，5.5.
④我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列： 10072，10144，10216，10288，10360.
那么我们可以得到以下四个数列
①0，5，10，15，20，……
②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④10072，10144，10216， 10288，10360
请同学们思考，这四个数列有何共同特点
从第二项起，后一项与前一项的差是5。
从第二项起，后一项与前一项的差是5。
从第二项起，后一项与前一项的差是-2.5。
从第二项起，后一项与前一项的差是72。
等差数列的一般定义
一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列
的公差。公差通常用字母d表示。
那么对于以上四组等差数列，它们的公差
依次是5，5，-2.5，72。
定义的符号表示是：
是
不是
不是
练 习 一
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由
（1）1，3，5，7，…
（2）9，6，3，0，-3…
（3）-8，-6，-4，-2，0，…
（4）3，3，3，3，…
（6）15，12，10，8，6，…
是
是
是
a1=1,d=2
a1=9,d=-3
a1=-8,d=2
a1=3,d=0
对于刚才①②③④的等差数列，我们可以用通项公式把它们表示出来吗？
①0，5，10，15，20，……
②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④10072，10144，10216， 10288，10360
那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d，它的通项公式是什么呢？
设一个等差数列 {an} 的首项是a1,公差是d,则有：
a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…
所以有：
a2=a1+d,
a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d
a4=a3+d =（a1+2d）+d=a1+3d
问an=
通过观察：a2， a3，a4都可以用a1与d 表示出来；a1与d的系数有什么特点？
由此我们可以猜想得出：以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为：
迭加法：
a2-a1=d,
a3-a2=d,
a4-a3=d,
…
an-an-1=d
两边分别相加得到：
an=a1+(n-1)d
迭代法：
……
例题1
(1)求等差数列8，5，2，…的通项公式和第20项;
分析:（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.
解：(1)由题意得：
a1=8,d=5-8=-3,n=20
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=-3n+11
∴a20=11-3×20=-49
(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13, …的项 如果是,是第几项
分析：要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。
解：由题意得：
a1=-5,d=-9-(-5)=-4
∴这个数列的通项公式是：
an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1
令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。
例题2
某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
分析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元。所以，
我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费。
解：令a1 =11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2
那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要
支付车费 a11=11.2+(11-1)*1.2=23.2(元）
答：需要支付车费23.2元。
练 习 二
1.（1）求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项．
（2）求等差数列10，8，6，…的第20项．
（1)根据题意得：
a1=3,d=7-3=4,
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=4n-1
∴a4=4×4-1=15,
a7=4×7-1=27,
a10=4×10-1=39.
（2)根据题意得：
a1=10,d=8-10=-2,
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=12-2n
∴ a10=12-2×20=-8
2. 在等差数列{an}中： (1)d=1，a7=8，求a1;
(2) a1 =12, a6=27,求d;
（1)根据题意得:
这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d= a1+n-1
∴ a7= a1+7-1=8,
∴ a1=6
（2)根据题意得:
这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=12+(n-1)d
∴ a6= 12+5d=27,
∴ d=3
例题3
已知数列{an}的通项公式为an =pn+q,其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是什么？
解：an+1-an=p(n+1)+q-pn-q=p为常数。
故{an}为等差数列
首项为a1=p+q,公差为p.
练 习 三
1.已知等差数列{an}中， a5 = 6， a7 = 16，求a1 和公差d.
解：由题意得：
这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：
∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3.
注意：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。
课堂小结
1.通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的
定义及数学表达式： an+1-an=d(n≥1且n∈N*);
2.其次要会推导等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d( n≥1) .
3.本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中
任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。
作业布置
1. 教材P40，习题A第1(3)，2，4题, ．
2. 变式：若数列{an} 是等差数列,若bn=kan （k 为常数）,试证明：数列{bn} 是 等差 数 列.