中小学教育资源及组卷应用平台
专题4.2 立方根-重难点题型
【苏科版】
( http: / / www.21cnjy.com )
【知识点1 立方根的概念及性质】
（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。【来源：21·世纪·教育·网】
（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
【题型1 立方根的概念及性质】
【例1】（2021春 仓山区期中）如果﹣a是b的立方根，那么下列结论正确的是（ ）
A．a是﹣b的立方根 B．a是b的立方根
C．﹣a是﹣b的立方根 D．±a都是b的立方根
【解题思路】根据立方根的定义推导即可得出结论．
【解答过程】解：根据题意得：（﹣a）3＝b，
∴﹣a3＝b，
∴a3＝﹣b，
∴a是﹣b的立方根，
故选：A．
【变式1-1】（2021春 海淀区校级月考）下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4 B．没有立方根
C．若，则a＝1 D．
【解题思路】根据立方根的定义解答即可．
【解答过程】解：A．正数的立方根只有一个，64的立方根是4，该选项错误，不符合题意；
B．负数也有立方根，该选项错误，不符合题意；
C．a也可以等于0，该选项错误，不符合题意；
D．3，3，所以该选项正确，符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（2021春 白云区期末）下列说法正确的是（ ）
A．64的立方根是±±
B．是的立方根
C．
D．立方根等于它本身的数是0和1
【解题思路】根据立方根的定义分别对每一项进行分析即可得出答案．
【解答过程】解：A、64的立方根是4，故本选项错误；
B、不是的立方根，故本选项错误；
C、3，3，则正确；
D、立方根等于它本身的数是0和±1，故本选项错误；
故选：C．
【变式1-3】（2020春 闽侯县期中）若有0，则x和y的关系是（ ）
A．x＝y＝0 B．x﹣y＝0 C．xy＝1 D．x+y＝0
【解题思路】根据已知和立方根的性质得出x＝﹣y，即可得出x与y的关系．
【解答过程】解：∵0，
∴，
∴x＝﹣y，
∴x与y的关系是x+y＝0．
故选：D．
【知识点2 开立方】
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
【题型2 开立方的运算】
【例2】（2020秋 滦州市期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为﹣512时，输出的数y的值是（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C．﹣2 D．2
【解题思路】把﹣512按给出的程序逐步计算即可．
【解答过程】解：由题中所给的程序可知：把﹣512取立方根，结果为﹣8，
因为﹣8是有理数，所以再取立方根为﹣2，
﹣2是有理数，所以再取立方根为，
因为是无理数，所以输出，
故选：A．
【变式2-1】（2021春 雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝ ，b＝ ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解题思路】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．
【解答过程】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是﹣m，
∴m3＝2020，（﹣m）3＝a，
∴a＝﹣2020；
又∵n的平方根是2020和b，
∴b＝﹣2020．
故答案为：﹣2020，﹣2020．
【变式2-2】（2021春 汉阳区期末）已知，则a＝ ．
【解题思路】根据立方根等于它本身的数有0，1，﹣1，列式分别进行计算即可求出a的值．
【解答过程】解：根据题意，一个数的立方根等于它本身，
∴①1﹣a2＝0，
解得a＝±1，
②1﹣a2＝1，
解得a＝0，
③1﹣a2＝﹣1，
解得a＝±，
综上所述，a＝±1，0，±．
故答案为：±1，0，±．
【变式2-3】（2021春 浦东新区校级月考）已知0.056，a＝106b，那么 ．
【解题思路】根据立方根的定义解答可得．
【解答过程】解：因为a＝106b，
所以106b＝a，
所以b＝a÷106，
因为0.056，
所以a＝（﹣0.056）3＝﹣0.000175616，
所以5.6×10﹣4．
故答案为：5.6×10﹣4．
【题型3 开立方运算中的小数点移动规律】
【例3】（2021春 望城区期末）已知2，20，0.2，则 ．
【解题思路】根据题意得出，当被开三次方数的小数点向左或向右移动3位，立方根的小数点则向左或向右移动1位，求解即可．21世纪教育网版权所有
【解答过程】解：∵2，20，0.2，
∴200，
故答案为：200．
【变式3-1】（2021春 重庆月考）若1.732，5.477，12，2.585，则 ， ．21cnjy.com
【解题思路】当被开方数扩 ( http: / / www.21cnjy.com )大（或缩小）为原来的100倍，其算术平方根扩大（或缩小）为原来的10倍．当被开方数扩大（或缩小）为原来的1000倍，其立方根扩大（或缩小）为原来的10倍．其余的依此类推，利用这个规律即可解决问题．21·世纪*教育网
【解答过程】解：∵1.732，
∴17.32，
∵12，
∴1.2．
故答案为：17.32，1.2．
【变式3-2】（2021春 天津期中）已知1.038，2.237，4.820，则 ．
【解题思路】根据被开方数小数点移3位，开立方后的结果移一位进行计算．
【解答过程】解：∵2.237，
∴22.37．
故答案为：﹣22.37．
【变式3-3】（2019春 海淀区校级月考）已知1.463，4.626，0.5981，.289，若46.26，则x＝ ；若5.981，则y＝ ．www-2-1-cnjy-com
【解题思路】根据算术平方根的特点： ( http: / / www.21cnjy.com )算术平方根的小数点向右（或向左）移动一位，则被开方数的小数点向右（或向左）移动2位，立方根的特点：立方根的小数点向右（或向左）移动一位，则被开方数向右（或向左）移动3位，然后进行解答即可．2-1-c-n-j-y
【解答过程】解：∵4.626，，
∴x＝2140，
∵0.5981，，
∴y＝﹣214，
故答案为：2140，﹣214．
【题型4 利用开立方解方程】
【例4】（2021春 连山区月考）（1）已知9（x+1）2＝4，求x的值；
（2）已知8（x﹣1）3，求x的值．
【解题思路】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出解．
【解答过程】解：（1）方程整理得：（x+1）2，
开方得：x+1＝±，
解得：x1，x2；
（2）方程整理得：（x﹣1）3，
开立方得：x﹣1，
解得：x．
【变式4-1】（2021春 郧西县月考）求x的值：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）9x3x3．
【解题思路】（1）根据平方根的定义解答；
（2）根据立方根的定义解答．
【解答过程】解：（1）（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x＝3或﹣1；
（2）9x3x3，
∴9x3+8＝x3﹣19，
∴9x3﹣x3＝﹣19﹣8，
∴8x3＝﹣27，
∴x3，
∴x．
【变式4-2】（2021春 江汉区期中）求下列各式中x的值：
（1）（x﹣1）2＝4；
（1）（2x+3）3+2＝0．
【解题思路】（1）根据平方根的意义计算；
（2）根据立方根的意义计算．
【解答过程】解：（1）x﹣1＝2或﹣2，
∴x＝3或一1；
（2）（2x+3y）3＝﹣2，
∴（2x+3）3＝﹣8，
∴2x+3＝﹣2，
∴x．
【变式4-3】（2021 天宁区校级模拟）0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C． D．无选项
【解题思路】根据题意，对原方程变形为，即可得到有2x﹣1＝﹣5x﹣8，解方程即可得出x的值．
【解答过程】解：0，
即，
故有2x﹣1＝﹣5x﹣8
解之得x＝﹣1，
故选：B．
【题型5 平方根与立方根综合】
【例5】（2020春 合川区期末）已知M是9的算术平方根，7a+3b﹣1的平方根为±4，N，则M+2N的立方根为（ ）21*cnjy*com
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【解题思路】根据平方根、算术平方根、立方根的意义a、b的值，再求出M、N的值，进而求出M+2N的立方根即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答过程】解：∵9的算术平方根是3，
∴M3，
∴5a+2b＝9，
又∵7a+3b﹣1的平方根为±4，
∴7a+3b﹣1＝16，
∴，
解得a＝﹣7，b＝22，
∴N2，
∴M+2N＝3+2×（﹣2）＝3﹣4＝﹣1，
而﹣1的立方根为﹣1，
∴M+2N的立方根为﹣1，
故选：A．
【变式5-1】（2020春 西华县期中）已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2的算术平方根．21教育网
【解题思路】利用平方根、立方根性质求出a与b的值，代入原式计算即可求出所求．
【解答过程】解：由题可知a+9＝（﹣5）2，2b﹣a＝（﹣2）3，
解得：a＝16，b＝4，
∴224+4＝8，8的算术平方根是2，
则2的算术平方根是2．
【变式5-2】（2021春 甘肃期末）如果A为a+3b的算术平方根，B为1﹣a2的立方根，求A+B的平方根．【出处：21教育名师】
【解题思路】根据算术平方 ( http: / / www.21cnjy.com )根以及立方根的定义，A和B的根指数分别是2和3，即可得到一个关于a，b的方程组求得a，b的值，进而得到A、B的值，从而求解．【版权所有：21教育】
【解答过程】解：根据题意得：，
解得：，
则A3，B2，
则A+B＝1，
A+B的平方根是：±1．
【变式5-3】（2021春 渝中区校级期中）已知：a与2b互为相反数，a﹣b的算术平方根是3；
（1）求a、b的值；
（2）若|2a+c|0，求d﹣1的立方根．
【解题思路】（1）根据题意列出方程组可得答案；
（2）
【解答过程】解：（1）由题意得：
，
解得：a＝6，b＝﹣3．
（2）由非负数的性质可得：
，
即，
∴c＝12，d＝﹣3．
∴d﹣1＝4﹣3﹣1＝0，
∴d﹣1的立方根是0．
【题型6 立方根的应用】
【例6】（2021春 瑶海区校级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）已知一个正方体的体积是729cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得余下的体积是665cm3，则截去的每个小正方体的棱长是（ ）
A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
【解题思路】首先确定截去的小正方体的体积，然后再设每个小正方体的棱长为xcm，根据正方体的体积公式可得方程，从而确定边长．2·1·c·n·j·y
【解答过程】解：截去的8个小正方体的总体积为729﹣665＝64（cm3），则每个小正方体的体积为64÷8＝8（cm3）．21教育名师原创作品
设每个小正方体的棱长为x cm，则x3＝8，
解得x＝2．
【变式6-1】（2020秋 石阡 ( http: / / www.21cnjy.com )县期末）一个正方体木块的体积是343cm3，现将他锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体的木块的表面积是 ．21*cnjy*com
【解题思路】要先根据正方体的体积求出正方体的棱长，然后进行分割即可解决问题．
【解答过程】解：一个正方体木块的体积是343cm3，则边长为7cm，
现将他锯成8快同样大小的正方体小木块，则每个小正方体木块的边长3.5cm，
每个正方体边长为：3.5cm，其中一个小正方体表面积为6×（3.5）2＝73.5cm2；
故答案为：73.5cm2．
【变式6-2】（2021春 静海区 ( http: / / www.21cnjy.com )月考）在一个长、宽、高分别为8cm，4cm，2cm的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．
【解题思路】根据长方体的体积计算可得结论；根据正方体的体积等于棱长的立方进行开立方计算可得结论．
【解答过程】解：设正方体容器的棱长为xcm，得
x3＝8×4×2
x3＝64
∴x＝4
答：正方体容器的棱长为4cm．
【变式6-3】（2021春 ( http: / / www.21cnjy.com ) 福州期末）如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是180cm3，求原正方形铁皮的边长．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
【解题思路】设原来正方形的边长为xcm，然后根据长方体容积公式列方程计算．
【解答过程】解：∵从四个顶点处分别剪掉一个面积为25 cm2的正方形，
∴剪掉的正方形边长为5 cm，
设原来正方形的边长为xcm，
由题意可得：5（x﹣10）2＝180，
∴（x﹣10）2＝36，
x﹣10＝±6，
解得：x＝16或x＝4（不合题意，舍去），
∴原来正方形的边长为16 cm．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题4.2 立方根-重难点题型
【苏科版】
( http: / / www.21cnjy.com )
【知识点1 立方根的概念及性质】
（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。21·cn·jy·com
（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
【题型1 立方根的概念及性质】
【例1】（2021春 仓山区期中）如果﹣a是b的立方根，那么下列结论正确的是（ ）
A．a是﹣b的立方根 B．a是b的立方根
C．﹣a是﹣b的立方根 D．±a都是b的立方根
【变式1-1】（2021春 海淀区校级月考）下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4 B．没有立方根
C．若，则a＝1 D．
【变式1-2】（2021春 白云区期末）下列说法正确的是（ ）
A．64的立方根是±±
B．是的立方根
C．
D．立方根等于它本身的数是0和1
【变式1-3】（2020春 闽侯县期中）若有0，则x和y的关系是（ ）
A．x＝y＝0 B．x﹣y＝0 C．xy＝1 D．x+y＝0
【知识点2 开立方】
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
【题型2 开立方的运算】
【例2】（2020秋 滦州市期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为﹣512时，输出的数y的值是（ ）21cnjy.com
A． B． C．﹣2 D．2
【变式2-1】（2021春 雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝ ，b＝ ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式2-2】（2021春 汉阳区期末）已知，则a＝ ．
【变式2-3】（2021春 浦东新区校级月考）已知0.056，a＝106b，那么 ．
【题型3 开立方运算中的小数点移动规律】
【例3】（2021春 望城区期末）已知2，20，0.2，则 ．
【变式3-1】（2021春 重庆月考）若1.732，5.477，12，2.585，则 ， ．21教育网
【变式3-2】（2021春 天津期中）已知1.038，2.237，4.820，则 ．
【变式3-3】（2019春 海淀区校级月考）已知1.463，4.626，0.5981，.289，若46.26，则x＝ ；若5.981，则y＝ ．21·世纪*教育网
【题型4 利用开立方解方程】
【例4】（2021春 连山区月考）（1）已知9（x+1）2＝4，求x的值；
（2）已知8（x﹣1）3，求x的值．
【变式4-1】（2021春 郧西县月考）求x的值：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）9x3x3．
【变式4-2】（2021春 江汉区期中）求下列各式中x的值：
（1）（x﹣1）2＝4；
（1）（2x+3）3+2＝0．
【变式4-3】（2021 天宁区校级模拟）0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C． D．无选项
【题型5 平方根与立方根综合】
【例5】（2020春 合川区期末）已知M是9的算术平方根，7a+3b﹣1的平方根为±4，N，则M+2N的立方根为（ ）2·1·c·n·j·y
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【变式5-1】（2020春 西华县期中）已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2的算术平方根．【来源：21·世纪·教育·网】
【变式5-2】（2021春 甘肃期末）如果A为a+3b的算术平方根，B为1﹣a2的立方根，求A+B的平方根．21世纪教育网版权所有
【变式5-3】（2021春 渝中区校级期中）已知：a与2b互为相反数，a﹣b的算术平方根是3；
（1）求a、b的值；
（2）若|2a+c|0，求d﹣1的立方根．
【题型6 立方根的应用】
【例6】（2021春 瑶海区校级期中）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )一个正方体的体积是729cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得余下的体积是665cm3，则截去的每个小正方体的棱长是（ ）
A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
【变式6-1】（2020秋 石阡县期末）一个 ( http: / / www.21cnjy.com )正方体木块的体积是343cm3，现将他锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体的木块的表面积是 ．www.21-cn-jy.com
【变式6-2】（2021春 静海区月考）在一 ( http: / / www.21cnjy.com )个长、宽、高分别为8cm，4cm，2cm的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．
【变式6-3】（2021春 ( http: / / www.21cnjy.com )福州期末）如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是180cm3，求原正方形铁皮的边长．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
