(共44张PPT)
人教版数学 八年级上册
第十三章 轴对称
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
导入新知
看到下面三角形了吗，它有何特点呢？
腰
腰
顶角
底角
底角
底边
我们今天来探讨一下等腰三角形的性质.
1. 探索并掌握等腰三角形的两个性质．
2.会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题.
学习目标
把一张长方形的纸按图中的虚线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
新知 等腰三角形的性质
合作探究
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
【思考】△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段 重合的角
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
【思考】由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？
说一说你的猜想.
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
【思考】如何构造两个全等的三角形？
猜想:等腰三角形的两个底角相等.
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，
则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线.
还有其他的证法吗？
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
A
B
C
D
【想一想】
性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
即：等腰三角形
顶角平分线
底边上的高线
底边上的中线
具备其中一条
另外两条成立
归纳总结
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2.（等腰三角形三线合一）
数学语言：如图, 在△ABC中,
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
三线合一
不重合
【思考】
为什么不一样？
A
B
C
D
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
分析：（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD.
典例精析
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（4）设∠A=x ,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °.
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° .
解得x=36 ° .
∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
方法点拨
例2 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( )
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
A
典例精析
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
图②
图①
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG–DG＝CG–EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图②
图①
G
在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
方法点拨
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．40° B．30° C．70° D．50°
A
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70°
B
1
课堂练习
3.(1)等腰三角形一个底角为45°,它的另外两个角为_______；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为________.
45°, 90°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
A
B
C
A
B
C
70°或20°
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质
易错点拨
（1）求等腰三角形角的度数时，如果没有明确是底角还是顶角必须分类讨论
（2）等腰三角形“三线合一”定理，角平分线指的是“顶角平分线”
归纳新知
1．如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D.若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为( )
A．18° B．20°
C．30° D．36°
A
课后练习
2．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为( )
A．40° B．100°
C．40°或100° D．40°或70°
D
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D＝( )
A．18° B．20°
C．22° D．25°
B
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC.若∠ABD＝35°，∠BCD＝30°，则∠A＝_____°.
50
5．(2019·杭州)如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC.
(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
连接AP，求证：∠APC＝2∠B.
(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，
与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
解：(1)证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP，∵∠APC＝∠B＋∠BAP，∴∠APC＝2∠B.(2)根据题意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B＋∠BAQ，∴∠BAQ＝2∠B，∵∠BAQ＋∠BQA＋∠B＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°.
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，点D是AE上的一点，则下列结论错误的是( )
A．AE⊥BC B．△BED≌△CED
C．△BAD≌△CAD D．∠ABD＝∠DBE
D
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是_____．
20
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF＝10 cm，则DE＝_____cm.
5
9．(2019·衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是( )
A．60° B．65°
C．75° D．80°
D
10．如图，已知AB＝AC＝BD，那么( )
A.∠1＝∠2
B．2∠1＋∠2＝180°
C．∠1＋3∠2＝180°
D．3∠1－∠2＝180°
D
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E.
(1)若∠BAE＝32°，求∠C的度数；
(2)若AC＝6 cm，DC＝5 cm，求△ABC的周长．
12．如图，△ABC中，AE＝BE，∠AED＝∠ABC.
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若AB＝CB，∠AED＝4∠EAD，求∠C的度数．
解：(1)证明：∵∠AED＝∠ABC，∠AED＝∠ABE＋∠EAB，∠ABC＝∠ABE＋∠DBC，∴∠EAB＝∠DBC，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠ABE，∴∠DBC＝∠ABE，∴BD平分∠ABC.
(2)设∠EAD＝x，则∠AED＝4x，∵∠AED＝∠ABE＋∠EAB，∠EAB＝∠ABE，BD平分∠ABC，∴∠BAE＝2x，∠ABC＝4x，∴∠BAC＝3x，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠C，∴∠C＝3x，∵∠ABC＋∠BAC＋∠C＝180°，∴4x＋3x＋3x＝180°，解得x＝18°，∴∠C＝3x＝54°，即∠C的度数是54°.
13．在△ABC中，AB＝AC.
(1)如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC边上的高，AD＝AE，则∠EDC＝________；
(2)如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC边上的高，AD＝AE，则∠EDC＝________；
(3)思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？
请用式子表示：________；
(4)如图3，如果AD不是BC边上的高，AD＝AE，
上述关系是否仍成立？若成立，请说明理由．
再 见(共33张PPT)
人教版数学 八年级上册
第十三章 轴对称
13.3.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
A
B
C
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
导入新知
1.掌握等腰三角形的判定方法，并运用其进行证明和计算.
2.通过学习等腰三角形的判定方法，使学生能从正反两个方面认识等腰三角形，养成科学的思维习惯.
学习目标
如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系
C
A
B
请同学用直尺和量角器，画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？
AB=AC
你能验证你的结论吗？
小活动
新知 等腰三角形的判定
合作探究
在△ABD与△ACD，
∠1=∠2，
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∠B=∠C，
AD=AD，
∴AB=AC.
过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC是等腰三角形.
∴ AC=AB. ( )
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C， ( )
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”，这又是一个判定两条线段相等的根据之一）.
已知
等角对等边
在△ABC中，
B
C
A
(
(
归纳总结
应用格式：
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC
（等角对等边）.
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
【思考】如图,下列推理正确吗
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知： 如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
A
B
C
E
（
（
1
2
D
典例精析
例2 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD.
B
A
D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
总结：平分角+平行=等腰三角形
例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，它的前提条件是“在同一个三角形中”．
方法点拨
例4 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作等腰△ABC.使底边BC=a，底边上的高为h.
a
h
作法：
1.作线段AB=a.
2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB 于点D.
3.在MN上取一点C，使DC=h.
4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
A
B
C
M
N
D
典例精析
例5 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
探究EF，BE，FC之间的关系.
O
A
B
C
E
F
解：EF=BE+CF.
理由如下：∵ EF∥BC,
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.
∵ BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，
∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO，
∴BE＝OE，CF=OF，
∴ EF=EO+FO＝BE+CF.
A
B
C
O
E
F
若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？
判定线段之间的数量关系，一般做法是通过证明线段所在的两个三角形全等或利用同一个三角形中“等角对等边”，运用转化思想，解决问题.
方法点拨
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
C
A
课堂练习
3.如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D
1
O
a
b
A
4.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________.
36°
72°
△ABC、
△DBA、
△BCD
5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____.
9
第5题图
A
B
C
D
第4题图
等腰三角形的判定
等角对等边
定义
注意是指同一个三角形中
有两边相等的三角形是等腰三角形
归纳新知
1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
2．在△ABC中，其两个内角如下，
则能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A．∠A＝40°，∠B＝50°
B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝20°，∠B＝80°
D．∠A＝40°，∠B＝80°
D
C
课后练习
3．在△ABC中，∠A＝x°，∠B＝y°，∠C≠60°.
若y＝180－2x，则下列结论正确的是( )
A．AC＝AB
B．AB＝BC
C．AC＝BC
D．AB，BC，AC中任意两边都不相等
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，
在BC上分别取点D，E使∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，
则图中的等腰三角形有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
B
D
5．在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝__________________时，
△ABC是等腰三角形．
6．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，
若AC＝5 cm，则AB＝___cm.
80°或50°或20°
5
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC
于点E，交CA的延长线于点F，试判断△ADF的形状，并说明理由．
解：△ADF是等腰三角形．理由：在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠DEC＝90°，
∴∠BDE＋∠B＝90°，∠F＋∠C＝90°，∴∠BDE＝∠F，
∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠F，
∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形．
8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为点D，
过点D作 DE∥AC，交AB于点E，若AB＝5，求线段DE的长．
解：如图所示：
10．将一张矩形纸片ABCD按图中那样折叠，
若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
C
11．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别
剪开(只允许剪一次)，不能够得到两个等腰三角形纸片的是( )
B
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，
CE平分∠ACB，CE交BD于点O，那么图中的等腰三角形个数为( )
A．4 B．6
C．7 D．8
D
13．如图，点E在△ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，
DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形．
(提示：过点D作DG∥AC交BC于点G)
14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，
若△ABC，△AMN周长分别为13 cm和8 cm.
(1)求证：MN＝BM＋CN；
(2)求线段BC的长．
解：(1)证明：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，
又∵MN∥BC，∴∠BEM＝∠CBE，∴∠ABE＝∠BEM，∴MB＝ME，
同理可得：NE＝NC，∴MN＝ME＋EN＝BM＋CN.
(2)∵△ABC的周长＝AB＋AC＝BC＝13，△AMN的周长＝
AM＋AN＋MN＝AM＋AN＋BM＋CN＝AB＋AC＝8，∴BC＝13－8＝5(cm).
15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，
EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P，
CH∥AB交AD的延长线于点H.
(1)求证：△APF是等腰三角形；
(2)猜想AB与PC的大小有什么关系，并证明你的猜想．
解：(1)证明：如图，∵EF∥AD，∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，
∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠P，
∴AF＝AP，即△APF是等腰三角形．
再 见
