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24.1.2：垂直于弦的直径--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．如图是一个圆弧形门拱，拱高AB=1，跨度CD=6，那么这个门拱的半径为（ ）
A．2m B．2.5m C．3m D．5m
【答案】B
2．绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．8m
【答案】D
【详解】试题分析：连接OA，根据垂径定理可得AB=2AD，根据题意可得：OA=5m，OD=CD－OC=8－5=3m，根据勾股定理可得：AD=4m，则AB=2AD=2×4=8m.
考点：垂径定理.
3．如图，⊙的半径为，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，由在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，可求得OH的长，由在Rt△O4H中，OA=3，即可求得AH的长，继而求得答案.
【详解】
解：如图：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，
∵在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，
∴
∵在Rt△OAH中，OA=3，
∴
故选．
【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大，但掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用是解答本题的关键.
4．在⊙O中，弦AB＝16，点M为AB的中点，OM＝6，则⊙O的半径为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．100
【答案】C
【分析】连接OA，如图，根据垂径定理的推论得到OM⊥AB，然后利用勾股定理计算OA的长．
【详解】解：连接OA，OM，如图，
∵点M为AB的中点，
∴OM⊥AB，AM＝BM＝AB＝×16＝8，
在Rt△OAM中，OA＝＝＝10，
即⊙O的半径为10．
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂径定理，以及勾股定理，根据垂径定理求得AM的长，证明△OAM是直角三角形是解题的关键．
5．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
【答案】C
【分析】作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图，利用折叠的性质得AB垂直平分OC，则AC＝AO，于是可判断△AOC为等边三角形，所以∠AOC＝60°，利用含30度的直角三角形三边的关系求出AD，然后利用垂径定理得到AD＝BD，从而得到AB的长．
【详解】解：作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图，
∵圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，
∴AB垂直平分OC，
∴AC＝AO，
而OA＝OC，
∴OA＝AC＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴OD＝OA＝2，
∴AD＝OD＝2，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝2AD＝4（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．也考查了折叠的性质．
6．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小燕说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
【答案】D
【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．
【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故选D．
【点评】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
7．下列命题中不正确的是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦； B．垂直平分弦的直线必经过圆心；
C．垂直于弦的直径平分这条弦对应的弧； D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．
【答案】A
【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．
【详解】A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；
C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；
D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．
8．下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．直径是同一个圆中最长的弦
C．平分弦的直径垂直于弦 D．过三点能确定一个圆
【答案】B
【分析】根据等弧的定义，弦的定义分别判断即可；
【详解】在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故A错误；
直径是同一个圆中最长的弦，故B正确；
此弦不能是直径，故C错误；
三点不能共线，故D错误；
故选B．
【点评】本题主要考查了垂径定理及推论，准确理解相关定义是解题的关键．
9．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长.依题意，CD长为（ ）
A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
【答案】D
【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB=10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为R，表示出OE，根据勾股定理建立关于R的方程，求出方程的解即可得到R的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【详解】连结AO，∵ CD为直径，CD⊥AB，
∴ ．
设⊙O半径为R，则OE＝R－1．
Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴ R2＝52+(R-1)2，
∴ R＝13，
∴ CD＝2R＝26(寸)．
故选D．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理,正确的作出辅助线是解题的关键．
10．上体育课时，老师在运动场上教同学们学习掷铅球，训练时，李力同学掷出的铅球在场地上砸出了一个坑口直径约为10cm，深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为（ ）
A．20cm B．19.5cm C．14.5cm D．10cm
【答案】C
【分析】根据垂径定理，构造直角三角形，小坑的直径就是圆中的弦长，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，设出未知数，列出方程，即可求出铅球的直径．
【详解】解：根据题意，画出图形如图所示，
由题意知，，，是半径，且，
，
设铅球的半径为，则，
在中，根据勾股定理，，
即，
解得：，
所以铅球的直径为：cm，
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
11．下列说法中，错误的有（ ）
①长度相等的两条孤是等弧；②对角线相等且平分的四边形一定有外接圆；③平分一条直径的弦必垂直于这条直径；④旋转不改变图形的形状和大小；⑤三点确定一个圆．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据等弧、圆的定义，垂径定理、旋转的性质、确定圆的条件逐一分析即可．
【详解】①能够重合的两条孤是等弧，故错误；②对角线相等且平分的四边形，即四边形对角线的交点到四个顶点的距离相等，所以一定有外接圆，故正确；③平分一条直径的弦（不是直径）必垂直于这条直径，故错误；④旋转不改变图形的形状和大小，故正确；⑤不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误．
故选C．
【点评】本题考查了等弧的定义、圆的定义、垂径定理、旋转的性质、确定圆的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
12．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B．平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧
C．在⊙O中，AB、CD是弦，若BD=AC，则AB∥CD D．圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径
【答案】A
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：A、平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦，正确，
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧，故原命题错误，
C、在⊙O中，AB、CD是弦，若BD=AC，则AB∥CD，错误，
D、圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径所在的直线，故原命题错误，
故选A．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，垂径定理，轴对称图形，真命题与假命题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（ ）
A．8 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】如图，连接OD，利用勾股定理求出OE，再利用勾股定理求出AD即可．
【详解】解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED＝4，
∵∠OED＝90°，OD＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝＝＝4，
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（ ）
A．6.5 B．5.5 C．3.5 D．2.5
【答案】C
【分析】连接OB，作OM⊥AB与M．根据垂径定理和勾股定理，求出OP的取值范围即可判断．
【详解】解：连接OB，作OM⊥AB与M．
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=AB=4，
在直角△OBM中，∵OB=5，BM=4，
∴．
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．
15．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
二、填空题
16．连接圆上任意两点的线段叫做__________，经过圆心的弦叫做_____________．
凡直径都是弦，是圆中最长的弦，但弦________是直径．
【答案】弦 直径 不一定
17．把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
结论：圆是_________图形，任何一条直径所在直线都是它的_________．
【答案】轴对称 对称轴
18．垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．
符号语言：
∵①CD是直径，②CD⊥AB
∴③AE＝_____，④＝________，⑤＝________．
【答案】平分 平分 BE
19．平分弦（不是直径）的直径____于弦，并且_____弦所对的两条弧．
符号语言：
∵①CD是直径 ②AE＝BE且AB不是直径
∴③CD⊥_______，④＝ _______，⑤＝ _______
【答案】垂直 平分 AB
20．弦心距：圆心到_____的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
在直角三角形中，由勾股定理得：_________2＋半弦2＝半径2
【答案】弦 弦心距
21．如图1是棒球，图2是其示意图．是直径上一点，点和点关于弦对称，若，则⊙O的半径长为_______．
【答案】
【分析】连接OA构成直角三角形，先利用轴对称性质及垂径定理求出，，即可利用勾股定理求出OA．
【详解】解：如图，连接OA，
∵点和点关于弦对称，
∴，．
∵是⊙O的直径，，
∴，．
设⊙O的半径为r，即，则．
在Rt△AOF中，由勾股定理得：．
即，
解得．
∴⊙O的半径长为．
故答案为：．
【点评】此题考查了垂径定理的运用，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．
22．如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为__________________．
【答案】20cm
【分析】作OD⊥AB于D，连接OB，根据垂径定理得到AD=BD=30cm，即可得到PD=100cm，利用勾股定理即可求得结果．
【详解】解：作OD⊥AB于D，连接OB，
∴AD＝BDAB＝30cm，
∴OD40（cm），
∴PD＝PA+AD＝70+30＝100（cm），
∴OP20（cm）；
故答案为：20cm．
．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，作出辅助线根据直角三角形是解题的关键．
23．如图，水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为20πcm2．如图所示，是该球体的一个最大截面，则该截面⊙O上到液面的距离为2cm的点共有___个．
【答案】3
【分析】连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于H．利用勾股定理求出OH，即可判断．
【详解】解：连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于H．
由题意π AH2＝20π,
∴AH2＝20,
∴OH＝，
∴弓形的高＝6﹣4＝2，
∴截面⊙O上到液面的距离为2cm的点共有3个（线段AB上方有两个，下方有一个），
故答案为：3．
【点评】本题考查垂径定理，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．在中，弦的长为8cm，圆心到的距离为3cm，则的半径为______cm．
【答案】5
【分析】根据垂径定理求出AE，再根据勾股定理求出OA即可．
【详解】解：如图所示：
∵OE⊥AB，
∴AE＝AB＝4．
在Rt△AOE中，AE＝4，OE＝3，
根据勾股定理得到OA＝＝5，
则⊙O的半径是5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OA是解决问题的关键．
25．⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______．
【答案】1cm或7cm．
【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1
∵AB＝8cm，CD＝6cm，
∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，
∴EO＝3cm，OF＝4cm，
∴EF＝4 3＝1cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB＝8cm，CD＝6cm，
∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，
∴EO＝3cm，OF＝4cm，
∴EF＝OF＋OE＝7cm．
∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm．
故填1cm或7cm．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键．
26．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
【答案】
【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
【详解】解：由题意得：，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．
27．三个边长都为4cm的正方形硬纸板，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，下面两种不同摆放类型如图：
（1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为_____cm；
（2）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为_____cm；
（3）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为_____cm．
【答案】
【分析】（1）利用90°的圆周角所对的弦是直径，易知AC为圆的直径，应用勾股定理结论可得；
（2）从图中可以看出小正方形的对角线为圆的半径，直径易得；
（3）依据图形为轴对称图形，可知圆心在PG上，找出圆心，设OG＝xcm，依据勾股定理列出方程可求半径，直径可得．
【详解】解：（1）如下图，
∵小正方形的顶点A，B，C在圆上，∠ABC＝90°，
∴AC为圆的直径．
∵AC＝（cm）．
故答案为：；
（2）如下图，小正方形的顶点O为圆心，小正方形的对角线为圆的半径，
∴圆的半径为cm．
∴圆的直径为cm．
故答案为：．
（3）如下图，设圆心为O，GH与AB交于点P．
连接OA，OB，ON．
由题意，PG垂直平分NF，OA＝OB＝ON．
∴O在PG上，AP＝PB＝AB＝2cm．
设OG＝xcm，则OP＝PG﹣OG＝4×2﹣x＝（8﹣x）cm．
在Rt△APO中，OA2＝AP2+OP2．
在Rt△NGO中，ON2＝NG2+OG2．
∴OA2＝AP2+OP2＝ON2＝NG2+OG2．
∴22+（8﹣x）2＝42+x2．
解得：x＝．
∴ON＝（cm）．
∴直径为（cm）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆的综合运用，依据图形特点，正确找出圆心的位置是解题的关键．
三、解答题
28．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB的长．
【答案】8
【分析】求出OD，根据垂径定理得出AB=2AD，根据勾股定理求出AD，即可得出答案．
【详解】解：∵⊙O的半径为5，
∴OA=OC=5，
∵CD=2，
∴OD=5﹣2=3，
∵OC⊥AB，
∴AB=2AD，∠ODA=90°，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：AD===4，
∴AB=2AD=8．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是求出弦心距，利用勾股定理求解．
29．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，一石拱桥的桥顶到水面的距离为，桥拱半径为，求水面宽的长度．
【答案】8m
【分析】连接OA，根据垂径定理可知AD=BD=AB，在Rt△ADO中，利用勾股定理即可求出AD的长，进而可得出AB的长，此题得解．
【详解】解：连接OA，如图所示．
∵CD⊥AB，
∴AD=BD=AB，
在Rt△ADO中，OA=OC=5m，OD=CD-OC=3m，∠ADO=90°，
∴AD==4m，
∴AB=2AD=8m．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，利用勾股定理求出AD的长度是解题的关键．
30．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
【答案】（1）20米；（2）4米
【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
【详解】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，则OH＝DE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF′中，HF′＝，
∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，圆弧型桥墩高4米．
【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，结合勾股定理计算是解题的关键．
31．如图，为圆直径，为圆上一点，连接，．
（1）尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，在（1）的条件下，求的长．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）作BC的垂直平分线，与圆O的交点即为的中点；
（2）在中根据勾股定理分别求出OE的长度，再在中应用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）如图，作BC的垂直平分线，与圆O的交点即为的中点：
（2）连接BD，如图：
∵，，为圆直径，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理、尺规作图—垂直平分线，掌握垂径定理的内容是解题的关键．
32．如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，
（1）求的半径；
（2）求到弦的距离．
【答案】（1）的半径为5cm；（2）到的距离为cm
【分析】（1）连接，设半径为，则，构建方程即可解决问题．
（2）根据，求解即可．
【详解】解：（1）连接，设半径为，则，
是的直径，弦于，，
，
在中，，
．
（2），
，，，
，
，
．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
33．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点．
（1）求证：；
（2）连接、，若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质，垂径定理可知，AE=BE，CE=DE，故可得出结论.
（2）根据题意，过点O作OE⊥AB，根据垂径定理，和勾股定理，可以求出AE，CE，的长，即可求出AC的长度．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点．
，
，．
，
即．
（2）解：，，
，
，
，
，
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
34．如图，是⊙O的直径，弦与交于点，过点作交⊙O于点，若为的中点．
（1）求证：；
（2）连接，，若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【分析】（1）利用同位角相等两直线平行，证明即可．
（2）证明△AOD是等边三角形即可解决问题．
【详解】（1）证明：是直径，，
，
，
，
．
（2）解：，，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
．
【点评】本题考查垂径定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
35．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．
【答案】（1）10米；（2）能，理由见解析
【分析】（1）连接ON，OB，根据垂径定理得到BD，在△BOD中利用勾股定理列方程求解；
（2）首先求出OE，在Rt△OEN中，根据勾股定理求出EN，得到MN，与货船的宽相比即可得到结论．
【详解】解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB=16m，
∴BD=AB=8m．
又∵CD=4m，
设OB=OC=ON=r，则OD=（r-4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=（r-4）2+82，
解得r=10，
即拱桥的半径为10m；
（2）∵CD=4m，船舱顶部为长方形并高出水面2m，
∴CE=4-2=2m，
∴OE=r-CE=10-2=8m，
在Rt△OEN中，=6m，
∴MN=2EN=12m＞10m，
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
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24.1.2：垂直于弦的直径--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．如图是一个圆弧形门拱，拱高AB=1，跨度CD=6，那么这个门拱的半径为（ ）
A．2m B．2.5m C．3m D．5m
2．绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．8m
3．如图，⊙的半径为，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（ ）．
A． B． C． D．
4．在⊙O中，弦AB＝16，点M为AB的中点，OM＝6，则⊙O的半径为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．100
5．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
6．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小燕说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
7．下列命题中不正确的是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦； B．垂直平分弦的直线必经过圆心；
C．垂直于弦的直径平分这条弦对应的弧； D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．
8．下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．直径是同一个圆中最长的弦
C．平分弦的直径垂直于弦 D．过三点能确定一个圆
9．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长.依题意，CD长为（ ）
A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
10．上体育课时，老师在运动场上教同学们学习掷铅球，训练时，李力同学掷出的铅球在场地上砸出了一个坑口直径约为10cm，深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为（ ）
A．20cm B．19.5cm C．14.5cm D．10cm
11．下列说法中，错误的有（ ）
①长度相等的两条孤是等弧；②对角线相等且平分的四边形一定有外接圆；③平分一条直径的弦必垂直于这条直径；④旋转不改变图形的形状和大小；⑤三点确定一个圆．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B．平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧
C．在⊙O中，AB、CD是弦，若BD=AC，则AB∥CD D．圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（ ）
A．8 B．2 C．3 D．4
14．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（ ）
A．6.5 B．5.5 C．3.5 D．2.5
15．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
二、填空题
16．连接圆上任意两点的线段叫做__________，经过圆心的弦叫做_____________．
凡直径都是弦，是圆中最长的弦，但弦________是直径．
17．把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
结论：圆是_________图形，任何一条直径所在直线都是它的_________．
18．垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．
符号语言：
∵①CD是直径，②CD⊥AB
∴③AE＝_____，④＝________，⑤＝________．
19．平分弦（不是直径）的直径____于弦，并且_____弦所对的两条弧．
符号语言：
∵①CD是直径 ②AE＝BE且AB不是直径
∴③CD⊥_______，④＝ _______，⑤＝ _______
20．弦心距：圆心到_____的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
在直角三角形中，由勾股定理得：_________2＋半弦2＝半径2
21．如图1是棒球，图2是其示意图．是直径上一点，点和点关于弦对称，若，则⊙O的半径长为_______．
22．如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为__________________．
23．如图，水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为20πcm2．如图所示，是该球体的一个最大截面，则该截面⊙O上到液面的距离为2cm的点共有___个．
24．在中，弦的长为8cm，圆心到的距离为3cm，则的半径为______cm．
25．⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______．
26．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
27．三个边长都为4cm的正方形硬纸板，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，下面两种不同摆放类型如图：
（1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为_____cm；
（2）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为_____cm；
（3）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为_____cm．
三、解答题
28．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB的长．
29．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，一石拱桥的桥顶到水面的距离为，桥拱半径为，求水面宽的长度．
30．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
31．如图，为圆直径，为圆上一点，连接，．
（1）尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，在（1）的条件下，求的长．
32．如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，
（1）求的半径；
（2）求到弦的距离．
33．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点．
（1）求证：；
（2）连接、，若，，，求的长．
34．如图，是⊙O的直径，弦与交于点，过点作交⊙O于点，若为的中点．
（1）求证：；
（2）连接，，若，求的度数．
35．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．
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