【人教九上数学学霸听课笔记】24.1.1 圆 课件（共41张PPT）

(共41张PPT)
24.1　圆的有关性质
第二十四章
圆
24.1.1　圆
预学浅梳理 探究与应用 随堂小检测
第二十四章　圆
1.圆的定义：(1)如图24－1－1,在一个平面内,线段______绕
它固定的一个________旋转一周,另一个端点A所形成的图
形叫做圆,记作⊙O,读作“圆O”.其固定的端点O叫做
________,线段OA叫做________.
图24－1－1
OA
端点O
圆心
半径
(2)圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的
________等于________的点的集合.
图24－1－1
距离
定长r
2.与圆有关的概念
名称 概念 图示
弦 连接圆上任意两点的________叫做弦,如右图,AB,AC是⊙O的弦
直径 经过________的弦叫做直径,如右图, AB是⊙O的直径
线段
圆心
部分
直径
小于
大于
等圆 能够________的两个圆叫做等圆
等弧 在同圆或等圆中,能够__________的弧叫做等弧
重合
互相重合
目标一　理解圆的定义
活动 课上老师要求同学们画一个圆.小军用绳子画圆,如图24－1－2①,他将绳子一端固定在桌面上,另一端固定在铅笔上,将绳子绕固定在桌面上的端点旋转一周,画出一个圆.小明用圆规画圆,如图②.
图24－1－2
(1)小军与小明在画圆的过程中,他们固定了几个点 是哪个点
解：他们固定了一个点,是点O.
(2)在画圆的过程中,转动的另一点A到固定点O的距离始终相等吗
解：相等.
(3)根据画圆的过程,请你尝试给出圆的定义.
解：定义：在一个平面内,一条线段绕它固定的一个端点旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆.
圆定义的静态解读
1.圆上各点到定点的距离都等于定长；
2.到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
因此,圆可以看成是所有到________的距离等于________的
点的集合.
归纳总结
定点
定长
例1 以点O为圆心画圆,可以作________个圆(　　)
A.1 B.2
C.3 D.无数
D
例 体育课上,体育老师让全班50名同学沿着界线站成一排做套圈游戏,如图J24－1－1,你认为老师这样设计游戏公平吗 若公平,请说明理由；若不公平,你认为怎样设计才能使游戏公平呢
解：不公平.
公平的设计方案：50名同学围成一个
以目标为圆心的圆.
图J24－1－1
例2 [教材P80例1]矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证：A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
证明：∵四边形ABCD为矩形,
∴OA＝OC＝OB＝OD,
∴A,B,C,D四个点在以点O为圆心,OA为半径的圆上(如图).
变式 将教材例1中的矩形改为如图24－1－3所示的四边形ABCD,其中∠A＝∠C＝90°,此时点A,B,C,D仍在同一个圆上吗 为什么
图24－1－3
解：点A,B,C,D仍在同一个圆上.
理由如下：
如图,连接BD,取BD的中点O,连接OA,OC.
∵O是Rt△ABD的斜边BD的中点,
∴OA＝OB＝OD.
同理,OC＝OB＝OD,
∴OA＝OB＝OC＝OD,
∴点A,B,C,D在以BD的中点O为圆心,OA为半径的圆上.
证明多个点共圆的方法
说明多个点到某定点的距离相等 这多个点在同一个圆上.
方法感悟
目标二　理解圆的有关概念
例3 有下列说法：①半径确定了,圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④长度相等的弧是等弧.其中错误的有
(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
[解析] 根据圆、直径、弦等的概念来判断.半径确定了,只能说明圆的大小确定了,但是圆的位置没有确定.直径是弦,但弦不一定是直径.等弧的定义包括两方面的内容：长度和所在圆的半径都相等.所以①③④的说法是错误的.
归纳
圆中容易混淆的“两组概念”
1.弦与直径：
(1)直径是圆中最长的弦,但弦不一定是直径；
(2)弦是连接圆上任意两点的线段,而直径是经过圆心的弦.
归纳
2.弧与半圆：
(1)半圆是弧,但弧不一定是半圆；
(2)圆上任意两点分圆成两条弧,圆的任意一条直径的两个端
点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.
拓展 如图24－1－4所示,已知CD是⊙O的直径,∠EOD＝78°,点A在DC的延长线上,AE交⊙O于点B,且AB＝OC,求∠A的度数.
[解析] 已知∠EOD＝78°,与∠A构成
外角的关系,而∠E的度数也未知,且
AB＝OC这一条件不能直接使用,因此
想到同圆的半径相等,需作半径OB,
从而得到OB＝AB.
图24－1－4
解：如图,连接OB.
∵AB＝OC,OB＝OC,
∴AB＝OB,∴∠A＝∠1.
又∵OB＝OE,
∴∠E＝∠2＝∠1＋∠A＝2∠A,
∴∠EOD＝∠E＋∠A＝3∠A.
又∵∠EOD＝78°,∴3∠A＝78°,
∴∠A＝26°.
圆中常添辅助线—— 作半径
作半径构造等腰三角形是解决有关圆问题的常用方法.
方法总结
解：(1)如图①②所示.
(2)①若点B,C在直线OA的异侧,连接OA,OB,OC,如图③.
∵AC＝OA＝OC＝5,∴△OAC是等边三角形,∴∠OAC＝60°.
∴OA2＋OB2＝AB2,
∴△OAB是直角三角形,且∠AOB＝90°.
又∵OA＝OB,∴∠OAB＝45°,
∴∠BAC＝∠OAB＋∠OAC＝45°＋60°＝105°.
②若点B,C在直线OA的同侧,连接OA,OB,OC,如图④.
同①可得∠OAC＝60°,∠OAB＝45°,
则∠BAC＝∠OAC－∠OAB＝60°－45°＝15°.
综上,∠BAC的度数是105°或15°.
圆中常见的三种特殊的弦
如图J24－1－2,设⊙O的半径为r.
(1)如图①,若AB＝r,则∠AOB＝60°；
方法总结
图J24－1－2
图J24－1－2
1.有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧；④弧是半圆.其中正确的说法是(　　)
A.①②③④ B.①③
C.②④ D.①④
B
[解析] 因为弦不一定经过圆心,所以弦不一定是直径,所以说法②是错误的;因为连接弧的两个端点的线段不一定经过圆心,所以弧不一定是半圆,所以说法④是错误的.
2.如图24－1－5,________是⊙O的直径；__________是⊙O的弦；__________是劣弧；__________是优弧.
[解析] 根据弦、优弧、劣弧的定义填空.
图24－1－5
AC
AB,BC,AC
3.⊙O的半径为3 cm,则⊙O中最长的弦的长度为________.
6 cm
4.如图24－1－6,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC＝50°,求∠C,∠AOC,∠OAB的度数.
图24－1－6
∠C＝50°,∠AOC＝80°,∠OAB＝25°
5.已知：如图24－1－7,AB是⊙O的弦,点C,D在AB上,AC＝BD,连接OC,OD.求证：OC＝OD.
证明：连接OA,OB.
∵OA＝OB,∴∠A＝∠B.
又∵AC＝BD,
∴△OAC≌△OBD(SAS),∴OC＝OD.
图24－1－7
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