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专题4.4 估算-重难点题型
【苏科版】
( http: / / www.21cnjy.com )
【知识点1 估算法】
（1）若，则；
（2）若，则；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．21教育网
常见实数的估算值：，，．
【题型1 估算无理数的范围】
【例1】（2020秋 本溪期末）估计的值在（ ）
A．3.2和3.3之间 B．3.3和3.4之间
C．3.4和3.5之间 D．3.5和3.6 之间
【变式1-1】（2021春 丰台区校级期末）通过估算，估计的值应在（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
【变式1-2】（2021 江阳区一模）已知，则以下对m的估算正确的是（ ）
A．3＜m＜4 B．4＜m＜5 C．5＜m＜6 D．6＜m＜7
【变式1-3】（2021春 沙坪坝区校级期末）估算5的值是在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【题型2 已知无理数的范围求值】
【例2】（2021春 蚌埠期末）若两个连续整数x，y满足x2＜y，则x+y的值是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【变式2-1】（2021 九龙坡区校级模拟）已知整数m满足，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-2】（2021 永安市一模）若aa+1，其中a为整数，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-3】（2021 北京）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且nn+1，则n的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A．43 B．44 C．45 D．46
【题型3 估算无理数最接近的值】
【例3】（2021 玄武区二模）下列整数中，与10最接近的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3-1】（2021 九龙坡区校级模拟）下列整数中，与4+2的值最接近的是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式3-2】（2021春 厦门期末）若m＝5n（m、n是正整数），且，则与实数的最大值最接近的数是（ ）21cnjy.com
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式3-3】（2021春 赣州期末）与实数1最接近的整数是 ．
【题型4 无理数整数、小数部分问题】
【例4】（2021春 岚山区期末）我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．因为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用1来表示的小数部分．根据这个方法完成下列问题：www.21-cn-jy.com
（1）的整数部分为 ，小数部分为 ；
（2）已知的整数部分a，6的整数部分为b，求a+b的立方根．
【变式4-1】（2021春 昭通期末）阅读材料：
∵，即23，
∴02＜1，
∴的整数部分为2，的小数部分为2．
解决问题：
（1）填空：的小数部分是 ；
（2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求a+b的立方根．
【变式4-2】（2021春 福州期末）阅读下列内容：因为1＜2＜4，所以12，所以的整数部分是1，小数部分是1．21·cn·jy·com
试解决下列问题：
（1）求的整数部分和小数部分；
（2）若已知9和9的小数部分分别是a和b，求ab﹣3a+4b+8的值．
【变式4-3】（2021春 恩施市月考）阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．【来源：21·世纪·教育·网】
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5﹣2得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如23，是因为：根据上述信息，回答下列问题：2·1·c·n·j·y
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）10也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜10b则a+b＝ ．
（3）若3＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请求x﹣y的相反数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题4.4 估算-重难点题型
【苏科版】
( http: / / www.21cnjy.com )
【知识点1 估算法】
（1）若，则；
（2）若，则；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．21·cn·jy·com
常见实数的估算值：，，．
【题型1 估算无理数的范围】
【例1】（2020秋 本溪期末）估计的值在（ ）
A．3.2和3.3之间 B．3.3和3.4之间
C．3.4和3.5之间 D．3.5和3.6 之间
【解题思路】估算11.6的算术平方根，即可得出答案．
【解答过程】解：∵3.52＝12.25，3.42＝11.56，而12.25＞11.6＞11.56
∴3.43.5，
故选：C．
【变式1-1】（2021春 丰台区校级期末）通过估算，估计的值应在（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
【解题思路】因为33＝27，43＝64，由27＜40＜64，得的值在3和4之间，即可解答．
【解答过程】解：∵27＜40＜64，
∴34．
故选：C．
【变式1-2】（2021 江阳区一模）已知，则以下对m的估算正确的是（ ）
A．3＜m＜4 B．4＜m＜5 C．5＜m＜6 D．6＜m＜7
【解题思路】估算确定出的范围，计算3，进而确定出m的范围即可．
【解答过程】解：∵23，3，
∴53＜6，
∵m3，
∴m的范围为5＜m＜6．
故选：C．
【变式1-3】（2021春 沙坪坝区校级期末）估算5的值是在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【解题思路】由题意得原式＝2，根据45即可得解．
【解答过程】解：∵3，
∴52，
∵45，
∴估算5的值在4和5之间，
故选：B．
【题型2 已知无理数的范围求值】
【例2】（2021春 蚌埠期末）若两个连续整数x，y满足x2＜y，则x+y的值是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【解题思路】先利用“夹逼法”求的整数部分，再利用不等式的性质可得2在哪两个整数之间，进而求解．
【解答过程】解：∵4＜5＜9，
∴23，
∴42＜5，
∵两个连续整数x、y满足x2＜y，
∴x＝4，y＝5，
∴x+y＝4+5＝9．
故选：C．
【变式2-1】（2021 九龙坡区校级模拟）已知整数m满足，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】本题从的整数大小范围出发，然后确定m的大小．
【解答过程】解：∵2，34，m，
∴2＜m≤3．
∵m是整数，
∴m＝3，
故选：B．
【变式2-2】（2021 永安市一模）若aa+1，其中a为整数，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】先把化简，再估算的范围即可．
【解答过程】解：，
∵22＜7＜32，
∴，
∵aa+1，其中a为整数，
∴a＝2．
故选：B．
【变式2-3】（2021 北京）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且nn+1，则n的值为（ ）www.21-cn-jy.com
A．43 B．44 C．45 D．46
【解题思路】先写出2021所在的范围，再写的范围，即可得到n的值．
【解答过程】解：∵1936＜2021＜2025，
∴4445，
∴n＝44，
故选：B．
【题型3 估算无理数最接近的值】
【例3】（2021 玄武区二模）下列整数中，与10最接近的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】先估算出的范围，再估算10的范围即可．
【解答过程】解：∵25＜30＜36，30离25更近，
∴56，且更接近5，
∴﹣65，且更接近﹣5，
∴4＜105，且更接近5．
故选：C．
【变式3-1】（2021 九龙坡区校级模拟）下列整数中，与4+2的值最接近的是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解题思路】先估算出的大小，进而估算出的大小，从而得出与4+2的值最接近的整数．
【解答过程】解：因为2.42＜6＜2.52，
所以，
所以，
所以8.89，
所以与4+2的值最接近的是9．
故选：C．
【变式3-2】（2021春 厦门期末）若m＝5n（m、n是正整数），且，则与实数的最大值最接近的数是（ ）21·世纪*教育网
A．4 B．5 C．6 D．7
【解题思路】根据m的取值范围确定n的取值，再根据m、n为整数，确定n的最大值，再估算即可．
【解答过程】解：∵，
∴100＜m＜144，
∴2028.8，
即20＜n＜28.8，
又∵m、n是正整数，
∴n的最大值为28，
∵25比36更接近28，
∴的值比较接近，即比较接近5，
故选：B．
【变式3-3】（2021春 赣州期末）与实数1最接近的整数是 ．
【解题思路】首先估算最接近2，从而求出1的结果最接的整数是1．
【解答过程】解：∵，
即23，
且更接近于2，
∴实数1最接的整数是1．
故答案应为：1．
【题型4 无理数整数、小数部分问题】
【例4】（2021春 岚山区期末）我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．因为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用1来表示的小数部分．根据这个方法完成下列问题：21教育网
（1）的整数部分为 ，小数部分为 ；
（2）已知的整数部分a，6的整数部分为b，求a+b的立方根．
【解题思路】（1）根据67求的整数部分和小数部分；
（2）求的整数部分4，6的整数部分为4，得a+b的立方根．
【解答过程】解：（1）∵67，
∴整数部分为 6，小数部分为 6．
故答案为：6、6．
（2）∵45，
∴a＝4．
∵4＜65，
∴b＝4．
∴2．
【变式4-1】（2021春 昭通期末）阅读材料：
∵，即23，
∴02＜1，
∴的整数部分为2，的小数部分为2．
解决问题：
（1）填空：的小数部分是 ；
（2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求a+b的立方根．
【解题思路】（1）根据求23无理数的取值范围，进而得实数小数部分；
（2）由910得a的值，12得b的值，再进行相应的计算．
【解答过程】解：（1）∵23，
∴的整数部分是2，
∴小数部分是．
故答案为：2．
（2）∵910，
∴a＝9．
∵12，
∴b1，
∴a+b8，
∴a+b的立方根＝2．
【变式4-2】（2021春 福州期末）阅读下列内容：因为1＜2＜4，所以12，所以的整数部分是1，小数部分是1．21世纪教育网版权所有
试解决下列问题：
（1）求的整数部分和小数部分；
（2）若已知9和9的小数部分分别是a和b，求ab﹣3a+4b+8的值．
【解题思路】（1）仿照阅读材料，即可求出的整数部分和小数部分；
（2）先求出9和9的小数部分，得到a，b的值，再代入求值即可．
【解答过程】解：（1）∵9＜13＜16，
∴34，
∴的整数部分是3，小数部分是3；
（2）∵9小数部分是3，9的整数部分是5，
∴9的小数部分是95＝4，
∴a3，b＝4，
∴原式＝（3）（4）﹣3（3）+4（4）+8
＝413﹣12+339+16﹣48
＝8．
【变式4-3】（2021春 恩施市月考）阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．21cnjy.com
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5﹣2得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如23，是因为：根据上述信息，回答下列问题：2·1·c·n·j·y
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）10也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜10b则a+b＝ ．
（3）若3＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请求x﹣y的相反数．
【解题思路】（1）先估算在哪两个整数之间，即可确定的整数部分和小数部分；
（2）先估算出的整数部分，再利用不等式的性质即可确定答案；
（3）先求出的整数部分，得到3的整数部分即为x的值，从而表示出y的结果，再求x﹣y的相反数即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答过程】解：（1）∵9＜13＜16，
∴34，
∴的整数部分为3，小数部分为3．
故答案为：3，3；
（2）∵1＜3＜4，∴12，
∴10+1＜1010+2，
即11＜1012，
∴a＝11，b＝12，
∴a+b＝23．
故答案为：23；
（3）∵25＜30＜36，
∴56，
∴5﹣33＜6﹣3，
即23＜3，
∴3的整数部分为2，小数部分为3﹣25，
∴x＝2，y5，
∴x﹣y＝2﹣（5）＝7，
∴x﹣y的相反数为7．
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