人教版八年级数学上册11.2.1 三角形的内角（第1课时）教学课件（38张）

(共38张PPT)
11.2.1 三角形的内角 (第1课时)
人教版 数学 八年级 上册
我的形状最小， 那我的内角和 最小.
我的形状最 大，那我的 内角和最大.
不对，我有一 个钝角，所以 我的内角和才 是最大的.
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角 形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
导入新知
2. 会运用三角形内角和定理进行计算.
1. 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形 内角和等于180°.
素养目标
折叠
探究新知
知识点 三角形的内角和
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于
180°.与三角形的形状、大小无关.
【思考】你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢
还可以用拼接的 方法，你知道怎 样操作吗？
剪拼
A
B
C
2
1
探究新知
480
720
600
600＋480＋720＝1800
探究新知
测量
锐角三角形
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来 说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
三角形的内角和定理的证明
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在 一起.
探究新知
还有其他的
拼接方法吗？
l
三角形三个内角的和等于180°.
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等)
∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
探究新知
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
探究新知
C
B
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°，
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
探究新知
同学们还有其他的方法吗？
【思考】 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心 是什么？
探究新知
l
1
2
B
E
1
2
C
A A
E
C D B D
借助平行线的“移角”的功能，将 三个角转化成一个平角.
F
C
2
4
A
B
3
E
Q
D
F
P
G
H
1
B
G
C
2
4
A
3
E
D
F
H
1
同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤.
探究新知
试一试
作辅助线
为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助 线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用 平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角 互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
探究新知
A
B
C
D
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °，
AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，得
1
∠BAD=2 ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°–∠B –∠BAD
=180°–75°–20°
=85°.
利用三角形的内角和定理求角的度数
素养考点 1
探究新知
如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B –∠BCD=80°.
50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
1
2
变 式 题
探究新知
在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数 为(D )
A．30° B．40° C．50° D．60°
如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其
中∠A = 150°，∠B= ∠D=40°.求∠C的度数.
解：∠C＝180°×2–(40°＋40°＋150°)
＝130°.
巩固练习
如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分
∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则
∠ADE的大小是( C )
A．45° B．54° C．40° D．50°
巩固练习
例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作 DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°， 求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.
探究新知
直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如 图放置，∠1＝85°，
则∠2＝ ．
40°
巩固练习
l1
l2
基 本
图 形
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
由三角形的内角和定理易得
∠A+∠B=∠C+∠D.
归纳总结
探究新知
3
4
例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B度数为x，则∠A度数 为3x，∠C度数为(x ＋ 15)， 从 而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ，x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°，48°.
素养考点 2
方程的思想与三角形内角和定理的综合应用
探究新知
方法点拨： 三角形中 求角的度数问题，当 角之间存在数量关系 时，一般根据三角形 内角和为180°，列方 程求解.
△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度
数．
1
1
在△ABC中，∠A＝2 ∠B＝3 ∠ACB，CD是
分析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的 内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的 定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．
比例关系可考虑用 方程思想求角度.
变 式 题
探究新知
2
解：∵∠A＝ 1 ∠B＝ 1 ∠ACB，
3
设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°–90°–30°＝60°.
∵CE是∠ACB的平分线，
1
∴∠ACE＝ 2 ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°.
探究新知
三角形 .
③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°， ∠C= ∠A + 10°，
直角
则 ∠A= 60 ， ∠ B=
°
50
°
，∠ C7=0 .
°
巩固练习
完成下列各题.
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C=102 .
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是°
解析：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形的内角和定理得：
x+2x+3x=180°，解得x=30°，3x=90°.
.
A
D 北
C.
东
北 E
.
B
例4 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏 东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A，C两
岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、
B两岛的视角∠ACB是多少度？
利用三角形的内角和定理解决实际问题(方位问题）
素养考点 3
探究新知
解： ∠CAB= ∠BAD– ∠CAD=80 °– 50°=30°.
由AD//BE，得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
∠ACB =180 °– ∠ABC– ∠ CAB
=180°–60°–30° =90°，
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60 °，从C岛看A，B两岛的 视角∠ACB是90°.
.
A
所以∠ABE=180 °– ∠BAD=180°–80°=100°，
∠ABC= ∠ABE– ∠EBC=100°–40°=60°D. 北
在△ABC中，
C.
B
.
东
北 E
探究新知
如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的 方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40° 的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角
∠BAC是多少度？
巩固练习
解：∵在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，
∴ ∠ABD＝60°.
又∵ ∠DBE＝90°，
∴ ∠ABE＝90°–∠ABD＝90°–60°＝30°.
∵在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，
∴ ∠ACE＝90°–40°＝50°.
∴ ∠BAC＝∠ACE–∠ABE＝50°–30°＝20°.
即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.
巩固练习
．38°

∵DE∥BC，
∴∠DCB= × 78°=39°，
∴∠CDE=∠DCB=39°．
如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作 DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE 的大小为（C ）
A．44° B．40° C．39° D
解析：∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°–54°–48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
连接中考
x=70
x=60
x=30
x=50
课堂检测
基 础 巩 固 题
1.求出下列各图中的x值．
B
A
C
4
D
1
3
E
2
40°
（
2. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则
∠C= 100°．
3. 如图，则∠1+∠2+∠3+∠4= 280 ° .
课堂检测
）
能 力 提 升 题
1. 如图，四边形ABCD中，点E在BC上，
∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的
度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°． 又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°–（∠CED+∠C
=180°–（78°+60°）
=42°．
课堂检测
2.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平 分∠BAC．求∠ADC的度数.
∴∠CAD= ∠BAC=30°，
解：∵∠B=42°，∠C=78°，
∴∠BAC=180°–∠B –∠C=60°.
∵AD平分∠BAC，
1
2
∴∠ADC=180°–∠B–∠CAD=72°.
课堂检测
数．
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
1
2
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°–60°=120°．
拓 广 探 索 题
如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分
∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度
课堂检测
【思考】你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？
解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
1
∴∠PBC+∠PCB=2 （∠ABC+∠ACB）．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
1
∴∠BPC=180°–2（∠ABC+∠ACB）
1 1
=180°–2 （180°–∠A）=90°+ 2 ∠A ．
课堂检测
求角度
证法
应用
转化为一个平角 或同旁内角互补
辅助线
三角形的内角 和等于180 °
课堂小结
课后作业
作业 内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
谢谢观看
Thank You