人教版八年级数学上册 14.3.2 公式法（第2课时）优秀公开课（共34张）

(共34张PPT)
14.3.2 公式法(第2课时)
人教版 数学 八年级 上册
我们知道，因式分解与整式乘法是反方向 的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取 公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然 会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？
导入新知
素养目标
3. 能综合运用提公因式、完全平方公式分解 因式这两种方法进行求值和证明．
2. 能较熟练地运用完全平方公式分解因式．
1. 理解完全平方公式的特点．
1.因式分解：
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
提公因式法
平方差公式
a2–b2=(a+b)(a–b)
用完全平方公式分解因式
知识点
3.完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2
探究新知
回 顾 旧 知
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你 拼成的图形的面积吗？
同学们拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
探究新知
这个大正方形的面积可以怎么求？
a2+2ab+b2
(a+b)2
=
b ab b
a
ab
(a+b)2
a2+2ab+b2
=
将上面的等式倒过来看，能得到：
探究新知
a2–2ab+b2
我们把a +2ab+b 和a –2ab+b 这样的式子叫做完全平方式.
观察这两个多项式： a2+2ab+b2
(1)每个多项式有几项？
三项.
每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
中间项和第一项，第三项有什么关系？
是第一项和第三项底数的积的±2倍.
探究新知
完全平方式的特点：
必须是三项式(或可以看成三项的)；
有两个同号的数或式的平方；
中间有两底数之积的±2倍.
a 2 2ab b2
完全平方式:
探究新知
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将 它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
a2 ± 2ab +b2 =(a ± b)
首2
+尾2
±2×首
×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加 上(或减去)这两个数的 积的2倍，等于这两个 数的和(或差)的平方.
探究新知
对照 a ±2ab+b =(a±b) ，填空：
1. x +4x+4= ( x ) +2·( x )·( 2)+( 2 ) =( x + 2 )
2.m –6m+9=( m) – 2· ( m) ·( 3 )+( 3 ) =(m – 3 )
3.a +4ab+4b =(a ) +2· ( a ) ·(2b )+( 2b ) =( a + 2b )
探究新知
试一试
下列各式是不是完全平方式？
(3)4b2+4b–1; (4)a2+ab+b2;
(5)x2+x+0.25.
是
只有两项；
不是
4b 与–1的符号不统一；
不是
(1)a2–4a+4; (2)1+4a ; 不是
是
ab不是a与b的积的2倍.
探究新知
说一说
例1 分解因式：
(1)16x2+24x+9；
(2)–x2+4xy–4y2.
，
分析：(1)中， 16x2=(4x)2， 9=3 ， 24x=2·4x·3，
所以16x2+24x+9是一个完全平方式 即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.
(2)中首项有负号，一般先利 用添括号法则，将其变形为
–(x2–4xy+4y2)，然后再利用 公式分解因式.
素养考点 1
利用完全平方公式分解因式
探究新知
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x)2 + 2·4x·3 + 32
= (4x + 3)2；
(2)–x2+ 4xy–4y2
=–(x2–4xy+4y2)
=–(x–2y)2.
把下列多项式因式分解. (1)x2–12xy+36y2;
解：(1)x2–12xy+36y2
=x2–2·x·6y+(6y)2
=(x–6y)2;
(2)16a4+24a2b2+9b4;
(2)16a4+24a2b2+9b4
=(4a2)2+2·4a2·3b2+(3b2)2
=(4a2+3b2)2;
巩固练习
(3)–2xy–x2–y2;
解：(3)–2xy–x2–y2
= –(x2+2xy+y2)
= –(x+y)2;
(4)4–12(x–y)+9(x–y)2.
(4)4–12(x–y)+9(x–y)2
=22–2×2×3(x–y)+［3(x–y)］2
=［2–3(x–y)］2
=(2–3x+3y)2.
巩固练习
例2 如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( B )
A . 11 B. 9 C. –11 D. –9
解析：根据完全平方式的特征，中间项
–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.
素养考点 2
利用完全平方公式求字母的值
探究新知
方法点拨
本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知 项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程 中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
探究新知
如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么
m的值为 ±8 .
解析：∵16=(±4)2，故–m=2×(±4)，m=±8.
巩固练习
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2；
例3 把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2–12(a+b)+36.
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.
(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62
=(a+b–6)2.
素养考点 3
利用完全平方公式进行较复杂的因式分解
探究新知
利用公式把某些具有特殊形式(如
平方差式，完全平方式等)的多项式分 解因式，这种分解因式的方法叫做公 式法.
探究新知
因 式 分 解 ： (1)–3a2x2＋24a2x–48a2； (2)(a2＋4)2–16a2.
解：(1)原式＝–3a2(x2–8x＋16)
＝–3a2(x–4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2–(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4–4a)
＝(a＋2)2(a–2)2.
有公因式要 先提公因式.
要检查每一个多项式 的因式，看能否继续 分解．
巩固练习
本题利用完全平 方公式分解因式，可 以简化计算.
例4 把下列完全平方式分解因式：
(1)1002–2×100×99+99 ； (2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=(100–99)
=1.
(2)原式＝(34＋16)2
＝2500.
素养考点 4
利用完全平方公式进行简便运算
探究新知
计算: 7652×17–2352 ×17.
解：7652×17–2352 ×17
=17 ×(7652 –2352)
=17 ×(765+235)(765 –235)
=17 ×1 000 ×530=9010000.
巩固练习
例5 已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值.
提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a–4b+5与完全 平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“ 凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之 和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.
素养考点 5
利用完全平方公式和非负性求字母的值
探究新知
解：由已知可得(a2+2a+1)+(b2–4b+4)=0
即(a+1)2+(b–2)2=0
∴ 2a2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7
a 1 0

b 2 0
a 1

b 2
探究新知
方法总结：遇到多项式的 值等于0、求另一个多项 式的值，常常通过变形为 完全平方公式和(非负数 的和)的形式，然后利用 非负数性质来解答．
已知x2–4x＋y2–10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
解：∵x2–4x＋y2–10y＋29＝0，
∴(x–2)2＋(y–5)2＝0.
∵(x–2)2≥0，(y–5)2≥0，
∴x–2＝0，y–5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2 ＝112＝121.
几个非负数的 和为0，则这几个 非负数都为0.
巩固练习
1. 因式分解：a2–2ab+b2= ．
(a–b)2
2. 若a+b=2，ab=–3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值–12
为 ．解析：∵a+b=2，ab= –3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)，
=ab(a+b)2，
= –3×4= –12．
连接中考
)
A．a2＋1 C．x2＋5y
B．a2–6a＋9 D．x2–5y
)
A．4xy(x–y)–x3 C．x(4xy–4y2–x2)
B．–x(x–2y)2 D．–x(–4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是 ．
B
2.把多项式4x2y–4xy2–x3分解因式的结果是(B
1
4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为
．
±_4
课堂检测
基 础 巩 固 题
1.下列四个多项式中，能因式分解的是(
(2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;
5. 把下列多项式因式分解. (1)x2–12x+36;
(3) y2+2y+1–x2;
解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;
(2)原式=[2(2a+b)] – 2·2(2a+b)·1+1 =(4a+2b– 1)2;
(3)原式=(y+1) –x =(y+1+x)(y+1–x).
课堂检测
1.计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92.
( 2 ) 2 0 1 4 2 2 0 1 4 4 0 2 6 2 0 1 3 2 .
解：(1)原式＝(38.9–48.9)2
＝100.
(2)原式 (2014)2 2 2014 2013 (2013)2
(2014 2013) 2
1 .
能 力 提 升 题
课堂检测
小聪和小明的解答过程如下：
2. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)1 x2–2x＋3.
3
(2)原式＝ 1 (x2–6x＋9)＝ (x–3)2
3
3
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.
解: (1)原式＝(2x)2＋2 2x 1＋1＝(2x+1)2
1
小聪: 小明:
×
×
课堂检测
拓 广 探 索 题
已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；
已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的 值．解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.
当a–b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×52＝50.
课堂检测
完全平方公 式分解因式
公 式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特 点
要求多项式有三项.
其中两项同号，且都可以写成某数或 式的平方，另一项则是这两数或式的乘积 的2倍，符号可正可负.
课堂小结
课后作业
作业 内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
谢谢观看
Thank You