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专题5.4 平面直角坐标系中的规律问题专项训练（30道）
【苏科版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型！
1．（2021 张湾区模拟）如图，在平面 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如图顺序依次排列为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据这个规律，第2021个点的坐标为（ ）21教育网
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A．（46，4） B．（46，3） C．（45，4） D．（45，5）
2．（2021春 嘉祥县期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴、y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，则两个物体运动后的第2021次相遇地点的坐标是（ ）21cnjy.com
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A．（﹣1，﹣1） B．（2，0） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）
3．（2021春 德阳期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，已知A1（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1）…，则点A2021的坐标为（ ）21·cn·jy·com
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A．（505，﹣504） B．（506，﹣505） C．（505，﹣505） D．（﹣506，506）
4．（2021春 乌苏市期末）如图，在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次点A1向右跳到A2（2，1），第三次点A2跳到A3（﹣2，2），第四次点A3向右跳动至点A4，（3，2），…，依此规律跳动下去，则点A2019与点A2020之间的距离是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
5．（2021春 西宁期末）如图，在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中，A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…根据这个规律，探究可得点A2021的坐标是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．（2020，0） B．（2021，2） C．（2020，﹣2） D．（2021，﹣2）
6．（2021春 绥中县 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2021的坐标为（ ）
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A．（﹣505，﹣505） B．（﹣505，506）
C．（506，506） D．（505，﹣505）
7．（2021春 东港区校级期末）在平面 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点，已知点A1的伴随点A2，A2的伴随点A3，…，这样依次得到点A1，A2，A3，A4，…An，…若点A1的坐标为（3，1），则点A2021的坐标为（ ）21·世纪*教育网
A．（0，4） B．（﹣3，1） C．（0，﹣2） D．（3，1）
8．（2021春 上杭县期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1），…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．（6062，2020） B．（3032，1010）
C．（3030，1011） D．（6063，2021）
9．（2021春 九龙坡区期中） ( http: / / www.21cnjy.com )在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（﹣1，3），第四次从点A3跳动到点A4（﹣1，4），…，按此规律下去，则点A2021的坐标是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．（673，2021） B．（674，2021）
C．（﹣673，2021） D．（﹣674，2021）
10．（2021春 路南区期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第21秒时，点P的坐标为（ ）【出处：21教育名师】
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A．（21，﹣1） B．（21，0） C．（21，1） D．（22，0）
11．（2021春 铜梁 ( http: / / www.21cnjy.com )区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按“向上、向右、向下、向下、向右、向上…”的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（1，﹣1），…那么点A23的坐标是（ ）【版权所有：21教育】
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A．（7，﹣1） B．（8，1） C．（7，1） D．（8，﹣1）
12．（2021春 青龙县期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点P2022的坐标是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．（2022，1） B．（2022，2） C．（2022，﹣2） D．（2022，0）
13．（2021春 抚顺期末）如图，在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0）；（2，0）；（2，1）；（3，2）、（3，1），（3，0）、（4，0），…，根据这个规律探索可得，第20个点的坐标为（ ）21教育名师原创作品
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A．（6，4） B．（6，5） C．（7，3） D．（7，5）
14．（2021春 福州期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→…21*cnjy*com
则2021分钟时粒子所在点的横坐标为（ ）
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A．886 B．903 C．946 D．990
15．（2021春 海珠区校级月考）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点（1，0），然后按照图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（1，0）→（1，1）→（0，1）→（0，2）→…，且每秒移动一个单位，那么第2021秒时，点所在位置的坐标是（ ）
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A．（3，44） B．（41，44） C．（44，41） D．（44，3）
16．（2021春 凤翔县期末）如图，正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．（﹣2018，3） B．（﹣2018，﹣3） C．（﹣2021，3） D．（﹣2021，﹣3）
17．（2021春 武昌 ( http: / / www.21cnjy.com )区期中）如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点A2，再向正西方向走9米到达点A3，再向正南方向走12米到达点A4，再向正东方向走15米到达点A5，以此规律走下去，当种子到达点A10时，它在坐标系中坐标为（ ）
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A．（﹣12，﹣12） B．（15，18） C．（15，﹣12） D．（﹣15，18）
18．（2021春 西平 ( http: / / www.21cnjy.com )县期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，你观察图形，猜想由里向外第2021个正方形四条边上的整点个数共有（ ）
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A．2021个 B．4042个 C．6063个 D．8084个
19．（2021 河南模拟）某同学在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系内设计了一个动点运动的编程．若一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，则点A2021的坐标为（ ）
A．（22020﹣1，22020+1）
B．（22021﹣1，22021+1）
C．（22021﹣2，22021+2）
D．（22020﹣2021，22020+2021）
20．（2021春 蓝山县期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7……，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2020的坐标为（ ）
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A．（1010，0） B．（1012，0） C．（2，1012） D．（2，1010）
21．（2020 克什克腾旗二模）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，…，已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形的变化，按照变换规律，则点An的坐标是（ ）
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A．（2n，3） B．（2n﹣1，3） C．（2n+1，0） D．（2n，0）
22．（2021春 潍坊 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2021的坐标为 ．
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23．（2021春 龙港区 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，两种大小不等的正方形间隔排列在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1且A1的坐标为（2，2），A2的坐标为（5，2）．
（1）A3的坐标为 ；
（2）An的坐标为 ．（用含n的代数式表示）
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24．（2021春 新余期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点（1，2），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（2，﹣2），第4次接着运动到点（4，﹣2），第5次接着运动到点（4，0），第6次接着运动到点（5，2）．…按这样的运动规律，经过2021次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是 ．
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25．（2021 青田县模拟）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，动点P从（0，3）出发沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2021次碰到长方形的边时点P的坐标为 ．
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26．（2021春 广水市期末）如图，把 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上．将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2021次后，点P的坐标为 ．21*cnjy*com
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27．（2020春 江汉区期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标和纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点为（1，0），后面依次为（2，0），（1，1），（1，2），（2，1），（3，0）…，根据这个规律，第110个点的坐标为 ．
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28．（2020 浙江自主招 ( http: / / www.21cnjy.com )生）对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定Pn（x，y）＝P1（Pn﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2015（1，﹣1）＝ ．
29．（2021 东城区校级模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在平面直角坐标系xOy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线BnBn+1都在y轴上，且BnBn+1的长度依次增加1个单位长度，顶点An都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A1的纵坐标为 ；用n的代数式表示An的纵坐标： ．2-1-c-n-j-y
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30．（2021春 西城区校级期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）在直角坐标系中，我们把横，纵坐标都为整数的点叫敝整点，该坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发，速度为1cm/s，且整点p作向上或向右运动（如图1所示）．运动时间（s）与整点（个）的关系如下表：
整点P运动的时间（秒） 可以得到整点P的坐标 可以得到整点P的个数
1 （0，1）（1，0） 2
2 （0，2）（1，1）（2，0） 3
3 （0，3）（1，2）（2，1）（3，0） 4
… … …
根据上表的运动规律回答下列问题：
（1）当整点p从点O出发4s时，可以得到的整点的个数为 个；
（2）当整点p从点O出发8s时，在直角坐标系中描出可以得到的所有整点，并顺次连接这些整点；
（3）当整点P从点O出发 时，可以得到整点（16，4）的位置．
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专题5.4 平面直角坐标系中的规律问题专项训练（30道）
【苏科版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型！
1．（2021 张湾区模拟）如图，在平 ( http: / / www.21cnjy.com )面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如图顺序依次排列为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据这个规律，第2021个点的坐标为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．（46，4） B．（46，3） C．（45，4） D．（45，5）
【解题思路】观察图形可知，以最外边的矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．
【解答过程】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，www.21-cn-jy.com
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，
…
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵452＝2025，45是奇数，
∴第2025个点是（45，0），
第20201点是（45，4）．
故选：C．
2．（2021春 嘉祥县 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴、y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，则两个物体运动后的第2021次相遇地点的坐标是（ ）【出处：21教育名师】
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A．（﹣1，﹣1） B．（2，0） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）
【解题思路】根据两个物体运动速度和矩形周长，得到两个物体的相遇时间间隔，进而得到两个点相遇的位置规律．【版权所有：21教育】
【解答过程】解：由已知，矩形周长为12，
∵甲、乙速度分别为1单位/秒，2单位/秒，
则两个物体每次相遇时间间隔为4秒，
则两个物体相遇点依次为（﹣1，1）、（﹣1，﹣1）、（2，0），
∵2021＝3×673…2，
∴第2021次两个物体相遇位置为（﹣1，﹣1），
故选：A．
3．（2021春 德阳期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )已知A1（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1）…，则点A2021的坐标为（ ）
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A．（505，﹣504） B．（506，﹣505） C．（505，﹣505） D．（﹣506，506）
【解题思路】根据题意逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点A2021的坐标．
【解答过程】解：通过观察可 ( http: / / www.21cnjy.com )得数字是4的倍数的点在第三象限，4的倍数余1的点在第四象限，4的倍数余2的点在第一象限，4的倍数余3的点在第二象限，
∵2021÷4＝505…1，
∴点A2021在第四象限，且转动了505圈以后，在第506圈上，
∴A2021的坐标是（506，﹣505）．
故选：B．
4．（2021春 乌苏市期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次点A1向右跳到A2（2，1），第三次点A2跳到A3（﹣2，2），第四次点A3向右跳动至点A4，（3，2），…，依此规律跳动下去，则点A2019与点A2020之间的距离是（ ）
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A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
【解题思路】根据图形观察发现 ( http: / / www.21cnjy.com )，第2n﹣1次点A2n﹣2跳动至点A2n﹣1（﹣n，n），第2n次点A2n﹣1跳动至点A2n（n+1，n），可分别求出点A2019与点A2020的坐标，进而可求出点A2019与点A2020之间的距离．
【解答过程】解：观察发现，点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次点A1向右跳到A2（2，1），
第三次点A2跳到A3（﹣2，2），第四次点A3向右跳动至点A4（3，2），
第五次点A4跳到A5（﹣3，3），第六次点A5向右跳动至点A6（4，3），
…，
第2n﹣1次点A2n﹣2跳动至点A2n﹣1（﹣n，n），第2n次点A2n﹣1跳动至点A2n（n+1，n），
∴第2019次A2018跳到点A2019（﹣1010，1010）．第2020次跳动至点的坐标是（1011，1010），
∵点A2019与点A2020的纵坐标相等，
∴点A2019与点A2020之间的距离＝1011﹣（﹣1010）＝2021，
故选：A．
5．（2021春 西宁期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在平面直角坐标系中，A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…根据这个规律，探究可得点A2021的坐标是（ ）
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A．（2020，0） B．（2021，2） C．（2020，﹣2） D．（2021，﹣2）
【解题思路】由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，继而求得答案．21教育名师原创作品
【解答过程】解：观察图形可知，
点A1（1，2），A2（2，0）， ( http: / / www.21cnjy.com )A3（3，﹣2），A4（4，0）…的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，
2021÷4＝505…1，
故点A2021坐标是（2021，2）．
故选：B．
6．（2021春 绥中县期末）如图，在平 ( http: / / www.21cnjy.com )面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2021的坐标为（ ）
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A．（﹣505，﹣505） B．（﹣505，506）
C．（506，506） D．（505，﹣505）
【解题思路】根据各个点的位置关系，可得出 ( http: / / www.21cnjy.com )下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2021的在第三象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值＝（2021﹣1）÷4，再根据第三项象限内点的符号得出答案即可．21cnjy.com
【解答过程】解：∵2021÷4＝505 1，
∴点P2021的在第三象限的角平分线上，
∵点P5（﹣1，﹣1），
∴点P2021的在第三象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值＝（2021﹣1）÷4，
∴点P2021（﹣505，﹣505）．
故选：A．
7．（2021春 东港区校级期末）在平面直角 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点，已知点A1的伴随点A2，A2的伴随点A3，…，这样依次得到点A1，A2，A3，A4，…An，…若点A1的坐标为（3，1），则点A2021的坐标为（ ）21*cnjy*com
A．（0，4） B．（﹣3，1） C．（0，﹣2） D．（3，1）
【解题思路】根据“伴随点”的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2021除以4，根据商和余数的情况确定点A2021的坐标即可．
【解答过程】解：∵A1的坐标为（3，1），
∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2021÷4＝505 1，
∴点A2021的坐标与A1的坐标相同，为（3，1）．
故选：D．
8．（2021春 上杭县 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1），…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（6062，2020） B．（3032，1010）
C．（3030，1011） D．（6063，2021）
【解题思路】观察图形得到奇数点的规律为，A ( http: / / www.21cnjy.com )1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），由2019是奇数，且2021＝2n﹣1，则可求A2n﹣1（3032，1010）．
【解答过程】解：观察图形可得，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），
A2（3，2），A4（6，3），A6（9，4），…，A2n（3n，n+1），
∵2021是奇数，且2021＝2n﹣1，
∴n＝1011，
∴A2n﹣1（3032，1010），
故选：B．
9．（2021春 九龙坡区 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（﹣1，3），第四次从点A3跳动到点A4（﹣1，4），…，按此规律下去，则点A2021的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（673，2021） B．（674，2021）
C．（﹣673，2021） D．（﹣674，2021）
【解题思路】根据前几个点的坐标寻找规律即可求解．
【解答过程】解：因为A1（0，1），A2（1，2），
A3（﹣1，3），A4（﹣1，4），
A5（2，5），A6（﹣2，6），
A7（﹣2，7），A8（3，8），
…
A3n﹣1（n，3n﹣1），A3n（﹣n，3n），A3n+1（﹣n，3n+1）（n为正整数），
∵3×674﹣1＝2021，
∴n＝674，
所以A2021（674，2021），
故选：B．
10．（2021春 路南区期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第21秒时，点P的坐标为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（21，﹣1） B．（21，0） C．（21，1） D．（22，0）
【解题思路】计算点P走一个半圆的时间，确定第21秒点P的位置．
【解答过程】解：点P运动一个半圆用时为2秒，
∵21＝10×2+1，
∴21秒时，P在第11个的半圆的最高点，
∴点P坐标为（21，1），
故选：C．
11．（2021春 铜梁区 ( http: / / www.21cnjy.com )校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按“向上、向右、向下、向下、向右、向上…”的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（1，﹣1），…那么点A23的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（7，﹣1） B．（8，1） C．（7，1） D．（8，﹣1）
【解题思路】根据图象可得移动6次图象完成一个循环，从而可得出点A23的坐标．
【解答过程】解：∵23÷6＝3……5，
则A23的坐标是（3×2+2，﹣1），
∴A23的坐标是（8，﹣1）．
故选：D．
12．（2021春 青龙 ( http: / / www.21cnjy.com )县期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点P2022的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（2022，1） B．（2022，2） C．（2022，﹣2） D．（2022，0）
【解题思路】观察图象，结 ( http: / / www.21cnjy.com )合第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的横坐标和纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
【解答过程】解：观察图象，动点P第一次从原点 ( http: / / www.21cnjy.com )O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，
可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；
∵2022÷6＝337，
∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0，
故选：D．
13．（2021春 抚顺期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0）；（2，0）；（2，1）；（3，2）、（3，1），（3，0）、（4，0），…，根据这个规律探索可得，第20个点的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（6，4） B．（6，5） C．（7，3） D．（7，5）
【解题思路】横坐标为1的点有1个，纵 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标只是0；横坐标为2的点有2个，纵坐标是0或1；横坐标为3的点有3个，纵坐标分别是0，1，2…横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标为偶数，则从0开始数．
【解答过程】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，
依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，
第n列有n个数．则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．
因为1+2+3+…+6＝15，则第20个数一定在第6列，由下到上是第4个数．
因而第20个点的坐标是（6，4）．
故选：A．
14．（2021春 福州期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→…
则2021分钟时粒子所在点的横坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．886 B．903 C．946 D．990
【解题思路】根据点的坐标变化寻找规律即可．
【解答过程】解：一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到
（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→L，
发现：
当x＝0时，有两个点，共2个点，
当x＝1时，有3个点，x＝2时，1个点，共4个点；
当x＝3时，有4个点，x＝4，1个点，x＝5，1个点，共6个点；
当x＝6时，有5个点，x＝7，1个点，x＝8，1个点，x＝9，1个点，共8个点；
当x＝10时，有6个点，x＝11，1个点，x＝12，1个点，x＝13，1个点，x＝14，1个点，共10个点；
…
当x，有（n+1）个点，共2n个点；
2+4+6+8+10+…+2n≤2018，
2018且n为正整数，
得n＝44，
∵n＝44时，2+4+6+8+10+…+88＝1980，
且当n＝45时，2+4+6+8+10+…+90＝2070，
1980＜2021＜2070，
∴当n＝44时，x（44×45）＝990，
∴1980＜2021＜1980+46，
∴2021个粒子所在点的横坐标为990．
故选：D．
15．（2021春 海珠区 ( http: / / www.21cnjy.com )校级月考）如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点（1，0），然后按照图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（1，0）→（1，1）→（0，1）→（0，2）→…，且每秒移动一个单位，那么第2021秒时，点所在位置的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（3，44） B．（41，44） C．（44，41） D．（44，3）
【解题思路】根据题意找到动点即将离开两坐标轴时的位置，及其与点运动时间之间的关系即可．
【解答过程】解：观察可发现，点到（0，2）用4＝22秒，到（3，0）用9＝32秒，到（0，4）用16＝42秒，
则可知当点离开x轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y轴时的纵坐标为时间的平方，
此时时间为奇数的点在x轴上，时间为偶数的点在y轴上,
∵2021＝452﹣4＝2025﹣4，
∴第2025秒时，动点在（45，0），故第2021秒时，动点在（45，0）向左一个单位，再向上3个单位，
即（44，3）的位置．
故选：D．
16．（2021春 凤翔县期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（﹣2018，3） B．（﹣2018，﹣3） C．（﹣2021，3） D．（﹣2021，﹣3）
【解题思路】根据正方形ABCD的顶点A ( http: / / www.21cnjy.com )（1，1），B（3，1），可得AB＝BC＝2，C（3，3），先求出前几次变换后C点的坐标，一次变换即点C的横坐标向左移一个单位，又翻折次数为奇数时点C的纵坐标为﹣3，翻折次数为偶数时点C的纵坐标为3即．
【解答过程】解：∵正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），
∴AB＝BC＝2，
∴C（3，3），
一次变换后，点C1 的坐标为（2，﹣3），
二次变换后，点C2的坐标为（1，3），
三次变换后，点C3的坐标为（0，﹣3），
…，
通过观察得：翻折次数为奇数时点C的纵坐标为﹣3，翻折次数为偶数时点C的纵坐标为3，
∵2021是奇数，
∴点C的纵坐标为﹣3，其横坐标为3﹣2021×1＝﹣2018．
∴经过2021次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（﹣2018，﹣3）．
故选：B．
17．（2021春 武昌 ( http: / / www.21cnjy.com )区期中）如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点A2，再向正西方向走9米到达点A3，再向正南方向走12米到达点A4，再向正东方向走15米到达点A5，以此规律走下去，当种子到达点A10时，它在坐标系中坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（﹣12，﹣12） B．（15，18） C．（15，﹣12） D．（﹣15，18）
【解题思路】由题意可知：OA1＝3；A ( http: / / www.21cnjy.com )1A2＝3×2；A2A3＝3×3；可得规律：An﹣1An＝3n，根据规律可得到A9A10＝3×10＝30，进而求得A10的横纵坐标．
【解答过程】解：根据题意可知：OA1＝3， ( http: / / www.21cnjy.com )A1A2＝6，A2A3＝9，A3A4＝12，A4A5＝15，A5A6＝18 ，A9A10＝30，
∴A1点坐标为（3，0），
A2点坐标为（3，6），
A3点坐标为（﹣6，6），
A4点坐标为（﹣6，﹣6），
A5点坐标为（9，﹣6），
A6点坐标为（9，12），
以此类推，A9点坐标为（15，﹣12），
所以A10点横坐标为15，纵坐标为﹣12+30＝18，
∴A10点坐标为（15，18），
故选：B．
18．（2021春 西平县期末）在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，你观察图形，猜想由里向外第2021个正方形四条边上的整点个数共有（ ）21·世纪*教育网
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A．2021个 B．4042个 C．6063个 D．8084个
【解题思路】根据第一个正方形可以得到整点 ( http: / / www.21cnjy.com )个数为4，第二个正方形可知除顶点外每条边上的整点个数为1，故第二个正方形四条边上的整点个数为：4×1+4，同理可知，第三个正方形四条边上的整点个数为：4×2+4，从而可以得到第2021个正方形四条边上的整点个数．
【解答过程】解：根据题意可得，第一个正方形四条边上的整点个数为：4；
第二个正方形四条边上的整点个数为：4×1+4＝8；
第三个正方形四条边上的整点个数为：4×2+4＝12；
由此可得，由里向外第2021个正方形四条边上的整点个数为：4×2020+4＝8084．
故选：D．
19．（2021 河南模拟）某同学在平面 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系内设计了一个动点运动的编程．若一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，则点A2021的坐标为（ ）
A．（22020﹣1，22020+1）
B．（22021﹣1，22021+1）
C．（22021﹣2，22021+2）
D．（22020﹣2021，22020+2021）
【解题思路】仔细观察点的变化规律，利用规律写出答案即可．
【解答过程】解：∵一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，
∴An（2n﹣1，2n+1），
∴A2021的坐标为：（22021﹣1，22021+1），
故选：B．
20．（2021春 蓝山县期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7……，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2020的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（1010，0） B．（1012，0） C．（2，1012） D．（2，1010）
【解题思路】根据脚码确定出 ( http: / / www.21cnjy.com )脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，然后确定出第2020个点的坐标即可．
【解答过程】解：观察点的坐标变化发现：
当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：
当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，
当脚码是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，
因为2020能被4整除，
所以横坐标为2，纵坐标为1010，
故选：D．
21．（2020 克什克腾旗二模） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，…，已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形的变化，按照变换规律，则点An的坐标是（ ）21·cn·jy·com
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A．（2n，3） B．（2n﹣1，3） C．（2n+1，0） D．（2n，0）
【解题思路】根据已知点A、B的变化，可以发现点A、点B的变化规律：横坐标依次乘以2，纵坐标不变，可以求出An的坐标；
【解答过程】解：观察点A的变化：
A（1，3），
A1（2，3），
A2（4，3），
A3（8，3）．
可以发现点A的变化规律：横坐标依次乘以2，纵坐标不变，
∴A4的坐标（16，3），B4的坐标为（32，0）．
∴将△OAB进行n次变换得到△OAnBn，则可知An的坐标为（2n，3），
故选：A．
二．填空题（共8小题）
22．（2021春 潍坊期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2021的坐标为 （12132，3） ．21*cnjy*com
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【解题思路】根据点A（3，0），B（0，4）得AB＝5，再根据旋转的过程寻找规律即可求解．
【解答过程】解：∵∠AOB＝90°，
点A（3，0），B（0，4），
根据勾股定理得AB＝5，
根据旋转可知：OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，
所以点A1 （12，3），A2（15，0）；
继续旋转得A3 （24，3），A4（27，0）；
…
发现规律：A2n﹣1（12n，3），A2n（12n+3，0），
∵2021＝2n﹣1，
∴n＝1011，
∴点A2021的坐标为（12132，3），
故答案为：（12132，3）．
23．（2021春 龙港区 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，两种大小不等的正方形间隔排列在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1且A1的坐标为（2，2），A2的坐标为（5，2）．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）A3的坐标为 （8，2） ；
（2）An的坐标为 （3n﹣1，2） ．（用含n的代数式表示）
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【解题思路】根据已知条件与图形可知，大正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形的对角线长为2，由此可得规律：A1，A2，A3，…，An各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果；
【解答过程】解：（1）∵A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2），
∴A1，A2，A3，…，An各点的纵坐标均为2，
∵小正方形的边长为1，
∴A1，A2，A3，…，An各点的横坐标依次大3，
∴A3（5+3，2），An（2+3（n﹣1），2），
即A3（8，2）；
故答案为（8，2）；
（2）An（3n﹣1，2），
故答案为（3n﹣1，2）；
24．（2021春 新余期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点（1，2），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（2，﹣2），第4次接着运动到点（4，﹣2），第5次接着运动到点（4，0），第6次接着运动到点（5，2）．…按这样的运动规律，经过2021次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是 （1617，2） ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解题思路】根据已知提供的数据从横纵坐标分别 ( http: / / www.21cnjy.com )分析得出横坐标的为1，2，2，4，4，4+1，4+2，4+2，4+4，4+4，每5次一轮，每次比前一次起始多4，这一规律纵坐标为2，0，﹣2，﹣2，0，2，0，﹣2，﹣2，0，…，每5次一轮这一规律，进而求出即可．
【解答过程】解：前五次运动横坐标分别为：1，2，2，4，4，
第6到10次运动横坐标分别为：4+1，4+2，4+2，4+4，4+4，
…
∴第5n+1到5n+5次运动横坐标分别为：4n+1，4n+2，4n+2，4n+4，4n+4，
前五次运动纵坐标分别为2，0，﹣2，﹣2，0，
第6到10次运动纵坐标分别为为2，0，﹣2，﹣2，0，
…
第5n+1到5n+5次运动纵坐标分别为2，0，﹣2，﹣2，0，
∵2021÷5＝404…1，
∴经过2021次运动横坐标为＝4×404+1＝1617，
经过2021次运动纵坐标为2，
∴经过2021次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是（1617，2）．
故答案为（1617，2）．
25．（2021 青田县 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟）如图，动点P从（0，3）出发沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2021次碰到长方形的边时点P的坐标为 （1，4） ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解题思路】根据反射角与入射 ( http: / / www.21cnjy.com )角的定义作出图形；由图可知，每6次反弹为一个循环组依次循环，用2018除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【解答过程】解：如图所示：经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2021÷6＝336…5，
∴当点P第2021次碰到矩形的边时为第337个循环组的第5次反弹，
∴点P的坐标为（1，4）．
故答案为：（1，4）．
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26．（2021春 广水市期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上．将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2021次后，点P的坐标为 （6065，2） ．
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【解题思路】首先求出P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．
【解答过程】解：第一次P1（5，2），
第二次P2（8，1），
第三次P3（10，1），
第四次P4（13，2），
第五次P5（17，2），
…
发现点P的位置4次一个循环，
∵2021÷4＝505余1，
P2021的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+12×505＝6065，
∴P2021（6065，2），
故答案为（6065，2）．
27．（2020春 江汉区期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标和纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点为（1，0），后面依次为（2，0），（1，1），（1，2），（2，1），（3，0）…，根据这个规律，第110个点的坐标为 （5，10） ．www-2-1-cnjy-com
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【解题思路】根据“→”方向，按照 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形斜边方向上的点的个数为连续自然数求出总个数的表达式，并且第奇数排从横坐标为1开始，第偶数排到最后一个点的横坐标为1结束，然后求出与第110个点最接近的点，然后确定答案即可．
【解答过程】解：从直角三角形斜边考虑，斜边上的点的个数分别为1、2、3、4、…，
所以点的总个数为：
1+2+3+4+…+n，
当n＝14时，105，
所以第110个点是当n＝15时的第5个点，
即第15个斜边上点为：
（1，14），（2，13），（3，12），（4，11），（5，10）…
所以第110个点的坐标为（5，10）．
故答案为（5，10）．
28．（2020 浙江自主招生）对点（ ( http: / / www.21cnjy.com )x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定Pn（x，y）＝P1（Pn﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2015（1，﹣1）＝ （0，21008） ．2-1-c-n-j-y
【解题思路】根据所给的已知条件，找出题目中的变化规律，得出当n为奇数时的坐标，即可求出P2015（1，﹣1）时的答案．
【解答过程】解：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝（2，﹣2）
P3（1，﹣1）＝（0，4），P4（1，﹣1）＝（4，﹣4）
P5（1，﹣1）＝（0，8），P6（1，﹣1）＝（8，﹣8）
…
当n为奇数时，Pn（1，﹣1）＝（0，），
∴P2015（1，﹣1）应该等于（0，21008）．
故答案是：（0，21008）．
29．（2021 东城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线BnBn+1都在y轴上，且BnBn+1的长度依次增加1个单位长度，顶点An都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A1的纵坐标为 2 ；用n的代数式表示An的纵坐标： ．
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【解题思路】作A1D⊥y轴于点D，可推出A1的纵坐标＝B1D+B1O＝1+12，A2的纵坐标4.5，则An的纵坐标为．
【解答过程】解：作A1D⊥y轴于点D，
则B1D＝B1B2÷2＝（3﹣1）÷2＝1，
∴A1的纵坐标＝B1D+B1O＝1+12，
同理可得A2的纵坐标＝OB2+（B2B3）÷2＝3+（6﹣3）÷24.5，
∴An的纵坐标为，
故答案为2，．
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三．解答题（共1小题）
30．（2021春 西城区校级期中）在直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中，我们把横，纵坐标都为整数的点叫敝整点，该坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发，速度为1cm/s，且整点p作向上或向右运动（如图1所示）．运动时间（s）与整点（个）的关系如下表：2·1·c·n·j·y
整点P运动的时间（秒） 可以得到整点P的坐标 可以得到整点P的个数
1 （0，1）（1，0） 2
2 （0，2）（1，1）（2，0） 3
3 （0，3）（1，2）（2，1）（3，0） 4
… … …
根据上表的运动规律回答下列问题：
（1）当整点p从点O出发4s时，可以得到的整点的个数为 5 个；
（2）当整点p从点O出发8s时，在直角坐标系中描出可以得到的所有整点，并顺次连接这些整点；
（3）当整点P从点O出发 20 时，可以得到整点（16，4）的位置．
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【解题思路】（1）根据表中所示的规律，点的个数比时间数多1，可计算出整点P从O点出发4秒时整点P的个数；21教育网
（2）由表中所示规律可知，横纵坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标的和等于时间，据此可得到整点P从点O出发8秒时，在直角坐标系中描出可以得到的所有整点，并顺次连接这些整点；
（3）由表中规律可知，横纵坐标的和等于时间，可得问题答案．
【解答过程】解：（1）根据表中所示的规律，点的个数比时间数多1，可计算出整点P从O点出发4秒时整点P的个数为5，
故答案为：5；
（2）由表中所示规律可知，横 ( http: / / www.21cnjy.com )纵坐标的和等于时间，则点的个数为（0，8），（1，7），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（7，1），（8，0）．如图：
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（3）由表中规律可知，横纵坐标的和等于时间，可得，16+4＝20秒．
故答案为：20．
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