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24.1.3：弦、弧、圆心角--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
2．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着点旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
4．如图，在中，，，则的度数为（ ）
A．10° B．20°
C．30° D．40°
5．下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．如图，是的直径，弦交于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计）A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF，弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，，所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲车从F口出，乙车从G口出
B．甲车驶出立交桥时，乙车在上
C．甲乙两车同时在立交桥上的时间为10s
D．图中立交桥总长为140m
10．如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若．则的直径长为（ ）
A．15 B．13 C．10 D．16
11．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
12．如图，在⊙O中，，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
13．下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
14．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点，则四边形OACB是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
15．如图，半径为5的⊙A中，弦所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（ ）
A． B． C．4 D．3
16．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
17．连接圆上任意两点的线段叫做_______．
18．圆上任意两点间的部分叫做________，简称___．以A、B为端点的弧，记作__________，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做_______．
19．剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？
结论：圆是________图形，圆心就是它的________．
20．剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转任意角度呢？你发现了什么？
结论：一个圆绕圆心旋转任意角度，所得图形和原图形_________．
21．顶点在圆心的角叫做_________．（注意：判断是否圆心角时需观察顶点是否在________）．
22．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_________，所对的弦也_______．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____， 所对的弦________；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．
23．AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB＝CD，那么___________，_________________．
（2）如果 AB＝CD，那么____________，_____________．
（3）如果∠AOB＝∠COD，那么_____________，_________．
24．若将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为________．
25．如图，在半径为5的中，，则弦的长度为______．
26．如图，在⊙O中，若 ，则AC与2CD的大小关系是：AC__2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）
三、解答题
27．已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC＝BD．求证：AB＝CD．
28．如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；
⑵.
29．如图，，求证：．
30．如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
31．如图，在RtABO中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．
（1）若，则弧的度数为 ．
（2）若，，求的长．
32．如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC等于弧BC，D、E分别是OA、OB的中点，CD与CE相等吗？为什么？
33．如图，在梯形ABCD中，CDAB，AB＝10，以AB为直径的⊙O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．
（1）求CD的长；
（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．
34．如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且 ．
（1）求证：AE＝BF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．
35．如图，在圆中，若，且，求的长度．
36．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．
（1）求证：MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．
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24.1.3：弦、弧、圆心角--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意直接根据圆心角的定义即顶点在圆心的角叫做圆心角进行分析判断即可．
【详解】解：顶点在圆心的角叫做圆心角，4个选项中只有B符合要求．
故选：B．
【点评】本题考查圆心角的定义，熟练掌握圆心角定义的内容即顶点在圆心的角叫做圆心角是解答此题的关键．
2．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着点旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】观察图形，中间相当于一个圆心角被平分为六份，用一周角度数除以六.
【详解】解：.
故选：B.
【点评】本题考查的对圆心角的概念的认识，将正六边形中心看作圆心角被平分是解答关键.
3．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【分析】先利用半径相等得到OA＝OC，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角性质求解
【详解】解：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝25°，
∴∠BOC＝∠A+∠ACO＝25°+25°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
4．如图，在中，，，则的度数为（ ）
A．10° B．20°
C．30° D．40°
【答案】B
【分析】根据圆心角定理：等弧对等角，根据条件求出相应角的角度，作适当的辅助线，找到的关系，即得答案．
【详解】如图，连接，
，根据等弧对等角，
，
在中，，
是等腰三角形，
，
同理在中，得出：，
，
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆心角定理，在同圆或等圆中，相等的弧长对应相等的圆心角，解题的关键是：理解并掌握定理，需要把所求角转化为两个角之差．
5．下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
【点评】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大．
6．如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．
【详解】解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．
【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义．
8．如图，是的直径，弦交于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠AOC，求出的度数，根据直角三角形的性质求出∠BCD=70°，根据平行线的性质求出∠D，求出的度数，求出的度数可得∠AOE，再求出答案即可．
【详解】解：连接OC，
∵AB⊥CD，
∴∠CFB=90°，
∵∠CBA=15°，
∴∠AOC=2∠CBA=30°，∠BCD=90°-∠CBA=75°，
∴的度数是30°，
∵DE∥BC，
∴∠BCD+∠D=180°，
∴∠D=105°，
∴的度数是210°，
∴的度数是360°-210°=150°，
∴的度数是150°-30°=120°，
∴∠AOE=120°，
∴
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．
9．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计）A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF，弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，，所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲车从F口出，乙车从G口出
B．甲车驶出立交桥时，乙车在上
C．甲乙两车同时在立交桥上的时间为10s
D．图中立交桥总长为140m
【答案】B
【分析】结合题意函数图象可分析出在直道AB，CG以及EF上的行驶时间均为3s，在弯道BC，CD，DE上的行驶时间均为2s，从而结合速度进行逐项分析即可．
【详解】A、分析图2可知，甲车先驶出立交桥，乙车后驶出，因此甲车从G口出，乙车从F口出，原说法错误，不符合题意；
B、根据图2甲的图象可知甲车在立交桥上由A到G共计用时5+3=8s，其中由B到C用时2s，由于甲乙的速度相同，则乙从A到D用时3+2×2=7s，从A到E用时3+3×2=9s，因此第8s时，乙车在上，原说法正确，符合题意；
C、根据B选项的分析可知，两车同时在立交桥上的时间为8s，原说法错误，不符合题意；
D、根据题意，立交桥总长为：，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】考本题考查函数图象与实际行程问题，涉及到圆心角等相关知识点，理解函数图象对应的实际意义是解题关键．
10．如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若．则的直径长为（ ）
A．15 B．13 C．10 D．16
【答案】A
【分析】连接，首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．
，
，，
点是弧的中点，
，
，
，
，设，
在中，则有，
解得，
，
故答案是：A．
【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【分析】先根据邻补角的性质求出∠BOD，再根据点C为弧BAD的中点，求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可求出∠ABC的度数．
【详解】∵∠AOD＝100°，
∴∠BOD=180°-∠AOD＝80°，
∵点C为弧BAD的中点
∴∠BOC=∠DOC=（360°-80°）=140°
∵OC=OB
∴∠ABC=∠BCO=（180°-140°）=20°
故选B．
【点评】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆心角、弧的关系．
12．如图，在⊙O中，，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【分析】首先根据题意得出，然后得到，然后利用角度之间的关系求解即可．
【详解】，
，
，
．
∵∠AOD=150°，∠BOC=80°，
，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，准确识图并灵活运用相关知识是解题的关键．
13．下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
【答案】B
【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．
【详解】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；
B中，等弧所对应的弦相等，故选B
C中，圆心角相等所对应的弦可能互补；
D中，弦相等，圆心角可能互补；
故选B
【点评】本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基本知识容易混淆，从而很难把握．
14．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点，则四边形OACB是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【分析】连接OC，如图，利用圆心角、弧的关系得到∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，可判断△OAC和△OCB都是等边三角形，所以OA＝AC＝OB＝BC，于是可判断四边形OACB为菱形．
【详解】解：连接OC，如图，
∵C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝×120°＝60°，
∵OA＝OC，OC＝OB，
∴△OAC和△OCB都是等边三角形，
∴OA＝AC＝OB＝BC，
∴四边形OACB为菱形．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了菱形的判定．
15．如图，半径为5的⊙A中，弦所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3.
【详解】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=BF=3，
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．也考查了垂径定理和三角形中位线性质，解题的关键是熟练运用相应的定理．
16．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
【详解】解：∵F为的中点，
∴，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴＝180°，
∴＝180°，
∴，故④正确，
故选：C．
【点评】
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题
17．连接圆上任意两点的线段叫做_______．
【答案】弦
18．圆上任意两点间的部分叫做________，简称___．以A、B为端点的弧，记作__________，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做_______．
【答案】圆弧 弧 半圆
19．剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？
结论：圆是________图形，圆心就是它的________．
【答案】中心对称 对称中心
20．剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转任意角度呢？你发现了什么？
结论：一个圆绕圆心旋转任意角度，所得图形和原图形_________．
【答案】重合
21．顶点在圆心的角叫做_________．（注意：判断是否圆心角时需观察顶点是否在________）．
【答案】圆心角 圆心
22．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_________，所对的弦也_______．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____， 所对的弦________；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．
【答案】相等 相等 相等 相等 相等 相等
23．AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB＝CD，那么___________，_________________．
（2）如果 AB＝CD，那么____________，_____________．
（3）如果∠AOB＝∠COD，那么_____________，_________．
【答案】＝ ∠AOB＝∠COD AB＝CD ∠AOB＝∠COD ＝ AB＝CD
24．若将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为________．
【答案】120
【分析】根据圆的性质计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为：
故答案为：120．
【点评】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握圆和圆心角的性质，从而完成求解．
25．如图，在半径为5的中，，则弦的长度为______．
【答案】
【分析】作OC⊥AB，根据垂径定理得到AC=BC=AB，根据直角三角形的性质求出OC，根据勾股定理求出AC，得到答案.
【详解】解：作于C，
则，
，，
，
，
由勾股定理得，，
，
故答案为：
【点评】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理，正确作出辅助性、灵活运用定理是解题的关键.
26．如图，在⊙O中，若 ，则AC与2CD的大小关系是：AC__2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【答案】
【分析】如图，连接AB、BC，根据题意知，AB＝BC＝CD，又由三角形三边关系得到AB+BC＞AC得到：AC＜2CD．
【详解】解：如图，连接AB、BC，
∵
∴AB＝BC＝CD，
在△ABC中，AB+BC＞AC．
∴AC＜2CD．
故答案是：＜．
【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到AB+BC＞AC．
三、解答题
27．已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC＝BD．求证：AB＝CD．
【分析】要证明两条弦AB＝CD，可以转化为证明就可以．已知AC=BD可以证明得到，进而得到．
【详解】证明：∵AC＝BD，
∴．
∴
∴．
∴AB＝CD．
【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦其中有一组量相等，那么其它两组量也相等．
28．如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；
⑵.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由AB=CD知，即，据此可得答案；
（2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【详解】证明（1）∵AB=CD，
∴，即，
∴；
（2）∵，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
29．如图，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】如图，记圆的圆心为 过作于 过作于 连接 再证明 证明 可得 再证明 从而可得答案．
【详解】证明：如图，记圆的圆心为 过作于 过作于 连接
【点评】本题考查的是直角三角形的全等的判定与性质，弧，弦，圆心角的关系定理，垂径定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
30．如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD，根据平行线的判定可得结论；
（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据得到BC=CD，从而证明菱形．
【详解】解：（1）连接BD，
∵，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠CBF，
∵，
∴BC=CD，
∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD，
∴四边形BCDE是菱形．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF．
31．如图，在RtABO中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．
（1）若，则弧的度数为 ．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）连接，利用余角的定义解得，再由圆的半径相等结合三角形内角和180°，解得，继而得到弧的度数；
（2）作于，在中，利用勾股定理解得，由等积法解得，再由勾股定理解得，最后由等腰三角形三线合一性质解题．
【详解】解：（1）连接，
，，
，
，
，
，
弧的度数为，
故答案为：；
（2）如图，作于，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦、弦心距的关系、勾股定理、等腰三角形三线合一等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
32．如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC等于弧BC，D、E分别是OA、OB的中点，CD与CE相等吗？为什么？
【答案】相等，理由见解析
【分析】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，又由D、E分别是半径OA、OB的中点，可得OD=OE，利用SAS判定△DOC≌△EOC，继而证得结论．
【详解】解：CD=CE，理由如下：
∵弧AC和弧BC相等，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD=OE，
在△DOC和△EOC中，
，
∴△DOC≌△EOC（SAS），
∴CD=CE．
【点评】本题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
33．如图，在梯形ABCD中，CDAB，AB＝10，以AB为直径的⊙O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．
（1）求CD的长；
（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．
【答案】（1）5；（2）
【分析】（1）通过点C、D三等分弧AB，可得∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，所以，△COD为等边三角形，CD可求；
（2）由点E是劣弧DC的中点，根据垂径定理的推论可得OF⊥CD，CF＝CD；解直角三角形△ODF，得出OF长度，通过OE﹣OF＝EF得出答案．
【详解】解：（1）连接OC,OD,
∵AB为直径，点C、D三等分弧AB,
∴.
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°．
∵OC＝OD,
∴△OCD为等边三角形．
∴CD＝OD＝AB＝5．
（2）连接OE,交DC于点F,
∵点E是劣弧DC的中点，
∴OF⊥CD,DF=FC=CD.
∵OC＝OD，
∴∠DOF＝∠DOC＝30°．
在Rt△ODF中，cos∠FOD＝．
∴OF＝OD cos∠FOD＝5×＝．
∵OE＝OD＝5,
∴EF＝OE﹣OF＝5﹣．
【点评】本题考查圆的相关定理，熟练掌握在同圆中，等弧所对的弦相等，圆心角相等，以及垂径定理的应用，在题目中看到弧或者弦的中点，要连接圆心的中点，得出垂直.
34．如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且 ．
（1）求证：AE＝BF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论；
（2）连接OA，由垂径定理得出AM＝AB＝6，设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF．
（2）解：连接OA，如图2所示：
∵OM⊥AB，
∴AM＝AB＝6，
设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝(x+3)2，
解得：x＝，
∴OM＝．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
35．如图，在圆中，若，且，求的长度．
【答案】
【分析】由弦与弧的关系，得到，然后得到，即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴
即
∴．
【点评】本题考查了弦与弧的关系，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到．
36．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．
（1）求证：MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系得出即可；
（2）根据垂径定理，勾股定理求出ME，进而求出MB即可．
【详解】证明：（1）∵AB＝CD，
∴，
又∵点M是弧AC的中点，
∴，
∴，
即：，
∴MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM，
在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2，
∴ME＝＝＝，
∴MD＝MB＝2ME＝2．
【点评】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，掌握垂径定理、勾股定理是正确计算的前提．
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