专题5.2 图形在坐标系中的平移-重难点题型
【苏科版】
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【知识点1 点在坐标系中的平移】
平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
（1）一次平移：P（x，y） P'（x＋a，y）
P（x，y） P'（x，y －b）www-2-1-cnjy-com
（2）二次平移： 21*cnjy*com
【题型1 点在坐标系中的平移】
【例1】（2021春 开福区校级期中）在平面 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（ ）21*cnjy*com
A．（2，5） B．（0，﹣3） C．（﹣2，5） D．（5，﹣3）
【解题思路】根据向左平移，横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出x、y，然后写出即可．
【解答过程】解：∵点A（x，y）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，
∴x﹣3＝﹣3，y+5＝2，
解得x＝0，y＝﹣3，
所以，点A的坐标是（0，﹣3）．
故选：B．
【变式1-1】（2021春 ( http: / / www.21cnjy.com ) 重庆期中）在平面直角坐标系中，点A（m，n）经过平移后得到的对应点A′（m+3，n﹣4）在第二象限，则点A所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】构建不等式求出m，n的范围可得结论．
【解答过程】解：由题意，，
解得，
∴A（m，n）在第二象限，
故选：B．
【变式1-2】（2021春 江夏区期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a+2，b﹣6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，﹣3），则A点坐标为（ ）
A．（6，﹣1） B．（2，﹣6） C．（﹣9，6） D．（2，3）
【解题思路】点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3），由此可得结论．
【解答过程】解：由题意，点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3），
∴点A坐标（4﹣2，﹣3+6），即（2，3），
故选：D．
【变式1-3】（2021春 ( http: / / www.21cnjy.com ) 新罗区期末）在平面直角坐标系中，将A（n2，1）沿着x的正方向向右平移3+n2个单位后得到B点．有四个点M（﹣2n2，1）、N（3n2，1）、P（n2，n2+4）、Q（n2+1，1），一定在线段AB上的是（ ）
A．点M B．点Q C．点P D．点N
【解题思路】根据平移的过程以及四个点的坐标进行分析比较即可判断．
【解答过程】解：∵将A （n2，1）沿着x的正方向向右平移n2+3个单位后得到B点，
∴B（2n2+3，1），
∵n2≥0，
∴2n2+3＞0，
∴线段AB在第一象限，点B在点A右侧，且与x轴平行，距离x轴1个单位，
因为点M（﹣2n2，1）距离x轴1个单位，在点A左侧，当n＝0时，M点可以跟A点重合，点M不一定在线段AB上．
点N（3n2，1）距离x轴1个单位 ( http: / / www.21cnjy.com )，沿着x的正方向向右平移2n2个单位后得到的，不一定在线段AB上，有可能在线段AB延长线上．不在线段AB上，
点P（n2+2，n2+4）在点A右侧，且距离x轴n2+4个单位，不一定在线段AB上，
点Q（n2+1，1）距离x轴1个单位，是将A （n2，1）沿着x的正方向向右平移1个单位后得到的，一定在线段AB上．
所以一定在线段AB上的是点Q．
故选：B．
【知识点2 图形在坐标系中的平移】
在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【题型2 图形在坐标系中的平移】
【例2】（2021春 深圳校级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）如图，△ABC经过一定的平移得到△A′B′C′，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A′B′C′上的对应点P′的坐标为（ ）
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A．（a﹣2，b﹣3） B．（a﹣3，b﹣2） C．（a+3，b+2） D．（a+2，b+3）
【解题思路】找到一对对应点的平移规律，让点P的坐标也做相应变化即可．
【解答过程】解：△ABC向右平移3个单位，向上平移2个单位得到△A′B′C′，
∴P′（a+3，b+2），
故选：C．
【变式2-1】（2021 邛崃市模拟）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在平面直角坐标系中，已知点M（2，1），N（1，﹣1），平移线段MN，使点M落在点M'（﹣1，2）处，则点N对应的点N'的坐标为（ ）
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A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（﹣1，1） D．（﹣3，﹣1）
【解题思路】利用平移的性质画出图形，可得结论．
【解答过程】解：观察图象可知，N′（﹣2，0），
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故选：A．
【变式2-2】（2021春 东湖区 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，点A、B的坐标分别是为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．18 B．20 C．28 D．36
【解题思路】直接利用平移中点的变化 ( http: / / www.21cnjy.com )规律求出m，n的值，再根据线段AB在平移过程中扫过的图形面积＝四边形ABB1A1的面积＝2△ABB1的面积求解即可．
【解答过程】解：∵点A、B的坐标分别是为（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，4）和（3，n），
∴可知将线段AB向右平移4个单位，向上平移3个单位得到A1B1的位置，
∴m＝1，n＝1，
∴A1与B1坐标分别是（1，4）和（3，1），
∴线段AB在平移过程中扫过的图形面积＝四边形ABB1A1的面积＝2△ABB1的面积＝26×3＝18，
故选：A．
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【变式2-3】（2020春 凉州区 ( http: / / www.21cnjy.com )校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（ ）
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A．（1，3） B．（5，1）
C．（1，3）或（3，5） D．（1，3）或（5，1）
【解题思路】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答过程】解：①如图1，当A平移到点C时，
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∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），
∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，
平移后的B坐标为（1，3），
②如图2，当B平移到点C时，
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∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），
∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，
∴平移后的A坐标为（5，1），
故选：D．
【题型3 图形在网格中的平移变换】
【例3】（2021春 锦江区校级月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）连接BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系 ．
（3）若点M（a﹣1，2b﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．21cnjy.com
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【解题思路】（1）利用坐标系可得点B和点B'的坐标，根据两点坐标可得平移方法；
（2）利用平移的性质进行计算即可；
（3）利用（1）中的平移方式可得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，再解即可．
【解答过程】解：（1）B（2，1），B′（﹣1，﹣2），
△A'B'C'是由△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的；
（2）由平移可得：∠CBC′＝BC′B′，
∵∠BC′B′＝∠BC′O+∠B′C′O＝90°+∠B′C′O，
∴∠CBC'＝90°+∠B′C′O；
（3）若M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随△ABC按（1）中方式平移后得到对应点N（2a﹣7，4﹣b），
则a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，
解得：a＝3，b＝4．
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【变式3-1】（2020 ( http: / / www.21cnjy.com )春 江汉区月考）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系 ；
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
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【解题思路】（1）由图形可得出点的坐标和平移方向及距离；
（2）根据平移的性质和平角的定义和平行线的性质即可求解；
（3）根据以上所得平移方式，利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律列出关于a、b的方程，解之求得a、b的值．
【解答过程】解：（1）由图知，B（2，1），B′（﹣1，﹣2），
三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3个单位，向下平移3个单位得到的；
（2）∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°．
故答案为：∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°；
（3）由（1）中的平移变换得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，
解得a＝3，b＝4．
故a的值是3，b的值是4．
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【变式3-2】（2020春 江岸区校级月考）在如图的直角坐标系中，将△ABC平移后得到△A′B′C′，它们的三个顶点坐标如表所示：【版权所有：21教育】
△ABC A（a，0） B（5，3） C（2，1）
△A′B′C′ A′（3，4） B′（7，b） C′（c，d）
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并 ( http: / / www.21cnjy.com )填空：△ABC向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度可以得到△A′B′C′；a＝ ，b＝ ．www.21-cn-jy.com
（2）求出线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积．
（3）若点M（m，n）为线段AB上的一点，则m、n满足的关系式是 ．
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【解题思路】（1）根据点A和B的坐标和点A′和B′的坐标可得答案；
（2）画出图形，然后再计算线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积即可；
（3）求出A、B所在直线的解析式，然后可得答案．
【解答过程】解：（1）∵A（a，0），A′（3，4），
∴△ABC向上平移4个单位后得到△A′B′C′，
∵B（5，3），B′（7，b），
∴△ABC向右平移2个单位后得到△A′B′C′，
∴a＝1，b＝3+4＝7，
故答案为：2；4；1；7；
（2）线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积：2×3+4×4＝22；
（3）设AB所在直线解析式为y＝kx+b，
∵A（1，0），B（5，3），
∴，
解得：，
∴AB所在直线解析式为yx，
∵点M（m，n）为线段AB上的一点，
∴nm，
即：3m﹣4n＝3，
故答案为：3m﹣4n＝3．
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【变式3-3】（2020春 ( http: / / www.21cnjy.com )金乡县期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度；
②点B的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
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【解题思路】（1）①根据平移的性质解决问题即可．
②根据点B的位置即可解决问题．
（2）利用分割法求三角形的面积即可．
（3）设P（0，m），利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．
【解答过程】解：（1）如图，
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①点M平移到点A的过程可以是：先向右平移3单位长度，再向上平移5个单位长度；
故答案为：右、3、上、5．
②B（6，3），
故答案为（6，3）．
（2）如图，
（3）存在．设P（0，m），由题意|4﹣m|×6＝3，
解得m＝3或5，
∴点P坐标为（0，3）或（0，5）．
【题型4 坐标系内的平移变换与角度计算综合】
【例4】（2020春 通山县期末）如图，在平 ( http: / / www.21cnjy.com )面直角坐标系中，点A（2，6），B（4，3），将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A'，B'，连接AA'交y轴于点C，BB'交x轴于点D．21·世纪*教育网
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（1）线段A'B'可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A'，B'的坐标；
（2）求四边形AA'B'B的面积；
（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A'DB'的数量关系，给出结论并说明理由．2-1-c-n-j-y
【解题思路】（1）利用平移变换的性质解决问题即可．
（2）利用分割法确定四边形的面积即可．
（3）分两种情形：点P在点C的上方，点P在点C的下方，分别求解即可．
【解答过程】解：（1）∵点A（2，6），B（4，3），
又∵将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，
∴线段A′B′是由线段AB向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，
∴A′（﹣2，0），B′（0，﹣3）．
（2）S四边形ABB′A′＝6×9﹣22×3﹣26×4＝24．
（3）连接AD．
∵B（4，3），B′（0，﹣3），
∴BB′的中点坐标为（2，0）在x轴上，
∴D（2，0）．
∵A（2，6），
∴AD∥y轴，
同法可证C（0，3），
∴OC＝OB′，
∵A′O⊥CB′，
∴A′C＝A′B′，
同法可证，B′A′＝B′D，
∴∠A′DB＝∠DA′B′，∠A′CB′＝∠A′B′C，
当点P在点C的上方时，
∵∠PCA′+∠A′CB′＝180°，∠A′B′C+∠DA′B′＝90°，
∴∠PCA′+90°﹣∠A′DB′＝180°，
∴∠PCA′﹣∠A′D′B′＝90°，
当点P在点C的下方时，∠PCA′+∠A′DB′＝90°．
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【变式4-1】（2021春 庆阳期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A、B向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A、B的对应点C、D，连接AC、BD、CD．21教育名师原创作品
（1）直接写出点C、D的坐标；
（2）如图②，点P是线段BD上的 ( http: / / www.21cnjy.com )一个动点，连接PC、PO，当点P在线段BD上运动时，试探究∠OPC、∠PCD、∠POB的数量关系，并证明你的结论．【出处：21教育名师】
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【解题思路】（1）根据点的平移规律得到C点和D点坐标，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形ABDC的面积．
（2）结论：∠OPC＝∠PCD+∠POB．过点P作PE∥CD．利用平行线的性质证明即可．
【解答过程】解：（1）由题意，点C的坐标为（0，2），D点坐标为（4，2），
∵AB∥CD，AC∥BD，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴四边形ABDC的面积＝2×4＝8．
（2）结论：∠OPC＝∠PCD+∠POB．
理由：过点P作PE∥CD．
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∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠EPC＝∠PCD，∠EPO＝∠POB，
∴∠OPC＝∠EPC+∠EPO＝∠PCD+∠POB．
【变式4-2】（2020春 大同期末）综合与实践
问题背景
如图，在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，5），将线段AB沿AC方向平移，平移距离为线段AC的长度．
动手操作
（1）画出AB平移后的线段CD，直接写出B的对应点D的坐标；
探究证明
（2）连接BD，试探究∠BAC，∠BDC的数量关系，并证明你的结论；
拓展延伸
（3）若点E在线段BD上，连接AD，AE，且满足∠EAD＝∠CAD，请求出∠ADB：∠AEB的值，并写出推理过程．
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【解题思路】（1）利用A、C点的坐标确定平移的方向与距离，从而得到D点坐标；
（2）利用平移的性质得到AB∥CD，A ( http: / / www.21cnjy.com )C∥BD，再根据平行线的性质得∠ABD+∠BDC＝180°，∠BAC+∠ABD＝180°，所以∠BAC＝∠BDC；21·cn·jy·com
（3）先由AC∥BD得到∠CAD＝∠ADB，∠AEB＝∠CAE，再由∠EAD＝∠CAD，然后利用等量代换可确定∠AEB＝2∠ADB．
【解答过程】解：（1）如图，CD为所作，
因为AB向右平移7个单位，
所以D点坐标为（7，1）；
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（2）∠BAC＝∠BDC．
理由如下：
∵AB平移后的线段CD，
∴AB∥CD，AC∥BD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，∠BAC+∠ABD＝180°，
∴∠BAC＝∠BDC；
（3）∠ADB：∠AEB＝1：2；
理由如下：∵AC∥BD，
∴∠CAD＝∠ADB，∠AEB＝∠CAE，
∵∠EAD＝∠CAD，
∴∠CAE＝2∠CAD，
∴∠AEB＝2∠ADB，
即∠ADB：∠AEB＝1：2．
【变式4-3】（2020春 鞍山期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（4，0），现将线段AB向右平移一个单位，向上平移4个单位，得到线段CD，点P是y轴上的动点，连接BP；2·1·c·n·j·y
（1）当点P在线段OC上时（如图一），判断∠CPB与∠PBA的数量关系；
（2）当点P在OC所在的直线上时，连接DP（如图二），试判断∠DPB与∠CDP，∠PBA之间的数量关系，请直接写出结论．
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【解题思路】（1）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）分三种情形：当点P在线段OC上时，当点P在线段OC的延长线上时，当点P在CO的延长线上时，分别求解即可．
【解答过程】解：（1）如图一中，结论：∠CPB＝90°+∠PBA．
理由：∠CPB+∠APB＝180°，∠APB+∠PAB+∠PBA＝180°
∴∠CPB＝∠POB+∠PBA，∠POB＝90°，
∴∠CPB＝90°+∠PBA．
（2）①如图二中，当点P在线段OC上时，结论：∠DPB＝∠CDP+∠PBA．
理由：作PE∥CD．
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∵AB∥CD，PE∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠CDP＝∠DPE，∠PBA＝∠EPB，
∴∠DPB＝∠DPE+∠BPE＝∠CDP+∠PBA．
②如图二①中，当点P在线段OC的延长线上时，结论：∠PBA＝∠PDC+∠DPB．
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理由：设BP交CD于T．
∵CD∥OB，
∴∠PTC＝∠PBA，
∵∠PTC＝∠PDC+∠DPB，
∴∠PBA＝∠PDC+∠DPB．
③如图二②中，当点P在CO的延长线上时，结论：∠PDC＝∠PBA+∠DPB．
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理由：设PD交AB于T．
∵CD∥OB，∴∠PDC＝∠PTA，
∵∠PTA＝∠PDC+∠DPB，
∴∠PDC＝∠PBA+∠DPB．
综上所述，∠DPB＝∠CDP+∠PBA或∠PBA＝∠PDC+∠DPB或∠PDC＝∠PBA+∠DPB．21教育网
向右平移a个单位
向下平移b个单位
P（x，y）
P（x－ a，y＋b）
向左平移a个单位
再向上平移b个单位专题5.2 图形在坐标系中的平移-重难点题型
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【知识点1 点在坐标系中的平移】
平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
（1）一次平移：P（x，y） P'（x＋a，y）
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（2）二次平移： 2·1·c·n·j·y
【题型1 点在坐标系中的平移】
【例1】（2021春 开福区校级期中）在 ( http: / / www.21cnjy.com )平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（ ）21·世纪*教育网
A．（2，5） B．（0，﹣3） C．（﹣2，5） D．（5，﹣3）
【变式1-1】（2021春 ( http: / / www.21cnjy.com )重庆期中）在平面直角坐标系中，点A（m，n）经过平移后得到的对应点A′（m+3，n﹣4）在第二象限，则点A所在的象限是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1-2】（2021春 江夏区期末） ( http: / / www.21cnjy.com )已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a+2，b﹣6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，﹣3），则A点坐标为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．（6，﹣1） B．（2，﹣6） C．（﹣9，6） D．（2，3）
【变式1-3】（2021春 新罗区期末） ( http: / / www.21cnjy.com )在平面直角坐标系中，将A（n2，1）沿着x的正方向向右平移3+n2个单位后得到B点．有四个点M（﹣2n2，1）、N（3n2，1）、P（n2，n2+4）、Q（n2+1，1），一定在线段AB上的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．点M B．点Q C．点P D．点N
【知识点2 图形在坐标系中的平移】
在平面直角坐标系内，把一个图形各个点 ( http: / / www.21cnjy.com )的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）【版权所有：21教育】
【题型2 图形在坐标系中的平移】
【例2】（2021春 深圳校级期中）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC经过一定的平移得到△A′B′C′，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A′B′C′上的对应点P′的坐标为（ ）
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A．（a﹣2，b﹣3） B．（a﹣3，b﹣2） C．（a+3，b+2） D．（a+2，b+3）
【变式2-1】（2021 邛崃市模拟）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，已知点M（2，1），N（1，﹣1），平移线段MN，使点M落在点M'（﹣1，2）处，则点N对应的点N'的坐标为（ ）21·cn·jy·com
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A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（﹣1，1） D．（﹣3，﹣1）
【变式2-2】（2021春 东湖区期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，点A、B的坐标分别是为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（ ）
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A．18 B．20 C．28 D．36
【变式2-3】（2020春 凉 ( http: / / www.21cnjy.com )州区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（ ）
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A．（1，3） B．（5，1）
C．（1，3）或（3，5） D．（1，3）或（5，1）
【题型3 图形在网格中的平移变换】
【例3】（2021春 锦江区校级月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）连接BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系 ．
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．2-1-c-n-j-y
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【变式3-1】（2020春 江汉区月考）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系 ；
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
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【变式3-2】（2020春 江岸区校级月考）在如图的直角坐标系中，将△ABC平移后得到△A′B′C′，它们的三个顶点坐标如表所示：
△ABC A（a，0） B（5，3） C（2，1）
△A′B′C′ A′（3，4） B′（7，b） C′（c，d）
（1）观察表中各对应点坐标的变 ( http: / / www.21cnjy.com )化，并填空：△ABC向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度可以得到△A′B′C′；a＝ ，b＝ ．【来源：21·世纪·教育·网】
（2）求出线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积．
（3）若点M（m，n）为线段AB上的一点，则m、n满足的关系式是 ．
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【变式3-3】（2020春 ( http: / / www.21cnjy.com )金乡县期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度；
②点B的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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【题型4 坐标系内的平移变换与角度计算综合】
【例4】（2020春 通山县期末）如图，在平 ( http: / / www.21cnjy.com )面直角坐标系中，点A（2，6），B（4，3），将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A'，B'，连接AA'交y轴于点C，BB'交x轴于点D．21cnjy.com
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（1）线段A'B'可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A'，B'的坐标；
（2）求四边形AA'B'B的面积；
（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A'DB'的数量关系，给出结论并说明理由．21世纪教育网版权所有
【变式4-1】（2021春 庆阳期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A、B向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A、B的对应点C、D，连接AC、BD、CD．21*cnjy*com
（1）直接写出点C、D的坐标；
（2）如图②，点P是线段BD上 ( http: / / www.21cnjy.com )的一个动点，连接PC、PO，当点P在线段BD上运动时，试探究∠OPC、∠PCD、∠POB的数量关系，并证明你的结论．21*cnjy*com
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【变式4-2】（2020春 大同期末）综合与实践
问题背景
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3 ( http: / / www.21cnjy.com )，5），点B的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，5），将线段AB沿AC方向平移，平移距离为线段AC的长度．【出处：21教育名师】
动手操作
（1）画出AB平移后的线段CD，直接写出B的对应点D的坐标；
探究证明
（2）连接BD，试探究∠BAC，∠BDC的数量关系，并证明你的结论；
拓展延伸
（3）若点E在线段BD上，连接AD，AE，且满足∠EAD＝∠CAD，请求出∠ADB：∠AEB的值，并写出推理过程．21教育名师原创作品
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【变式4-3】（2020春 鞍山期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（4，0），现将线段AB向右平移一个单位，向上平移4个单位，得到线段CD，点P是y轴上的动点，连接BP；
（1）当点P在线段OC上时（如图一），判断∠CPB与∠PBA的数量关系；
（2）当点P在OC所在的直线上时，连接DP（如图二），试判断∠DPB与∠CDP，∠PBA之间的数量关系，请直接写出结论．
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向右平移a个单位
向下平移b个单位
P（x，y）
P（x－ a，y＋b）
向左平移a个单位
再向上平移b个单位
