(共40张PPT)
人教版数学 八年级上册
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
12.3.1 角的平分线的性质
A
B
D
C
E
下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？
导入新知
1. 学会角平分线的画法.
2. 探究并认知角平分线的性质.
3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.
学习目标
在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
新知一 角平分线的画法
问题1：
问题2：
合作探究
提炼图形
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗
A
B
C
(E)
D
其依据是SSS，两全等三角形的
对应角相等.
问题3：
【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？
A
B
O
请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.
提示
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
做一做
A
B
M
N
C
O
已知: ∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
仔细观察步骤
作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢!
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
半径小于 MN或等于 MN，可以吗？
已知：平角∠AOB.
求作：平角∠AOB的角平分线.
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
A
B
O
C
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB ，点D,E为垂足，测量PD,PE的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结果：__________
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
新知二 角平分线的性质
合作探究
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
验证猜想
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
新知小结
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA， PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
合作探究
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = ，
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
缺少“垂直距离”这一条件
缺少“角平分线”这一条件
例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
典例精析
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
提示：存在两条垂线段——直接 应用.
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积
周长
条件
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
新知小结
2.△ABC中， ∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是 .
A
B
C
D
3
E
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
课堂练习
3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
SSS
ASA
AAS
角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
4.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是( )
A.PC＝PD B. OC＝OD
C. ∠CPO＝∠DPO D. OC＝PC
D
5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
D
B
C
E
A
D
F
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
为证明线段相等提供了又一途径
归纳新知
1．用尺规作一个角的平分线的示意图如图，则说明∠AOE＝∠BOE的依据是( )
A．SSS B．SAS
C．ASA D．AAS
A
课后练习
2．如图，已知△ABC，AB＝AC，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD交BC于点D，不写作法，但保留作图痕迹，并猜想点D在BC的什么位置．
解：作图略，点D在BC的中点处．
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，且BC＝5 cm，BD＝2 cm，则DE等于( )
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．5 cm
B
C
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：∠B＝∠C.
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，又∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴∠B＝∠C.
6．“全等三角形对应边上的中线相等”这个命题的已知是
___________________，结论是________________________．
两个三角形全等
对应边上的中线相等
7．证明：全等三角形对应角的平分线相等．
解：已知：如图，△ABC≌△A1B1C1，AD和A1D1分别是∠BAC和∠B1A1C1的平分线．求证：AD＝A1D1.
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是( )
A．15 B．30
C．45 D．60
B
9．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线相交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( )
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
C
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝5，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP的最小值为_____．
5
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝5 cm，AC＝3 cm，BC＝4 cm，则△DEB的周长为______．
6 cm
12．(习题变式)如图，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，点M，N为垂足．求证：PM＝PN.
证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.在△ABD和△CBD中，∵AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB.又∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.
13．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.
(1)求∠EDA的度数；
(2)若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC的值．
14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.
(1)求证：CF＝EB；
(2)若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP, CP交于点P，PE⊥AC于点E，若S△BPC＝6，PE＝4，S△ABC＝8，求△ABC的周长．
再 见(共35张PPT)
人教版数学 八年级上册
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
12.3.2 角的平分线的判定
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？
导入新知
1. 理解角平分线判定定理.
2. 掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
学习目标
回
顾旧知
O
D
P
P到OA的距离PD
P到OB的距离PE.
P是角平分线上的点
几何语言描述：
∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE.
A
C
B
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
叙述角平分线的性质定理.
不必再证全等
E
新知一 角平分线的判定
合作探究
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB ，
∴ PD= PE.
几何语言：
猜想:
想一想
这个结论正确吗？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
猜想证明
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
例 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ， D即为所求.
O
典例精析
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
新知二 三角形的内角平分线
合作探究
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明这个结论吗？
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
证明结论
点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
想一想
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
距离
面积
周长
条件
新知小结
例 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角
平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，
∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
典例精析
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
新知小结
角的平分线的性质
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
课堂练习
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，
∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
角平分线
的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
归纳新知
1．如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，若PE＝PF，且∠AOC＝50°，则∠EOP的度数为( )
A．65° B．60°
C．45° D．30°
A
课后练习
2．如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：
①在∠B的平分线上；
②在∠DAC的平分线上；
③在∠ECA的平分线上；
④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三个角的平分线的交点．
上述结论中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
3．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线．”小明做法的理论依据是
_________________________________________________．
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
4．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，若DE＝DF，AB＝BC，则CD______AD.(填“＞”“＜”或“＝”)
＝
5．如图，BE是∠MBC的平分线，CE是∠NCB的平分线，连接AE.问：AE是∠MAN的平分线吗？请说明理由．
解：AE是∠MAN的平分线．理由：如图，作EH⊥AM于点H，ED⊥BC于点D，EP⊥AN于点P.∵BE是∠MBC的平分线，∴EH＝ED.同理ED＝EP. ∴EH＝EP.
∴点E在∠MAN的平分线上，∴AE是∠MAN的平分线．
6．有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在( )
A．△ABC三条角平分线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条中线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
A
7．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．
解：图略．提示：作∠AOB的平分线，与AB的交点即为点M的位置．
8．如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC＝60°，则∠BOC＝( )
A．120° B．125°
C．130° D．140°
A
9．如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF相交于点D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是( )
A．① B．② C．①② D．①②③
D
10．如图，要在三条交错的公路区域附近修建一个物流公司仓库，使仓库到三条公路的距离相等，则可以选择的地址有( )处．
A．1 B．2
C．3 D．4
D
11．如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG.求证：OC是∠AOB的平分线．
12．如图，在△ABC中，点D，E，F在边BC上，点P在线段AD上，若PE∥AB，∠PFD＝∠C，点D到AB和AC的距离相等，求证：点D到PE和PF的距离相等．
证明：如图，作DM⊥AB于点M，交PE于点G，作DN⊥AC于点N，交PF于点H，∵DM＝DN，DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵PE∥AB，∴∠EPD＝∠BAD，DG⊥PE，∵∠PFD＝∠C，∴PF∥AC，∴∠FPD＝∠CAD，DH⊥PF，
∴∠EPD＝∠FPD，∴DG＝DH，
即点D到PE和PF的距离相等．
13．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC.求证：
(1)OC平分∠ACD；
(2)OA⊥OC；
(3)AB＋CD＝AC.
再 见
