【人教九上数学学霸听课笔记】24.1.2 垂直于弦的直径 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
24.1　圆的有关性质
第二十四章
圆
24.1.2　垂直于弦的直径
预学浅梳理 探究与应用 随堂小检测
第二十四章　圆
1.圆是________图形,任何一条直径所在直线都是圆的
________.
2.垂径定理及其推论
轴对称
对称轴
BE
平分弦所对的两条弧　
AB
目标一　理解并掌握圆的轴对称性
探究 剪一个圆形纸片,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么 由此你能得到什么结论 你能证明你的结论吗
解：沿着圆的任意一条直径对折,直径两侧的部分总能重合.结论：圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
证明：如图,设线段CD是⊙O的任意一条直径,A为⊙O上点C,D以外的任意一点,过点A作AA′⊥CD,交⊙O于点A′,垂足为M,连接OA,OA′.
在△OAA′中,∵OA＝OA′,
∴△OAA′是等腰三角形.
又AA′⊥CD,∴AM＝MA′.
即CD是AA′的垂直平分线.这就是说,对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点A′,因此⊙O关于直线CD对称.
归纳
圆的轴对称性
1.圆是________图形,任何一条直径所在直线都是圆的
________.
2.圆有________条对称轴.
轴对称
对称轴
无数
例1 下列说法正确的是(　　)
A.每一条直径都是圆的对称轴
B.圆的对称轴是唯一的
C.圆的对称轴一定经过圆心
D.圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线
C
目标二　理解并掌握垂径定理
问题1 如图24－1－8所示,从上面的动手操作可知,如果⊙O的直径CD垂直于弦AA′,垂足为M,那么点A和点A′是对称点,图中除OC＝OD外,还有哪些相等的线段和劣弧
图24－1－8
归纳
垂径定理
垂直于弦的直径________弦,并且平分弦所对的________.
几何语言：如图24－1－9.
∵CD⊥AA′,CD是⊙O的直径,
图24－1－9
平分
两条弧
问题2 (1)如图24－1－10,若直径CD平分弦AA′,弦AA′不过圆心,CD垂直于AA′吗 图中还有哪些劣弧相等
解：(1)连接OA,OA′.∵CD平分弦AA′,∴AM＝A′M.
又∵OA＝OA′,OM＝OM,∴△AOM≌△A′OM,
∴∠AMO＝∠A′MO＝90°,∴CD⊥AA′,
图24－1－10
(2)在(1)中,若弦AA′过圆心O,上述得到的结论还成立吗
解：不一定成立.
图24－1－10
归纳
垂径定理的推论
平分弦(________)的直径________弦,并且________弦所对
的两条弧.
不是直径
垂直于
平分
练习1 下列命题中,正确的是(　　)
A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B.过弦的中点的直线必过圆心
C.弦所对的两弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心
D.弦的垂线平分弦所对的弧
C
图24－1－11
D
垂径定理及其推论的推广——“知二推三”
垂径定理所含的五个论断：①过圆心,②垂直于弦,③平分
弦,④平分弦所对的劣弧,⑤平分弦所对的优弧,若把其中两
个论断作为条件,则可推出另外三个论断(注意①③作为条
件时,弦不是直径).
归纳总结
练习 如图J24－1－3,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,AB＝10 cm,CD＝6 cm.求AC的长.
[解析] 根据题意,过点O作OE⊥AB于点E,
根据垂径定理可以求出AE,CE的长度,这样
AC的长度就不难求出了.
图J24－1－3
∴AC＝AE－CE＝2 cm.
利用垂径定理解题时常添加的辅助线
1.作垂线：作垂直于弦的直径(半径或线段).
2.连接两点(或过两点作直线)：圆心和弦的中点；圆心和弧
的中点；弦所对两弧的中点.
方法总结
目标三　能用垂径定理解决问题
例2 [教材P82例2]赵州桥(如图24－1－12)是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
图24－1－12
在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2＝AD2＋OD2,
即R2＝18.52＋(R－7.23)2,
解得R≈27.3.
因此,赵州桥主桥拱的半径约为27.3 m.
总结
利用垂径定理计算弦长、半径和弦心距等问题的思路及方法
1.思路：构造直角三角形——结合勾股定理——直接计算或
建立方程计算.
2.构造直角三角形的方法：
①连圆心与弦的端点构半径成斜边；
②过圆心作弦的垂线构直角边.
变式 已知CD是⊙O的一条弦,作直径AB,使AB⊥CD,垂足为E,若AB＝10,CD＝8,求BE的长.
解：若垂足E在线段OA上,如图①,连接OC,则OC＝5.
∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD,CD＝8,
∴BE＝OB＋OE＝5＋3＝8.
若垂足E在线段OB上,如图②,连接OC.
同理可得OB＝5,OE＝3,
则BE＝OB－OE＝5－3＝2.
综上,BE的长为8或2.
警示
导致圆中漏解问题的根本原因——忽略了圆的对称性
圆是以直径所在直线为对称轴的轴对称图形,当问题中没有
给出具体图形,我们依题画图或解题时要注意圆中元素的对
称性,避免漏解情况.
1.圆是轴对称图形,它的对称轴有(　　)
A.1条 B.2条
C.4条 D.无数条
D
2.下列命题正确的是(　　)
A.垂直于弦的直线必经过圆心
B.平分弦的直径必平分弦所对的弧
C.平分弦的直径垂直于弦
D.弦的垂直平分线必经过圆心
[解析] A中垂直于弦的直线不一定经过圆心;B中的弦应强调“不是直径”;C应改为“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦”;D中的命题正确.故选D.
D
3.如图24－1－13,⊙O的弦AB＝8,M是AB的中点,且OM＝3,则⊙O的半径等于(　　)
A.4 B.5
C.8 D.10
图24－1－13
B
4.如图24－1－14,AB是半圆O的直径,OD⊥AC,OD＝2,则弦BC的长为________.
图24－1－14
4
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