河北省唐山市2013届高三9月摸底考试数学（文）试题

试卷类型：B
唐山市2012-2013学年度高三年级摸底考试
文科数学
第I卷
一、选择题（共60分）
（1）复数的虚部为
(A）2i　（B）－2i　（C）2　（D）－2
(2)设集合U＝AUB, A={1，2，3}， AB={1}，则＝
（A）{2}　 (B) {3}　　 (C) {1，2，3}　 (D) {2，3}
(3)已知x，y满足，则z=2x－y的最大值为
(A) 2 　(B)1　 (C) －1　 (D) 3
(4)已知双曲＝1的离心串为2，则该双曲线的实轴长为
（A）2　（B）4　 (C) 2　(D) 4
(5)若tnnθ=2，则cos2θ＝
（A）　　（B）－　　（C）　　（D）－
(6）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0. 3)内是增函数的是
(A) y=　　 (B) y=coss
(C）y=　　(D) y=x＋x－1
(7)在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为
（A）　(B) 　 (C)4　（D)
(8) 要得到函数的图象，只需将函数的图象
(A)向左平移个单位　(B)向右平移单位
(C)向左平移个单位　(D向右平移个单位
(9）空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（A）8＋2　　　（B）6＋2
（C）8＋2　　　（B）6＋2
(10）一名小学生的年龄和身高（单位：cm)
的数据如下：
年龄x 6 7 8 9
身高y 118 126 136 144
由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归直线方程为，预测该学生10岁时的身高为
(A) 154 　.(B) 153　 (C) 152 　(D) 151
参考公式：回归直线方程是：
(11)己知△ABC的外心、重心、垂心分别为O，G，H，若，则=
（A）　　（B）　　（C）3　　（D）2
(12)已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x）。当x［0,1］时，f（x）＝－x，若g（x）＝f（x）－m（x＋1）在区间（－1,2］有3个零点，则实数m的取值范围是
　（A）（－，）　　（B）（－，］　　（C）　（D）
第II卷
二、城空题：本大题共4小颐，每小题5分，共20分。
(13)函数的定义域为＿＿＿＿＿
(14)执行右圈所示的程序框图，则输出的z是＿＿＿＿＿
（15)以抛物线y2＝4x上的点A(4，4)为圆心，且与抛物线的准线相切的圆被x轴截得的弦长为＿＿＿＿
(16）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
若(a－b)sinB＝asinA－csin C.，且a2＋b2－6(a+b)＋18＝0，则＝＿＿＿
三、解答题：本大题共70分。
考题(22). (23), (24)题为选考题．解答应写出文字说明、证明过理或演算步理．
（17) (本题满分12分）
已知数列{}的前n项和Sn＝.
（I）求数列{}的通项公式；
（II）设，求。
(18)（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC. AB=AC=l，∠BAC=120，B1C＝3。
（I）求三棱柱ABC－A1B1C1的体积：
（II）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小．
(19)（本小题满分12分）
已知6件产品中有1级品3件，2级品2件，3级品1件。
（I）从这6件产品中随机抽取1件，求这件产品是1级品的概率；
（II）从这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品都是1级品的概率。
(20)（本小题满分12分）
设动点M(x, y)到直线y=3的距离与它到点F(0, 1)的距离之比为，点M的轨迹为曲线E.
（I）求曲线E的方程：
（II）过点F作直线l与曲线E交于A, B两点，且．当3时，求
直线l斜率k的取值范围·
(21)（本小胭满分12分）
已知函致f (x)＝x3十bx2＋cx+d.
（I)当b=0时，证明：曲线y=f(x)与其在点(0, f(0))处的切线只有一个公共点；
〔1(）若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切找为12x.+y－13=0,记函数y=f(x)的两个极值点为x1，x2，当x1＋x2＝2时，求f(x1)+f(x2)。
请考生在第(22), (23), (24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
(22)（本小题清分10分）选修4-1几何证明选讲
如图，圆O的圆心O在Rt△ABC的直角边BC上，该圆与直角边AB相切，与斜边
AC交于D，E，AD＝DE＝EC，AB＝。
（I）求BC的长；
（II）求圆O的半径。
(23)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C1方程为=2sin（θ+ ），曲线C2：方程为sin(θ+ )=4.以极点O为原点，极轴方向为x轴正向建立直角坐标系xOy.
（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程
（n）设A. B分别是C1，C2上的动点，求｜AB｜的最小值．
(24)（本小题满分1O分）选修4-5:不等式选讲
设f(x)=｜x＋1｜一｜x－2｜.
（I）若不等式f(x)}≤a的解集为．求a的值；
（II）若R. f(x)十4m＜m2，求m的取值范围．
唐山市2012—2013学年度高三年级摸底考试
文科数学参考答案
选择题：
A卷：ADCBC ADBAC DB
B卷：CDABD ADBAB CB
二、填空题：
（13）(－1，0)∪(0，2] （14）17 （15）6 （16）－
三、解答题：
（17）解：
（Ⅰ）a1＝S1＝(81－1)＝2． …1分
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(8n－1)－(8n－1－1)＝23n－2．
当n＝1时上式也成立，所以an＝23n－2（n∈N*）． …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn＝log223n－2＝3n－2， …7分
所以
＋＋…＋＝＋＋…＋
＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(1－)＝． …12分
（18）解：
（Ⅰ）如图，因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC．
又BC平面ABC，所以BB1⊥BC．
由AB＝AC＝1，∠BAC＝120，得
BC＝＝．
在Rt△B1BC中，BB1＝＝． …4分
所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积
V＝AB·ACsin120·AA1＝×1×1××＝． …6分
（Ⅱ）因为AC∥A1C1，所以∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角或其补角．
由（Ⅰ），BB1⊥平面ABC，则BB1⊥AC．
在Rt△B1BA中，AB1＝＝． …9分
在△B1CA中，cos∠B1CA＝＝，∠B1CA＝60，
所以异面直线B1C与A1C1所成角的大小为60． …12分
（19）解：
（Ⅰ）因为6件产品中有1级品3件，从中随机抽取1件，该产品是1级品的概率
P1＝＝． …4分
（Ⅱ）记这6件产品中有1级品为a1，a2，a3，2级品为b1，b2，3级品为c．
从中随机抽取2件，可能得结果为
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，
(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c)，
(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c)，
(b1，b2)，(b1，c)，
(b2，c)，共15种． …8分
其中2件产品都是1级品的结果为
(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共3种． …10分
故所求概率P2＝＝． …12分
（20）解：
（Ⅰ）根据题意，|y－3|＝·．
化简，得曲线E的方程为3x2＋2y2＝6． …4分
（Ⅱ）直线l方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得
(2k2＋3)x2＋4kx－4＝0． …6分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝－， ①
x1x2＝－． ②
＝λ即(－x1，1－y1)＝λ(x2，y2－1)，
由此得x1＝－λx2． ③
由①②③，得＋＝＝． …9分
因为2≤λ≤3，所以≤－≤，从而≤≤2，
解不等式≤＋≤2，得≤k2≤3．
故k的取值范围是[－，－]∪[，]． …12分
（21）解：
（Ⅰ）当b＝0时，f(x)＝x3＋cx＋d，f(x)＝3x2＋c．
f(0)＝d，f(0)＝c． …2分
曲线y＝f(x)与其在点(0，f(0))处的切线为y＝cx＋d．
由消去y，得x3＝0，x＝0．
所以曲线y＝f(x)与其在点(0，f(0))处的切线只有一个公共点即切点． …4分
（Ⅱ）由已知，切点为(1，1)．
又f(x)＝3x2＋2bx＋c，于是
即得c＝－2b－15，d＝b＋15． …7分
从而f(x)＝x3＋bx2－(2b＋15)x＋b＋15，f(x)＝3x2＋2bx－2b－15．
依题设，x1＋x2＝－，故b＝－3． …9分
于是f(x)＝x3－3x2－9x＋12，f(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．
当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下：
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
f(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值17 ↘ 极小值－15 ↗
由此知，f(x1)＋f(x2)＝2． …12分
（22）解：
（Ⅰ）由已知及由切割线定理，有AB2＝AD·AE＝AC·AC，
所以AC2＝AB2． …3分
由勾股定理得，BC＝＝7． …5分
（Ⅱ）设圆O与BC的交点为F，圆O的半径为r．
由割线定理，得CF·CB＝CE·CD＝AC·AC＝AB2， …8分
即(7－2r)×7＝14，解得r＝． …10分
（23）解：
（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程化为ρ＝sinθ＋cosθ，
两边同乘以ρ，得ρ2＝ρsinθ＋ρcosθ，
则曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝y＋x，即x2＋y2－x－y＝0． …3分
曲线C2的极坐标方程化为ρsinθ＋ρcosθ＝4，
则曲线C2的的直角坐标方程为y＋x＝4，即x＋y－8＝0． …6分
（Ⅱ）将曲线C1的直角坐标方程化为(x－)2＋(y－)2＝1，
它表示以(，)为圆心，以1为半径的圆．
该圆圆心到曲线C2即直线x＋y－8＝0的距离
d＝＝3， …8分
所以|AB|的最小值为2． …10分
（24）解：
（Ⅰ）f(x)＝其图象如下：
…3分
当x＝时，f(x)＝0．
当x＜时，f(x)＜0；当x＞时，f(x)＞0．
所以a＝0． …6分
（Ⅱ）不等式f(x)＋4m＜m2，即f(x)＜m2－4m．
因为f(x)的最小值为－3，所以问题等价于－3＜m2－4m．
解得m＜1，或m＞3．
故m的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)． …10分
A
E
B
C
D
O
F
O
3
y
x
－3
2
－1
eq \f( 1 ,2)
－1