中小学教育资源及组卷应用平台
24.1.4：圆周角--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．如图，四边形内接于，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠AOD=30°，则∠BCD的度数是（ ）
A．150° B．120° C．105° D．75°
3．如图，⊙O 是的外接圆，若，则角的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
4．如图，在⊙O上有三点A，B，C，连接OA，OC，BA，BC，若∠ABC＝110°，则∠AOC的大小为（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
5．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD＝25°，则∠AOD的度数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝，OD//AC，下列结论错误的是（ ）
A．∠C＝∠D B．∠BOD＝∠COD C．∠BAD＝∠CAD D．∠BOD＝∠BAC
7．如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接，相交于点E，若，，则的度数为（ ）
A．95° B．90° C．85° D．80°
8．如图，为的一条固定直径，自左半圆上一点，作弦，的平分线交于点，当点在左半圆（不包括，两点）上移动时，关于点的说法：
①到的距离始终不变；
②位置始终不变；
③始终平分；
④位置随点的移动而移动．
正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．② D．④
9．如图，内接于，其外角的平分线交于点D，点A为弧CD的中点．若，则的大小为（ ）
A．84° B．85° C．86° D．88°
10．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若∠CAB＝52°，则∠ADC的度数为（ ）
A．52° B．48° C．42° D．38°
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．140° B．40° C．70° D．50°
12．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠CAB＝30°，则∠D等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
13．如图，一个简易量角器放在∠BAC上面，则∠BAC的度数是（ ）
A．10° B．20° C．40° D．80°
14．如图，为的直径，点C、D在上，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，是的直径，为圆内一点，则下列说法中正确的是（ ）
A．是的弦 B．是圆心角
C．是圆周角 D．
16．如图，在中，点是上一点，若，则的度数是（ ）
A．80° B．100° C．120° D．130°
17．AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BDC＝32°，则∠AOC的度数为（ ）
A．32° B．64° C．116° D．128°
18．如图，、是的直径，，交于点，，则的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
19．如图，是的直径，点，在圆上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
20．如图CD是⊙O的直径，CD=10，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为的中点，P是直径CD上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．5 B． C．5 D．
21．如图，半径为5的经过点C和点O，点B是y轴右侧的优弧上一点，，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
22．顶点在圆心的角叫做_________．（注意：判断是否圆心角时需观察顶点是否在________）．
23．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_________，所对的弦也_______．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____， 所对的弦________；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．
24．顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做____________．
圆周角的特征：①顶点在_____上；②两边都和圆_________．
25．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的___________．
26．同弧或等弧所对的圆周角_______；
半圆（或直径）所对的圆周角是___________，90°的圆周角所对的弦是_________．
27．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做_________．这个圆叫做这个多边形的_________．
例：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆．
圆内接四边形的性质：
圆内接四边形的对角________．
28．填空
1）如果∠A＝45°，则∠BOC＝____，∠OBC＝_______．
2）如果∠BOC＝46°，则∠A＝____．
3）如果的度数是46°，那么这条弧所对的圆心角和圆周角分别等于________，_________．
4）n°弧所对的圆心角是______，所对的圆周角是_____．
29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCD的外角∠CDM＝70°，则∠AOC的度数为____________．
30．如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝_____度．
31．如图，扇形OAB的圆心角为124°，C是弧上一点，则∠ACB＝_______．
32．如图，在⊙O中，AC=AB, 直径BC=2, , 则AD=___．
33．如下是小华设计的“作的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．
步骤 作法 推断
第一步 在上任取一点C，以点C为圆心，为半径作半圆，分别交射线于点P，点Q，连接 ① ，理由是 ②
第二步 过点C作的垂线，交于点D，交于点E ， ③
第三步 作射线 射线平分
射线为所求作．
三、解答题
34．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
35．如图，是的直径，、两点在上，若．
（1）求的度数；
（2）若，，求的半径．
36．如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图①中的圆上找一点D，使；
（2）在图②中的圆上找一点E，使平分；
（3）在图③中的圆上找一点F，使平分；
37．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设∠OAB＝α，∠C＝β，
（1）当α＝35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给以证明．
38．如图所示，已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝2cm，CD＝8cm，求圆O的直径．
39．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．
（1）求证：∠ABD＝2∠C．
（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
24.1.4：圆周角--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．如图，四边形内接于，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝400，
∴∠C＝1800－400＝1400，
故选D.
【点评】此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补
2．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠AOD=30°，则∠BCD的度数是（ ）
A．150° B．120° C．105° D．75°
【答案】C
【详解】试题解析：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠AOD=30°，
∴∠ACD=15°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=105°，
故选C．
3．如图，⊙O 是的外接圆，若，则角的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【分析】根据题意可得 ， ，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵⊙O 是的外接圆，若，
∴ ， ，
∴ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
4．如图，在⊙O上有三点A，B，C，连接OA，OC，BA，BC，若∠ABC＝110°，则∠AOC的大小为（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【答案】D
【分析】在优弧AC上取一点D，连接AD，DC．利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决问题．
【详解】在优弧AC上取一点D，连接AD，DC．
∵∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOC＝2∠D＝140°，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆内接四边形解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD＝25°，则∠AOD的度数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【答案】C
【分析】由∠BCD＝25°，根据圆周角定理得出∠BOD＝50°，再利用邻补角的性质即可得出∠AOD的度数．
【详解】解：∵∠BCD＝25°，，
∴∠BOD＝2∠BCD＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝，OD//AC，下列结论错误的是（ ）
A．∠C＝∠D B．∠BOD＝∠COD C．∠BAD＝∠CAD D．∠BOD＝∠BAC
【答案】A
【分析】根据圆心角定理“在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等”和圆周角定理“一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的一半”并结合题意可求解．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD//AC， ＝，
∴∠BOD＝∠COD，∠BAD＝∠CAD，故选项B、C结论正确；
∵∠BAC＝∠BOC，∠BOD＝∠COD，
∴∠BOD＝∠BAC，故选项D结论正确．
∵OA并不是圆的弦
∴不能得到∠C=∠D，故选项A结论错误，符合题意．
故选A．
【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．
7．如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接，相交于点E，若，，则的度数为（ ）
A．95° B．90° C．85° D．80°
【答案】C
【分析】首先连接BC，根据∠BOD和∠BCD是同弧所对的圆心角和圆周角，得出∠BCD的度数，再根据∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，得出∠ABC的度数，再根据三角形的外角，得出∠AEC=∠EBC+∠ECB,即可求出∠AEC的度数．
【详解】连接BC，
∵ 和 是 所对的圆心角和圆周角，
,
又 和 是所对的圆心角和圆周角，
,
又∵∠AEC是△BEC的外角，
∴,
故选：C．
【点评】本题考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的外角，解题关键是连接辅助线，构造同弧所对的圆周角和圆心角．
8．如图，为的一条固定直径，自左半圆上一点，作弦，的平分线交于点，当点在左半圆（不包括，两点）上移动时，关于点的说法：
①到的距离始终不变；
②位置始终不变；
③始终平分；
④位置随点的移动而移动．
正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．② D．④
【答案】C
【分析】连接OE，由CE平分∠OCD，得到∠1＝∠2，而∠1＝∠E，所以有OECD，则OE⊥AB，即可得到OE平分半圆AEB．
【详解】解：连OE，如图，
∵CE平分∠OCD，
∴∠1＝∠2，
而OC＝OE，有∠1＝∠E，
∴∠2＝∠E，
∴OECD，
∵点O到CD的距离在变，
∴点E到CD的距离发生变；故①错误；
又∵弦CD⊥AB，
∴OE⊥AB，
∴OE平分半圆AEB，即点E是半圆的中点，
∴点E位置始终不变；故②正确．③④错误
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理的推论．
9．如图，内接于，其外角的平分线交于点D，点A为弧CD的中点．若，则的大小为（ ）
A．84° B．85° C．86° D．88°
【答案】A
【分析】连接AO并延长与交于点F，连接FC，FD，根据圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余与外角平分线得出度数，进一步计算可得的度数．
【详解】解：连接AO并延长与交于点F，连接FC，FD，
∵AF是直径，
∴，
∵点A为弧CD的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵AD平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考查圆周角定律，三角形内角和，作出合理辅助线是解题关键．
10．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若∠CAB＝52°，则∠ADC的度数为（ ）
A．52° B．48° C．42° D．38°
【答案】D
【分析】AB为⊙O的直径可得，又因为∠CAB＝52°，可得，根据“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”即可求解．
【详解】解：∵AB为⊙O的直径
∴
又∵∠CAB＝52°
∴
根据“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，可得：
故答案选D．
【点评】此题考查了圆周角的性质，熟练掌握圆周角的有关性质是解题的关键．
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．140° B．40° C．70° D．50°
【答案】C
【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB＝20°，∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：连接AC，
∵点C为劣弧BD的中点，∠DAB＝40°，
∴∠CAB＝∠DAB＝20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了弧的中点，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握弧的中点的意义，活用直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
12．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠CAB＝30°，则∠D等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠D＝∠B，然后利用互余计算出∠B即可．
【详解】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝60°，
∴∠D＝∠B＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
13．如图，一个简易量角器放在∠BAC上面，则∠BAC的度数是（ ）
A．10° B．20° C．40° D．80°
【答案】B
【分析】连接OD，根据量角器度量角的方法得到圆心角的度数为40°，然后根据圆周角定理即可得到∠BAC的度数．
【详解】解：连接OD，如图，
∵∠DOC＝40°，
∴∠BAC＝∠DOC＝20°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．如图，为的直径，点C、D在上，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据为的直径，，可利用勾股定理求直径长，再根据，可得△OBD为等边三角形，可求的长．
【详解】解：∵为的直径，，
∴∠ACB=90°，，
连接OD，
∵，
∴∠DOB=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD为等边三角形，
∴,
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用圆周角的性质得出直角三角形和等边三角形．
15．如图，是的直径，为圆内一点，则下列说法中正确的是（ ）
A．是的弦 B．是圆心角
C．是圆周角 D．
【答案】B
【分析】根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：A、点C不在上，所以AC不是的弦，故错误，不符合题意；
B、因为点O是圆心，所以∠BOC是圆心角，故正确，符合题意；
C、点C不在上，所以∠C不是圆周角，故错误，故不符合题意；
D、当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若成立，则AC+OC＜OA+OB，
∴AC＜OA，与题干矛盾，
∴D选项错误，不符合题意；
故选B．
【点评】本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．
16．如图，在中，点是上一点，若，则的度数是（ ）
A．80° B．100° C．120° D．130°
【答案】D
【分析】在优弧AC上取点D，连接AD、CD，由∠AOC= 100° 求出∠ADC= ∠AOC，根据四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ADC+∠ABC= 180° ，即可求出∠ABC的度数．
【详解】在优弧AC上取点D，连接AD、CD，
∵∠AOC= 100° ，
∴∠ADC= ∠AOC=50° ，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC= 180° ，
∴∠ABC= 180° -50° =130° ，
故选：D．
【点评】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
17．AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BDC＝32°，则∠AOC的度数为（ ）
A．32° B．64° C．116° D．128°
【答案】C
【分析】根据圆周角定理可求∠AOC，根据邻补角定义可求∠AOC的度数．
【详解】∵AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BDC＝32°
∴∠BOC=2∠D=2×32°=64°
∴∠AOC=180°-∠BOC=116°
故选：C
【点评】考核知识点：圆周角定理．理解圆周角定理是关键．
18．如图，、是的直径，，交于点，，则的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
【答案】C
【分析】先根据圆周角定理可得∠EOD＝2∠A＝40°，再根据平行线的性质可得∠ADB＝∠A＝20°，由三角形外角定理即可得出答案．
【详解】解：∵∠A＝20°，
∴∠EOD＝2∠A＝40°，
又∵，
∴∠ADB＝∠A＝20°，
∴∠AFC＝∠EOD＋∠ADB＝40°＋20°＝60°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
19．如图，是的直径，点，在圆上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性质求出∠B＝55°，再由圆周角定理得出∠ADC＝∠B＝55°即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝35°，
∴∠B＝90°﹣35°＝55°，
∴∠ADC＝∠B＝55°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
20．如图CD是⊙O的直径，CD=10，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为的中点，P是直径CD上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．5 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．
【详解】解：作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，
此时AP+PB=QP+PB=QB，
根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，
连接OQ，OB，
∵B为的中点，
∴∠BOD=∠ACD=30°，
∴∠QOD=2∠QCD=2×30°=60°，
∴∠BOQ=30°+60°=90°．
∵直径CD=10，
∴OB=CD=×10=5，
∴BQ===5，即PA+PB的最小值为5 ．
故选A．
【点评】此题主要考查圆周角定理的应用，解题的关键是熟知圆周角定理、圆的对称性质应用．
21．如图，半径为5的经过点C和点O，点B是y轴右侧的优弧上一点，，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据可得CD是的直径，进而求得，再利用圆周角定理得出∠CDO的度数，进而利用含30°的直角三角形的性质得出答案．
【详解】解：如图，设与x轴的交点为D，连接CD．
∴CD是的直径，
∵的半径为5，
，
，
，
∴点C的坐标为，
故选：A．
【点评】此题主要考查了圆周角定理及其推论以及含30°的直角三角形的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键．
二、填空题
22．顶点在圆心的角叫做_________．（注意：判断是否圆心角时需观察顶点是否在________）．
【答案】圆心角 圆心
23．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_________，所对的弦也_______．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____， 所对的弦________；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．
【答案】相等 相等 相等 相等 相等 相等
24．顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做____________．
圆周角的特征：①顶点在_____上；②两边都和圆_________．
【答案】圆周角 圆 相交
25．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的___________．
【答案】一半
26．同弧或等弧所对的圆周角_______；
半圆（或直径）所对的圆周角是___________，90°的圆周角所对的弦是_________．
【答案】相等 直角 直径
27．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做_________．这个圆叫做这个多边形的_________．
例：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆．
圆内接四边形的性质：
圆内接四边形的对角________．
【答案】圆内接多边形 外接圆 互补
28．填空
1）如果∠A＝45°，则∠BOC＝____，∠OBC＝_______．
2）如果∠BOC＝46°，则∠A＝____．
3）如果的度数是46°，那么这条弧所对的圆心角和圆周角分别等于________，_________．
4）n°弧所对的圆心角是______，所对的圆周角是_____．
【答案】90° 45° 23° 46° 23° n° n°
29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCD的外角∠CDM＝70°，则∠AOC的度数为____________．
【答案】140°
30．如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝_____度．
【答案】70
【分析】先利用多边的内角和得到∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，则可计算出∠B=110°，然后根据圆内接四边形的性质求∠CDA的度数．
【详解】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，
∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，
∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°，
∴∠B=540°-430°=110°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠CDA=180°，
∴∠CDA=180°-110°=70°．
故答案为70．
【点评】本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．
31．如图，扇形OAB的圆心角为124°，C是弧上一点，则∠ACB＝_______．
【答案】118°
【分析】在⊙O上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理求出∠D的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB＝124°，
∴∠ADB＝∠AOB＝×124°＝62°．
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB＝180°﹣62°＝118°．
故答案为：118°．
【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与它的圆周角的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
32．如图，在⊙O中，AC=AB, 直径BC=2, , 则AD=___．
【答案】
【分析】过D点作DE⊥AB交AB于E，连接BD，DC，根据和BC是直径可以得到，∠DAB=∠DAC=45°=∠DBC=∠DCB，即可得到AE=DE，利用勾股定理先求出AB，BD再求出AE，即可求出AD.
【详解】解：如图所示，过D点作DE⊥AB交AB于E，连接BD，CD
∵BC是圆的直径
∴∠BAC=90°=∠BDC
∵
∴∠DAB=∠DAC=45°=∠DBC=∠DCB
∴BD=DC
∵DE⊥AB
∴∠AED=90°
∴∠EDA=∠DAB=45°
∴AE=DE
在Rt△ABC中，AC=AB，BC=2，
∴
∴
同理
∴
∴
设AE=DE=x，则BE=4-x
在Rt△DEB中，
∴
解得或
∵，
∴
∴
∴
∴
∴AE=DE=3
∴
故答案为：.
【点评】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是90°，勾股定理，等腰三角形的判定等等，大角对大边，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
33．如下是小华设计的“作的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．
步骤 作法 推断
第一步 在上任取一点C，以点C为圆心，为半径作半圆，分别交射线于点P，点Q，连接 ① ，理由是 ②
第二步 过点C作的垂线，交于点D，交于点E ， ③
第三步 作射线 射线平分
射线为所求作．
【答案】见解析；①90；②直径所对的圆周角是直角；③
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论
【详解】解：补全的图形如图1所示．
①∵OQ是直径
∴∠OPQ=90°
故答案为：90；
②故答案为：直径所对的圆周角是直角；
③∵CE⊥PQ
∴由垂径定理得：．
故答案为：
【点评】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握圆周角定理及推论是关键
三、解答题
34．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
【答案】（1）见解析（2）37.5°．
【分析】（1）连接AE，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，再根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠DAB＝∠BOD＝37.5°，再根据圆的内接四边形的对角互补得到∠DAB＋∠DEB＝180°，而∠BED＋∠DEB＝180°，则∠CED＝∠DAB．
【详解】（1）证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E为BC的中点；
（2）解：∵∠BOD＝75°，
∴∠DAB＝∠BOD＝37.5°，
∵∠DAB＋∠DEB＝180°，∠CED＋∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠DAB＝37.5°．
【点评】本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角为直角；圆的内接四边形的对角互补；等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是关键．
35．如图，是的直径，、两点在上，若．
（1）求的度数；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）；（2）5．
【分析】（1）根据圆周角定理，，求出，再根据直角三角形的性质求出答案即可；
（2）连接，根据圆周角定理得出，，再利用含30度的直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴的半径为5．
【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质等知识点，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．
36．如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图①中的圆上找一点D，使；
（2）在图②中的圆上找一点E，使平分；
（3）在图③中的圆上找一点F，使平分；
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于90°，即可得到答案；
（2）根据垂径定理，即可画出图形，
（3）作垂直于AC的直径，交于点F，连接BF，即可．
【详解】解：（1）如图①，∠ADC即为所求作；
（2）如图②，点E即为所作；
（3）如图③，点F即为所作；
【点评】本题主要考查简单几何作图，熟练掌握圆周角定理及其推论，垂径定理，是解题的关键．
37．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设∠OAB＝α，∠C＝β，
（1）当α＝35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给以证明．
【答案】（1）55°；（2）α+β=90°，证明见解析．
【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBA=35°，根据三角形内角和定理求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可；
（2）根据三角形内角和定理和圆周角定理计算．
【详解】解：（1）连接OB，
∵∠OAB=α=35°，
∴∠OBA=35°，
∴∠AOB=110°，
∴β=∠AOB=55°；
（2）结论：α+β=90°．
证明：∵∠AOB=180°-2α，β=∠AOB
∴β=90°-α，
∴α+β=90°．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．
38．如图所示，已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝2cm，CD＝8cm，求圆O的直径．
【答案】（1）翙解析；（2）圆O的直径为10cm．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，AB⊥CD，根据垂径定理即可得，然后由圆周角定理可得∠BCD=∠BAC，又由OA=OC，根据等边对等角，可得∠BAC=∠ACO，继而证得结论；
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠BCD=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB-EB=（R-2）cm，
CE=CD=×8=4（cm）．
在Rt△CEO中，由勾股定理可得
OC2=OE2+CE2，即R2=（R-2）2+42，
解得R=5，
∴OB=5cm．
故圆O的直径为10cm．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
39．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．
（1）求证：∠ABD＝2∠C．
（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．
【答案】（1）见解析；（2）BD＝2.8
【分析】（1）利用弧的中点,等腰三角形的性质计算即可．
（2）利用勾股定理，三角形中位线定理，垂径定理的推论计算即可．
【详解】（1）证明：∵C是的中点，
∴，
∴∠ABC＝∠CBD，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝2∠C；
（2）解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝6，
∵C是的中点，
∴OC⊥AD，
∴，
∴，
∴OF＝1.4，
又∵O是AB的中点，F是AD的中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD＝2OF＝2.8．
【点评】本题考查了垂径定理及其推论，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理和三角形中位线定理是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
