中小学教育资源及组卷应用平台
专题4.3 实数-重难点题型
【苏科版】
( http: / / www.21cnjy.com )
【知识点1 无理数的概念】
无理数：无限不循环小数叫无理数．
无理数常见的三种类型：
（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数．
【题型1 无理数的概念】
【例1】（2021春 汉阴县期末）下列实数3π，，0，，﹣3.1415，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2021春 乌苏市期末）在实数3.14，，，1.7，，0，﹣π，4.262262226…（两个6之间依次增加一个“2”）中，无理数有（ ）21·cn·jy·com
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-2】（2021春 西双版纳期末）已知下列各数：，3.14159265，﹣3，，π，0.，0.3131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数一共有（ ）www.21-cn-jy.com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（2021春 扶沟县期末）下列各数﹣0.101001，，，，，0，中，无理数的个数有（ ）2·1·c·n·j·y
A．1 B．2 C．3 D．4
【知识点2 实数的分类】
【题型2 实数的分类】
【例2】（2021春 裕华区校级期末）把下列数填入相应的集合中．
，0.，，3．
（1）整数集合 ；
（2）分数集合 ；
（3）有理数集合 ；
（4）无理数集合 ；
（5）实数集合 ．
【变式2-1】（2020秋 杭州期中）用序号将下列各数填入相应的集合内．
①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧0.，⑨3.14
（1）整数集合{ …}；
（2）分数集合{ …}；
（3）无理数集合{ …}．
【变式2-2】（2020春 赣州期中）把下列各数分别填入相应的集合中
0，，，3.1415926，，2π，1，0.13030030003…，0.1，
（1）整数集合：{ …}
（2）分数集合：{ …}
（3）有理数集合：{ …}
（4）无理数集合：{ …}
【变式2-3】（2020秋 海曙区期中）把下列各数的序号填入相应的括号内①﹣3，②π，③，④﹣3.14，⑤，⑥0，⑦，⑧﹣1，⑨1.3，⑩1.8080080008…（两个“8”之间依次多一个“0”）．
整数集合{ …}；
负分数集合{ …}；
正有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
【题型3 实数的性质】
【例3】（2020春 丛台区校级月考）已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，则1的平方根为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
【变式3-1】（2020春 丛台区校级月考）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求abe2的值是（ ）21教育网
A． B． C．或 D．
【变式3-2】（2020春 渝中区校级月考）已知x是整数，当|x|取最小值时，x的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3-3】（2021春 营口期末）已知a、b满足，则a2+b2的平方根为 ．
【题型4 实数与数轴的关系】
【例4】（2021春 德阳期末）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，，且AC＝AB，则点C所表示的数为（ ）21cnjy.com
A．﹣1 B．﹣1 C．﹣2 D．1
【变式4-1】（2021春 景 ( http: / / www.21cnjy.com )县月考）如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点A、B，则点A表示的数为（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1 B．1 C．1 D．1
【变式4-2】（2021春 单县期末）数轴上A、C两点分别对应实数1和21，点A、C关于点B对称，则下列各数中，与点B所对应的数最接近的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-3】（2021春 铜官区期末）已知数轴上点A、B分别表示、，若点C也在数轴上，且AC＝2AB，则点C所表示的数为（ ）21*cnjy*com
A．32 B．2
C．或32 D．32或2
【题型5 利用数轴化简】
【例5】（2020秋 二七区校级月考）实数A，B在数轴上的位置，如图所示，那么化简|a+b|+|﹣a|的结果为 ．【出处：21教育名师】
【变式5-1】（2020秋 东坡区月考）实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：|a+b|．
【变式5-2】（2021 玉田县二模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中b＜0，且b的倒数是它本身，且a、c满足（c﹣4）2+|a+3|＝0．【版权所有：21教育】
（1）计算：a2﹣2a的值；
（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．
【变式5-3】（2021春 雨花区期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式|b﹣a||2b|的值．21*cnjy*com
【题型6 实数的应用】
【例6】（2021春 嘉祥县期末）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式6-1】如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．
（1）直接写出图（1）中正方形ABCD的面积及边长；
（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式6-2】如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）拼成的正方形的边长为 ．
（2）如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是 ．2-1-c-n-j-y
（3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．【来源：21cnj*y.co*m】
【变式6-3】（2020秋 瑞安市期中）如图（1），在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1．
（1）求图（1）中正方形ABCD的面积；
（2）如图（2），若点A在数轴上表示的数是﹣1，以A为圆心，AD为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ．21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题4.3 实数-重难点题型
【苏科版】
( http: / / www.21cnjy.com )
【知识点1 无理数的概念】
无理数：无限不循环小数叫无理数．
无理数常见的三种类型：
（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数．
【题型1 无理数的概念】
【例1】（2021春 汉阴县期末）下列实数3π，，0，，﹣3.1415，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数． ( http: / / www.21cnjy.com )理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．21cnjy.com
【解答】解：是分数，属于有理数；
0，，是整数，属于有理数；
﹣3.1415是有限小数，属于有理数；
无理数有3π，，，共3个．
故选：C．
【变式1-1】（2021春 乌苏市期末）在实数3.14，，，1.7，，0，﹣π，4.262262226…（两个6之间依次增加一个“2”）中，无理数有（ ）www.21-cn-jy.com
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据无理数的三种形式求解．
【解答】解：在实数3.14，，3，1.7，，0，﹣π，4.262262226…（两个6之间依次增加一个“2”）中，无理数有，﹣π，4.262262226…（两个6之间依次增加一个“2”），一共3个．
故选：B．
【变式1-2】（2021春 西双版纳期末）已知下列各数：，3.14159265，﹣3，，π，0.，0.3131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数一共有（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无限不循环小数是无理数即可判断无理数的个数．
【解答】解：，π，0.3131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1）是无理数，
故选：C．
【变式1-3】（2021春 扶沟县期末）下列各数﹣0.101001，，，，，0，中，无理数的个数有（ ）21教育名师原创作品
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据无理数的定义即可判断．
【解答】解：∵﹣0.101001是有限小数，
∴﹣0.101001不是无理数，
∵是无限不循环小数，
∴是无理数，
∵是有限小数，
∴不是无理数，
∵π是无限不循环小数，
∴是无理数，
∵是无限不循环小数，
∴是无理数，
∵0是整数，
∴0不是无理数，
∵4是整数，
∴不是无理数，
∴无理数有3个，
故选：C．
【知识点2 实数的分类】
【题型2 实数的分类】
【例2】（2021春 裕华区校级期末）把下列数填入相应的集合中．
，0.，，3．
（1）整数集合 ；
（2）分数集合 ；
（3）有理数集合 ；
（4）无理数集合 ；
（5）实数集合 ．
【分析】有理数和无理数统称为实数；整数和分数统称为有理数；常见的无理数有π家族，开方开不尽的数，无限不循环小数，逐一分析判断即可．【出处：21教育名师】
【解答】解：（1）整数集合，3；
（2）分数集合，；
（3）有理数集合，，，3；
（4）无理数集合，；
（5）实数集合，，，，，3．
【变式2-1】（2020秋 杭州期中）用序号将下列各数填入相应的集合内．
①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧0.，⑨3.14
（1）整数集合{ …}；
（2）分数集合{ …}；
（3）无理数集合{ …}．
【分析】根据实数的分类：实数分为有理数、无理数．或者实数分为正实数、0、负实数．进行填空．
【解答】解：（1）整数集合{③④⑥…}；
（2）分数集合{①⑧⑨…}；
（3）无理数集合{②⑤⑦…}．
故答案为：③④⑥；①⑧⑨；②⑤⑦．
【变式2-2】（2020春 赣州期中）把下列各数分别填入相应的集合中
0，，，3.1415926，，2π，1，0.13030030003…，0.1，
（1）整数集合：{ …}
（2）分数集合：{ …}
（3）有理数集合：{ …}
（4）无理数集合：{ …}
【分析】（1）根据整数的定义选出即可；
（2）根据负数和分数的定义选出即可；
（3）根据有理数的定义选出即可；
（4）根据无理数的定义选出即可．
【解答】解：4，5，
（1）整数集合：{0，，，…}；
（2）分数集合：{，3.1415926，0.1，…}；
（3）有理数集合：{0，，，3.1415926，0.1，，…}；
（4）无理数集合：{，2π，1，0.13030030003…，…}．
故答案为：0，，；，3.1415926，0.1；0，，，3.1415926，0.1，；，2π，1，0.13030030003…．【版权所有：21教育】
【变式2-3】（2020秋 海曙区期中）把下列各数的序号填入相应的括号内①﹣3，②π，③，④﹣3.14，⑤，⑥0，⑦，⑧﹣1，⑨1.3，⑩1.8080080008…（两个“8”之间依次多一个“0”）．
整数集合{ …}；
负分数集合{ …}；
正有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
【分析】根据有理数的定义及分类方法即可得出答案．
【解答】解：∵，
又∵整数有正整数和负整数，
∴整数有：①③⑥⑧，
根据负分数的定义知负分数有：④，
根据正有理数的定义知正有理数有：⑦⑨，
∵无理数是指无限不循环小数，
∴无理数有②⑤⑩，
故答案为①③⑥⑧，④，⑦⑨，②⑤⑩．
【题型3 实数的性质】
【例3】（2020春 丛台区校级月考）已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，则1的平方根为（ ）2-1-c-n-j-y
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
【分析】直接利用倒数的定义以及相反数的定义分别分析得出答案．
【解答】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数，
∴ab＝1，c+d＝0，
则1
＝﹣1+0+1
＝0．
故选：C．
【变式3-1】（2020春 丛台区校级月考）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求abe2的值是（ ）21·世纪*教育网
A． B． C．或 D．
【分析】直接利用倒数以及互为相反数、绝对值、算术平方根的定义分别分析得出答案．
【解答】解：∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，
∴ab＝1，c+d＝0，e＝±，f＝64，
故abe2
0+2+4
．
故选：D．
【变式3-2】（2020春 渝中区校级月考）已知x是整数，当|x|取最小值时，x的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据绝对值的意义，由于最接近的整数是5，可得结论．
【解答】解：∵，4.52＝20.25＞16，
∴4.55，
∴|x|取最小值时，x＝5．
故选：C．
【变式3-3】（2021春 营口期末）已知a、b满足，则a2+b2的平方根为 ．
【分析】由二次根式中必须a≥0可得，﹣（4+a）2≥0，得4+a＝0后，a、b的值就可求解，最终求得结果．21*cnjy*com
【解答】解：由题意可得﹣（4+a）2≥0，
∴（4+a）2≤0，
而（4+a）2≥0，
∴4+a＝0，
解得a＝﹣4，
∴b0，
解得b，
∴a2+b2的平方根为．
故答案为：．
【题型4 实数与数轴的关系】
【例4】（2021春 德阳期末）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，，且AC＝AB，则点C所表示的数为（ ）21·cn·jy·com
A．﹣1 B．﹣1 C．﹣2 D．1
【分析】设点C表示的数为x，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出点C的数即可．
【解答】解：设点C表示的数x，
根据AC＝AB得：（﹣1）＝﹣1﹣x，即1＝﹣1﹣x，
解得：x＝﹣2，
则点C 表示的数为﹣2．
故选：C．
【变式4-1】（2021春 景县月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点A、B，则点A表示的数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1 B．1 C．1 D．1
【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可．
【解答】解：∵正方形的面积为3，
∴正方形的边长为，
即圆的半径为，
∴点A表示的数为1．
故选：A．
【变式4-2】（2021春 单县期末）数轴上A、C两点分别对应实数1和21，点A、C关于点B对称，则下列各数中，与点B所对应的数最接近的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接根据中点坐标公式即可得出结论．
【解答】解：∵点A与C关于点B对称，
∴点B是线段AC的中点，
∴点B所对应的实数为，
∵12，且1.52＝2.25＜3，
∴与点B所对应的数最接近的是2．
故选：B．
【变式4-3】（2021春 铜官区期末）已知数轴上点A、B分别表示、，若点C也在数轴上，且AC＝2AB，则点C所表示的数为（ ）21世纪教育网版权所有
A．32 B．2
C．或32 D．32或2
【分析】数轴上两个不同的点之间的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离可以用右边点代表的数减去左边点代表的数，本题由于不知道AC两点的位置，可以用AC两个点代表的数的差的绝对值来表示AC之间的距离，进而列出一个一元一次方程求解出C点所代表的数
【解答】解：设数轴上点C所表示的数为x
由题AC＝2AB，AC＝|x|，AB
可得|x|＝2（）
∴±（x）＝2（）
∴x＝32或2，C点表示的数为32或2，可得D选项为正确答案
故选：D．
【题型5 利用数轴化简】
【例5】（2020秋 二七区校级月考）实数A，B在数轴上的位置，如图所示，那么化简|a+b|+|﹣a|的结果为 ．
【分析】借助数轴判断出a，b，c的符号，进行绝对值和立方根的化简即可．
【解答】解：由数轴知：a+b＜0，a＜0，
∴|a+b|+|﹣a|（a+b）﹣a+b
＝﹣a﹣b﹣a+b
＝﹣2a．
故答案为：﹣2a．
【变式5-1】（2020秋 东坡区月考）实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：|a+b|．
【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后利用算术平方根和绝对值的性质解答即可．
【解答】解：由图可知，b＜0＜a，且|a|＜|b|，
所以，a+b＜0，
所以，|a+b|
＝﹣a﹣b﹣a﹣（a﹣b）
＝﹣a﹣b﹣a﹣a+b
＝﹣3a．
【变式5-2】（2021 玉田县二模） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中b＜0，且b的倒数是它本身，且a、c满足（c﹣4）2+|a+3|＝0．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）计算：a2﹣2a的值；
（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．
【分析】（1）利用非负数的性质求出a与c的值，代入原式计算即可求出值；
（2）根据a，b的值，确定出中点坐标，进而求出与C重合的点即可．
【解答】解：（1）∵（c﹣4）2+|a+3|＝0，
∴c﹣4＝0，a+3＝0，
解得：a＝﹣3，c＝4，
则原式＝a2﹣2a（﹣3）2﹣2×（﹣3）9﹣（﹣6）﹣2＝13；
（2）∵b＜0，且b的倒数是它本身，
∴b＝﹣1，
∵a＝﹣3，
∴﹣3和﹣1重合，﹣3和﹣1的中点为﹣2，
∵c＝4，
∴与点C重合的点表示的数是﹣8；
故答案为：（1）13；（2）﹣8．
【变式5-3】（2021春 雨花区期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式|b﹣a||2b|的值．21教育网
【分析】根据c为8的立方根，求得c＝2，因为a＜0，b﹣a＜0，b﹣c＜0，2b＜0，根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可．
【解答】解：∵c为8的立方根，
∴c＝2，
∵a＜0，b﹣a＜0，b﹣c＜0，2b＜0，
∴原式＝|a|+|b﹣a|+|b﹣c|﹣|2b|
＝﹣a+a﹣b+c﹣b+2b
＝c
＝2．
【题型6 实数的应用】
【例6】（2021春 嘉祥县期末）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；
（3）用点A表示的数减去边长即可得解．
【答案】解：（1）设魔方的棱长为x，
则x3＝8，解得：x＝2；
（2）∵棱长为2，
∴每个小立方体的边长都是1，
∴正方形ABCD的边长为：，
∴S正方形ABCD2；
（3）∵正方形ABCD的边长为，点A与﹣1重合，
∴点D在数轴上表示的数为：﹣1，
故答案为：﹣1．
【变式6-1】如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．
（1）直接写出图（1）中正方形ABCD的面积及边长；
（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）根据面积求出正方形的边长，再根据边长的长和面积公式即可求出答案；
（2）根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形，利用圆规，以O为圆心，正方形的边长为半径画弧可得实数的位置．21*cnjy*com
【答案】解：（1）正方形的边长是：，
面积为：5．
（2）见图：在数轴上表示实数，
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式6-2】如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）拼成的正方形的边长为 ．
（2）如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是 ．
（3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．
【分析】（1）设拼成的正方形的边长为a，根据总面积列方程可解答；
（2）结合（1），并根据圆中半径相等，结合数轴上点的特点可解答；
（3）根据图形求出阴影部分的面积，即为新正方形的面积，开方即可求出边长．
【答案】解：（1）设拼成的正方形的边长为a，
则a2＝5，
a，
即拼成的正方形的边长为，
故答案为：；
（2）由（1）得点A表示的数为1，
故答案为：1；
（3）根据图形得：S阴影＝2×2×22×24+2＝6，即新的正方形的面积为6，新正方形的边长为．
【变式6-3】（2020秋 瑞安市期中）如图（1），在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1．
（1）求图（1）中正方形ABCD的面积；
（2）如图（2），若点A在数轴上表示的数是﹣1，以A为圆心，AD为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）求出正方形ABCD边长即可得面积；
（2）E表示的数比﹣1大，用﹣1加上AE长度即为E表示的数．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD边长为：，
∴正方形ABCD的面积是（）2＝10；
（2）∵正方形ABCD边长为，
∴AE＝AD，
∴E表示的数比﹣1大，即E表示的数为﹣1，
故答案为：﹣1．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
