(共36张PPT)
人教版数学 八年级上册
第十三章 轴对称
13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？
导入新知
1.掌握等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.
2.探索等边三角形的性质和判定．
3.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．
学习目标
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？
新知一 等边三角形的性质
10cm
6cm
10cm
10cm
10cm
10cm
合作探究
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
名称 图 形 定 义 性 质 判 定
等 腰 三 角 形
等边对等角
三线合一
等角对等边
两边相等
两腰相等
轴对称图形
A
B
C
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
A
B
C
A
B
C
等边三角形的三个内角之间有什么关系？
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等边三角形
AB=AC=BC
AB=AC
∠B=∠C
AC=BC
∠A=∠B
∠A=∠B=∠C
内角和为180°
=60°
问题1：
结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ，
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
证明： ∵AB=AC，
∴∠B=∠C .(等边对等角)
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
A
B
C
A
B
C
等边三角形有“三线合一”的性质吗 等边三角形有几条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
问题2：
图形 等腰三角形
性 质
每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等，
对称轴（3条）
等边三角形
对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
且都是60
两条边相等
三条边都相等
归纳总结
例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°– 40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.
典例精析
解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个内角都是60°”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.
方法点拨
例2 △ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
典例精析
此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.
方法点拨
图形 等腰三角形
判 定
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
新知二 等边三角形的判定
合作探究
例1 如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
本题还有其他证法吗？
典例精析
例2 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
方法点拨
2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）
A. 4个 B. 5个
C. 6个 D. 7个
D
A
C
B
D
E
O
1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
B
课堂练习
3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm.
A
C
B
D
E
12
B
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．
证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°–90°–30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．
∵E为AB的中点，∴AE=BE．
又∵ ∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA）．
等边
三角形
定义
底=腰
特殊性
性质
特殊性
边
三边相等
角
三个角都等于60 °
轴对称性
轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质
判定
特殊性
三边都相等
三角都相等
有一个角是60°的等腰三角形
归纳新知
1．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，
则∠ADB的度数为( )
A．25° B．60° C．85° D．95°
2．如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为( )
A．30° B．20° C．25° D．15°
D
D
课后练习
3．(2019·镇江)如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，
边AB与直线b相交于点D.
若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝____°.
40
4．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至点E，
使DB＝DE.
(1)求∠BDE的度数；
(2)求证：△CED为等腰三角形．
解：(1)∵DB＝DE，∴∠E＝∠DBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∠DBC＝30°，∴∠E＝∠DBE＝30°，
∴∠BDE＝180°－∠DBE－∠E＝120°.
(2)证明：∵∠ACB＝60°，∠E＝30°，∴∠CDE＝∠ACB－∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE，∴△CED是等腰三角形．
5．下列条件不能得到等边三角形的是( )
A．有两个内角是60°的三角形
B．有一个角是60°的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形
D．有两个角相等的等腰三角形
6．在△ABC中，AB＝AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边
三角形，这个条件可以是 (只要写出一个即可).
D
∠A＝60°
7．如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，BO，
OC的垂直平分线分别交BC于E，F两点，求证：△OEF是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，BO平分∠ABC，∴∠OBC＝30°，
又∵E为BO垂直平分线上的点，∴BE＝OE，∴∠EBO＝∠EOB＝30°，
∴∠OEF＝∠EBO＋∠EOB＝60°，
同理，∠OFE＝∠FCO＋∠FOC＝60°，∴△OEF为等边三角形．
8．如图，直线a∥b∥c，等边△ABC的顶点B，C分别在直线b和c上，
边BC与直线c所夹的锐角为20°，则∠α的度数为( )
A．20° B．40° C．60° D．80°
9．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，
则∠1＋∠2的度数为( )
A．90° B．120° C．270° D．360°
D
B
10．如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的动点，
BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，
当点D从点A向B运动(不运动到点B)时，∠ECF大小的变化情况是( )
A．不变 B．变小
C．变大 D．先变大后变小
11．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3 cm，
则AB＝____cm.
A
6
12．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，
判断△ADE的形状，并说明理由．
解：等边三角形．理由：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，
∵∠1＝∠2，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD＝60°，∴△ADE是等边三角形．
13．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，
∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．
(1)若∠B＝60°，求∠C的度数；
(2)求证：AD是∠EAC的平分线．
解：(1)∵∠B＝60°，∠BDA＝∠BAD，∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD，∵CD＝AB，∴CD＝AD，∴∠DAC＝∠C，
∴∠BDA＝∠DAC＋∠C＝2∠C，易得∠BDA＝60°，∴∠C＝30°.
14．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M，N分别从点
A，B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，
点N的速度为2 cm/s.当点N第一次回到点B时，点M，N同时停止运动．
(1)运动几秒时，M，N两点重合？
(2)运动几秒时，可得到等边△AMN
(3)当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN？
若存在，请求出此时运动的时间．
解：(1)设运动x秒时，M，N两点重合，则x×1＋12＝2x，解得x＝12.
(2)设运动t秒时，可得到等边△AMN，如图①，AM＝t×1＝t，AN＝AB－BN＝12－2t，∵△AMN是等边三角形，∴t＝12－2t，解得t＝4，∴运动4秒时，可得到等边△AMN.(3)当点M，N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由(1)知运动12秒时，M，N两点重合，恰好在点C处．
如图②，假设△AMN是等腰三角形，则AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，
再 见(共42张PPT)
人教版数学 八年级上册
第十三章 轴对称
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
2.这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？
1.等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？
想一想:
导入新知
1.探索含30°角的直角三角形的性质．
2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.
学习目标
如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
分离
拼接
A
C
B
新知 含30°角的直角三角形的性质
问题1：
合作探究
将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
问题2：
性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
D
如图，显然，△ADC与△ABC关于AC成轴对称图形，
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD= AB.
你还能用其他方法证明吗？
证明：延长BC 到D，使BD =AB，连接AD.
在△ABC 中，∵ ∠C =90°，∠A =30°, ∴ ∠B =60°．
∴△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB．
A
B
C
D
证明方法：倍长法
∴BC = AB．
∴BC = BD．
方法一：
倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍……
倍长法
方法点拨
E
A
B
C
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30° = 30°.
∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴BC = AB．
证明方法：截半法
方法二：
合作探究
在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.
截半法
方法点拨
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
∵ 在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，
归纳总结
应用格式：
∴ BC = AB．
A
B
C
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
D
A
B
C
D
典例精析
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于( )
A．3 B．2 C.1.5 D．1
E
C
归纳总结
含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
解：
理由如下：
∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB.
归纳总结
含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
例4 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC,DE 有多长？
A
B
C
D
E
图中BC,DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
A
B
C
D
E
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
∴BC= AB, DE= AD.
∴BC= AB= ×7.4=3.7(m).
又AD= AB,
∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m).
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米
2.某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A．300a元 B．150a元
C．450a元 D．225a元
B
B
课堂练习
3.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = .
5
4.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，
AB+BC=12cm，则AB=______cm.
8
A
C
B
第4题图
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用要点
含30°角的直角三角形的性质
①分清30 °的角所在的直角边
②作辅助线，构造直角三角形
注意
前提条件：直角三角形中
证题方法
倍长法
截半法
归纳新知
1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，最短边BC＝3 cm，
则最长边AB的长为( )
A．9 cm B．8 cm C．7 cm D．6 cm
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是( )
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
D
D
课后练习
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，
BC＝1，则AD的长为( )
A．1.5 B．2 C．3 D．4
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝8，
则BC的长是( )
A．16 B．24 C．30 D．32
B
B
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
点P是AC边上的动点，则BP的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，BC＝4 cm，AB＝___ cm.
B
8
7．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD，AB＝BD，
∠ABD＝120°，BC＝4 m，则AB的长度为____m.
8
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于点D，
垂足为点E，当AB＝10，∠B＝30°时，△ACD的周长是____．
9．在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，AB＝10，
则△ABC的面积为____．
15
25
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°.
(1)求∠BCD的度数；
(2)若BD＝a，求AB的长度(用含a的式子表示).
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，
∵CD是高，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝90°－60°＝30°.
(2)∵∠BDC＝90°，∠BCD＝30°，BD＝a，
∴BC＝2BD＝2a，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4a.
11．如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，
PE⊥AB于点E，BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.
(1)若BQ＝2，求PE的长；
(2)连接PF，EF，判断△EFP的形状，并说明理由．
∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝60°，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵PE⊥AB，
∴∠PEB＝90°，∴∠BPE＝60°，∵FQ垂直平分BP，
∴FB＝FP，∴∠FBQ＝∠FPQ＝30°，
∴∠EPF＝∠EPB＋∠BPF＝90°，∴△EFP是直角三角形．
12．如图，△ABC是等边三角形，AB＝12，点D是BC边上任意一点，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE＋CF的长是( )
A．5 B．6 C．8 D．12
13．如图，△ABC是边长为5的等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，
DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，
若BD＝2，则DF等于( )
A．7 B．6 C．5 D．4
B
B
14．(2019·丹东)如图，在△ABC中，∠C＝90°，
DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是___．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，
AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，
AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，若MN＝2，则NF＝___.
3
1
16．如图，已知∠AOB＝30°，点P在边OA上，OD＝DP＝14，
点E，F在边OB上，PE＝PF.若EF＝6，求OF的长．
解：作PM⊥OB于点M，如图所示．∵OD＝DP，
∴∠DPO＝∠AOB＝30°，∴∠PDM＝∠DPO＋∠AOB＝60°，
∵PM⊥OB，∴∠DPM＝30°，
17．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∠ABC的平分线BE交AC于点E.点D为AB上一点，
且AD＝AC，CD，BE交于点M.
(1)求∠DMB的度数；
(2)若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH.
解：(1)∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，
∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠A＝30°，
AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∴∠DMB＝∠ADC－∠ABE＝45°.
(2)证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CH⊥BE，
∠CBE＝30°，∴BC＝2CH，∴AB＝4CH，在Rt△CHM中，
∠CMH＝∠DMB＝45°，∴CH＝MH，∴AB＝4MH.
19．如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，
过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)若AD＝2，求AF的长；
(2)求当AD取何值时，DE＝EF
再 见
