2021-2022学年人教版八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.3.2 等边三角形课件（第一课时）(共33张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.3.2 等边三角形课件（第一课时）(共33张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 969.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-12 08:48:33 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
第十三章 轴对称
13.3.2 等边三角形
第一课时
【学习目标】
1、了解等边三角形的定义，会用等边三角形的性质解决实际问题.
2、从等腰三角形到等边三角形的学习，培养学生由一般到特殊的思想方法.
3、等边三角形的知识学习，提升学生审美情趣.
【课前预习】
1．下列命题中：①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③若△ABC与△DEF成轴对称，则△ABC一定与△DEF全等；④有一个角是60度的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．正确命题的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．以下叙述中不正确的是（ ）
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B．其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C．等腰三角形一定是锐角三角形D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
3．下列不能断定△ABC为等边三角形的是（ ）
A．∠A=60°，∠B=60° B．∠A=∠B=∠CC．AB=AC，∠B=60°D．AB=AC，∠A=∠C
4．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
5．关于等边三角形，下列说法中错误的是（ ）
A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
【课前预习】答案
1．A
2．C
3．D
4．C
5．B
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？
问题引入
导入新课
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
名称 图 形 定 义 性 质 判 定
等 腰 三 角 形
等边对等角
三线合一
等角对等边
两边相等
两腰相等
轴对称图形
A
B
C
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
1
等边三角形的性质
A
B
C
等边三角形的定义
三条边都相等的三角形
叫做等边三角形(也叫正
三角形).
等边三角形是特殊的
等腰三角形.
有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
满足什么条件的三角形是等边三角形
满足什么条件的三角形是等腰三角形
三边都相等的三角形是等边三角形（定义）
三个角都相等的三角形是等边三角形.
方法一：从边看
方法二：从角看
方法一：
方法二：
图形 等腰三角形
性 质
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等，
对称轴（3条）
等边三角形
对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
且都是60
两条边相等
三条边都相等
想一想：
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有
一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.
变式训练：
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
例2 △ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM
＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.
例3 如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三
边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数．
导引：要计算出△DEF各个内角的度数，有两个途径，即证△DEF为等边三角形或直接求各个角的度数，由垂直定义及等边三角形的性质，显然直接求各个角的度数较易．
解：因为△ABC是等边三角形，
所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.
因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，
所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°，
所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.
即△DEF各个内角的度数都是60°.
方法总结： 利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°的性质，找出要求角与已知角间的关系来进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解决．
2
等边三角形的判定
三边都相等的三角形是等边三角形.
∵AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形
等边三角形的判定方法：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
∴△ABC是等边三角形
∵ ∠A=60°，AB=BC
∴△ABC是等边三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
图形 等腰三角形
判 定
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
小结
例4 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴ ∠A =∠ADE =∠AED.
∴ △ADE 是等边三角形.
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且
DE∥BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，
且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明： ∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠B =∠D，∠C =∠E．
∴ ∠EAD =∠D =∠E．
∴ △ADE 是等边三角形．
A
D
E
B
C
变式3：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
例5 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明如下：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
根据条件判定等边三角形的解题技巧：
(1)若已知三边关系，则考虑用“三条边都相等的三角
形是等边三角形”判定．
(2)若已知三角关系，则根据“三个角都相等的三角形
是等边三角形”判定．
(3)若已知该三角形是等腰三角形，则根据“有一个角
是60°的等腰三角形是等边三角形“判定．
课堂小结
等边
三角形
定义
底=腰
特殊性
性质
特殊性
边
三边相等
角
三个角都等于60 °
轴对称性
轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质
判定
特殊性
三边法
三角法
等腰三角形法
【课后练习】
1．下列是真命题的是（ ）
A．有一个角等于60°的三角形是等边三角形 B．在同一平面内a∥b，b∥c，则a∥c
C．同旁内角互补角 D．对顶角相等么？
2．已知等边三角形ABC的边长为6，D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF⊥BC于点F，过点F作FG⊥AB于点G，当点G与点D重合时，AD的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
3．下列说法一定正确的是( )
A．所有的等边三角形都是全等三角形B．全等三角形是指形状相同的两个三角形C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．全等三角形的周长和面积分别相等
4．等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
5．在△ABC中，AB=BC=6，∠B=60°，则AC等于（ ）
A．4 B．8 C．6 D．10
6．等腰三角形的一个角是 60°，其中一边的长为 a，这个三角形的周长为______．
7．某等腰三角形一腰上的高与该腰上的中线重合，若该等腰三角形的顶角为n°，则n＝_____．
8．一艘轮船从海平面上A地出发，向北偏东50°的方向行驶60海里到达B地，再由B地向南偏东10°的方向行驶60海里到达C地，则A，C两地相距 ___海里．
9．下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的有________
①两直线平行，同旁内角互补；②等边三角形是锐角三角形；③两个图形关于某直线成轴对称，则这两个图形是全等图形；④若a=b，则a =b ；⑤等腰三角形两底角相等．
10．在△ABC中，AB=AC，∠B＝60°，BC=2cm，则AC=________cm．
【课后练习】答案
1．B 2．A 3．D 4．C 5．C
6．3a
7．60
8．60
9．①⑤
10．2
第十三章 轴对称
13.3.2 等边三角形
第一课时
【学习目标】
1、了解等边三角形的定义，会用等边三角形的性质解决实际问题.
2、从等腰三角形到等边三角形的学习，培养学生由一般到特殊的思想方法.
3、等边三角形的知识学习，提升学生审美情趣.
【课前预习】
1．下列命题中：①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③若△ABC与△DEF成轴对称，则△ABC一定与△DEF全等；④有一个角是60度的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．正确命题的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．以下叙述中不正确的是（ ）
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B．其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C．等腰三角形一定是锐角三角形D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
3．下列不能断定△ABC为等边三角形的是（ ）
A．∠A=60°，∠B=60° B．∠A=∠B=∠CC．AB=AC，∠B=60°D．AB=AC，∠A=∠C
4．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
5．关于等边三角形，下列说法中错误的是（ ）
A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
【课前预习】答案
1．A
2．C
3．D
4．C
5．B
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？
问题引入
导入新课
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
名称 图 形 定 义 性 质 判 定
等 腰 三 角 形
等边对等角
三线合一
等角对等边
两边相等
两腰相等
轴对称图形
A
B
C
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
1
等边三角形的性质
A
B
C
等边三角形的定义
三条边都相等的三角形
叫做等边三角形(也叫正
三角形).
等边三角形是特殊的
等腰三角形.
有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
满足什么条件的三角形是等边三角形
满足什么条件的三角形是等腰三角形
三边都相等的三角形是等边三角形（定义）
三个角都相等的三角形是等边三角形.
方法一：从边看
方法二：从角看
方法一：
方法二：
图形 等腰三角形
性 质
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等，
对称轴（3条）
等边三角形
对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
且都是60
两条边相等
三条边都相等
想一想：
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有
一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.
变式训练：
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
例2 △ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM
＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.
例3 如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三
边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数．
导引：要计算出△DEF各个内角的度数，有两个途径，即证△DEF为等边三角形或直接求各个角的度数，由垂直定义及等边三角形的性质，显然直接求各个角的度数较易．
解：因为△ABC是等边三角形，
所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.
因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，
所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°，
所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.
即△DEF各个内角的度数都是60°.
方法总结： 利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°的性质，找出要求角与已知角间的关系来进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解决．
2
等边三角形的判定
三边都相等的三角形是等边三角形.
∵AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形
等边三角形的判定方法：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
∴△ABC是等边三角形
∵ ∠A=60°，AB=BC
∴△ABC是等边三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
图形 等腰三角形
判 定
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
小结
例4 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴ ∠A =∠ADE =∠AED.
∴ △ADE 是等边三角形.
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且
DE∥BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，
且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明： ∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠B =∠D，∠C =∠E．
∴ ∠EAD =∠D =∠E．
∴ △ADE 是等边三角形．
A
D
E
B
C
变式3：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
例5 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明如下：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
根据条件判定等边三角形的解题技巧：
(1)若已知三边关系，则考虑用“三条边都相等的三角
形是等边三角形”判定．
(2)若已知三角关系，则根据“三个角都相等的三角形
是等边三角形”判定．
(3)若已知该三角形是等腰三角形，则根据“有一个角
是60°的等腰三角形是等边三角形“判定．
课堂小结
等边
三角形
定义
底=腰
特殊性
性质
特殊性
边
三边相等
角
三个角都等于60 °
轴对称性
轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质
判定
特殊性
三边法
三角法
等腰三角形法
【课后练习】
1．下列是真命题的是（ ）
A．有一个角等于60°的三角形是等边三角形 B．在同一平面内a∥b，b∥c，则a∥c
C．同旁内角互补角 D．对顶角相等么？
2．已知等边三角形ABC的边长为6，D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF⊥BC于点F，过点F作FG⊥AB于点G，当点G与点D重合时，AD的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
3．下列说法一定正确的是( )
A．所有的等边三角形都是全等三角形B．全等三角形是指形状相同的两个三角形C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．全等三角形的周长和面积分别相等
4．等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
5．在△ABC中，AB=BC=6，∠B=60°，则AC等于（ ）
A．4 B．8 C．6 D．10
6．等腰三角形的一个角是 60°，其中一边的长为 a，这个三角形的周长为______．
7．某等腰三角形一腰上的高与该腰上的中线重合，若该等腰三角形的顶角为n°，则n＝_____．
8．一艘轮船从海平面上A地出发，向北偏东50°的方向行驶60海里到达B地，再由B地向南偏东10°的方向行驶60海里到达C地，则A，C两地相距 ___海里．
9．下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的有________
①两直线平行，同旁内角互补；②等边三角形是锐角三角形；③两个图形关于某直线成轴对称，则这两个图形是全等图形；④若a=b，则a =b ；⑤等腰三角形两底角相等．
10．在△ABC中，AB=AC，∠B＝60°，BC=2cm，则AC=________cm．
【课后练习】答案
1．B 2．A 3．D 4．C 5．C
6．3a
7．60
8．60
9．①⑤
10．2